高中數(shù)學(xué)高考53第八章 立體幾何與空間向量 高考專題突破四 高考中的立體幾何問題

高考專題突破四高考中的立體幾何問題題型一平行、垂直關(guān)系的證明例1如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE；(3)求三棱錐E－ABC的體積．跟蹤訓(xùn)練1如圖，在底面是矩形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求證：EF∥平面PAB；(2)求證：平面PAD⊥平面PDC.題型二立體幾何中的計(jì)算問題命題點(diǎn)1求線面角例2(2018·浙江)如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)證明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值．跟蹤訓(xùn)練2(2019·福州質(zhì)檢)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為正三角形，點(diǎn)D在棱BC上，且CD＝3BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，BB1的中點(diǎn)．(1)證明：A1C∥平面DEF；(2)若A1C⊥EF，求直線A1C1與平面DEF所成的角的正弦值．命題點(diǎn)2求二面角例3(2018·長(zhǎng)沙、南昌聯(lián)考)如圖，在四棱錐A－BCDE中，平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，BC＝2，AB＝4，∠ABC＝60°.(1)求證：BE⊥平面ACE；(2)若直線CE與平面ABC所成的角為45°，求二面角E－AB－C的余弦值．跟蹤訓(xùn)練3如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3.(1)證明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；(2)若∠BAD＝60°，求二面角B－OB1－C的余弦值．題型三立體幾何中的探索性問題例4如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2eq\r(2)，BC＝4eq\r(2)，PA＝2.(1)求證：AB⊥PC；(2)在線段PD上，是否存在一點(diǎn)M，使得二面角M－AC－D的大小為45°，如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．跟蹤訓(xùn)練4(2019·中原名校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AB＝AC＝2，AD＝2eq\r(2)，PB＝eq\r(2)，PB⊥AC.(1)求證：平面PAB⊥平面PAC；(2)若∠PBA＝45°，試判斷棱PA上是否存在與點(diǎn)P，A不重合的點(diǎn)E，使得直線CE與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(\r(6),9)？若存在，求出eq\f(AE,AP)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．1.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD.(1)證明：BC⊥PB；(2)若PA⊥PD，PB＝AB，求二面角A－PB－C的余弦值．2.(2019·大連模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)證明：A1O⊥平面ABC；(2)求直線AB與平面A1BC1所成角的正弦值．3．(2019·成都診斷)如圖1，在邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD中，AC＝6，現(xiàn)沿對(duì)角線AC把△ADC翻折到△APC的位置得到四面體P－ABC，如圖2所示．已知PB＝4eq\r(2).(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)若Q是線段AP上的點(diǎn)，且eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AP,\s\up6(→))，求二面角Q－BC－A的余弦值．4．(2019·南昌模擬)如圖，多面體ABCDEF中，ABCD為正方形，AB＝2，AE＝3，DE＝eq\r(5)，二面角E－AD－C的余弦值為eq\f(\r(5),5)，且EF∥BD.(1)證明：平面ABCD⊥平面EDC；(2)求平面AEF與平面EDC所成銳二面角的余弦值．(1)證明∵AB＝AD＝2，AE＝3，DE＝eq\r(5)，5．等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足eq\f(AD,DB)＝eq\f(CE,EA)＝eq\f(1,2)，如圖1.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1—DE—B為直二面角，連接A1B，A1C，如圖2.(1)求證：A1D⊥平面BCED；(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°？若存在，求出PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6.如圖，在四棱錐E－ABCD中，底面ABCD是圓內(nèi)接四邊形，C