對數(shù)均值與指數(shù)均值的證明及應(yīng)用講義- 高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習

對數(shù)均值與指數(shù)均值不等式的證明與應(yīng)用【公式】對數(shù)均值不等式：；指數(shù)均值不等式：.【證明】對數(shù)均值不等式：.先證，不妨設(shè)，證明：，構(gòu)建函數(shù)：，，，故可知：在上為減函數(shù)，即：.綜上可證得：.再證：.不妨設(shè)，證明：，構(gòu)建函數(shù)：，，，又，故可知單調(diào)遞減，且又有，在單調(diào)遞增，.綜上可證得：.【證明】指數(shù)均值不等式：.令：，則對數(shù)均值可化作：，原不等式得證.上述也可以先構(gòu)建函數(shù)證明指數(shù)均值不等式之后換元證明對數(shù)均值不等式.【高考母題】:(Ⅰ)(對數(shù)模型)設(shè)、是函數(shù)圖像上的任意兩點,則當時,；當時,；(Ⅱ)(指數(shù)模型)設(shè)、是函數(shù)圖像上的任意兩點,則當時,;當時,.【母題證明】:(Ⅰ)由，可得，則，又由可得，由對數(shù)均值不等式：得：當時,；當時,；(Ⅱ)由可得，故，又由，可得，由指數(shù)平均不等式:可得：當時,;當時,.母題可以得出結(jié)論：1、上述模型的極值點偏移（左移或右移）由對數(shù)或指數(shù)前系數(shù)的正負決定，與二次項、一次項系數(shù)無關(guān)；2、二次函數(shù)圖象上任意兩點的連線與這兩點橫坐標中值對應(yīng)點的切線平行.【高考案例】1.對數(shù)模型子題類型:(2011年遼寧高考試題)已知函數(shù).(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)設(shè),證明:當時,；(Ⅲ)若函數(shù)的圖像與軸交于兩點,線段中點的橫坐標為,證明:.【解析】:(Ⅰ)的定義域為(0,+∞),由可得.=1\*GB3①當時,，可得在(0,+∞)上遞增；②當時,在上遞增,在遞減；(Ⅱ)令,則，可得在上遞增，故，即；(Ⅲ)設(shè)，則，由，可得：.2.指數(shù)模型子題類型:(2010年天津高考試題)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(Ⅱ)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明:當時,；(Ⅲ)如果，且,證明:.【解析】:(Ⅰ),,列表如下:-由表知在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù),故函數(shù)在處取得極大值；(Ⅱ)由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱可知：，當時,令，則，可知函數(shù)在是增函數(shù)，，即；(Ⅲ)設(shè)，由，且，則，令，則，可得：，即.3.切線背景子題類型:(2005年湖南高考試題)已知函數(shù)，.(Ⅰ)若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間,求的取值范圍；(Ⅱ)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象交于點，過線段的中點作軸的垂線分別交，于點，證明:在點處的切線與在點處的切線不平行.【解析】:(Ⅰ)當時,，，所以,存在單調(diào)遞減區(qū)間在(0,+∞)內(nèi)有解集區(qū)間，解得：；(Ⅱ)設(shè)，，，，可得：，即，故在點處的切線斜率小于在點處的切線斜率，即證得在點處的切線與在點處的切線不平行.4.子題系列:1.(2016年安徽蚌埠二模試題)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+3x+3-aex(a為非零常數(shù)).(Ⅰ)求g(x)=的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若存在b,c∈R,且b≠c,使f(b)=f(c),試判斷a()的符號.2.(2014年江蘇南通二模試題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax+a(a∈R),其圖像與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點,且x1≠x2.(Ⅰ)求a的取值范圍;(Ⅱ)證明:()<0((x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)).3.(2013年湖南高考試題)已知函數(shù)f(x)=ex.(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)證明:當f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,x1+x2<0.4.(2014年廣東韶關(guān)二模試題)已知函數(shù)f(x)=ln(x+)-ax,其中,a∈R且a≠0.(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)若不等式f(x)<ax恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(Ⅲ)若方程f(x)=0存在兩個異號實根x1,x2,求證:x1+x2>0.5.(2011年湖南高考試題)設(shè)函數(shù)f(x)=x--alnx(a∈R),(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)若f(x)有兩個極值點x1和x2,記過點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),的直線的斜率為k,問:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.6.(2015年廣東廣州二模試題)已知函數(shù)f(x)=alnx-,g(x)=ex(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;(Ⅱ)當b>0時,函數(shù)g(x)的圖象C上有兩點P(b,eb),Q(-b,e-b),過點P,Q作圖象C的切線分別記為l1,l2,設(shè)l1與l2的交點為M(x0,y0),證明:x0>0.5.子題詳解:1.解:(Ⅰ)由g(x)==(x2+3x+3)e-x-a(x)=-x(x+1)e-xg(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上遞減,在(-1,0)上遞增;(Ⅱ)令P(b,f(b)),Q(c,f(c)),則kPQ=0;①當-a>0,即a<0時,()<kPQ=0a()>0;②當-a<0,即a>0時,()>kPQ=0a()>0.綜上,a()>0.2.解:(Ⅰ)由(x)=ex-a;①當a≤0時,(x)>0f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增f(x)至多有一個零點,不合題意;②當a>0時,f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,由f(x)有兩個零點fmin(x)=f(lna)=2a-alna<0a>e2lna>2;又f(1)=e>0,f(a-1lna)=elna-lna+a>a-1lna+1-(a-1)+a=a-1lna+2>0f(x)有兩個零點x1,x2,且1<x1<x2.故a的取值范圍是(e2,+∞);(Ⅱ)由()<kPQ=0,且(x)=ex-a在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;又由1<x1<x2<()<()<0.3.解:(Ⅰ)由f(x)=ex(x)=-exf(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減;(Ⅱ)不妨設(shè)x1<x2,由(Ⅰ)知x1<0,x2>0;由f(x1)=f(x2)e=e>00<x2<1,ln(1-x1)-ln(1+x12)+x1=ln(1-x2)-ln(1+x22)+x2(x1+x2)+=1;根據(jù)對數(shù)平均不等式,有>,>(x1+x2)+<1(x1+x2)+-1<0(x1+x2)+<0(x1+x2)[+]<0;由x1<0,0<x2<1x1+x2<2>0+>0x1+x2<0.4.解:(Ⅰ)由f(x)的定義域為(-,+∞),(x)=-;①當a<0時,(x)>0f(x)在(-,+∞)上單調(diào)遞增;②當a>0時,在區(qū)間(-,0)上,(x)>0,在區(qū)間(0,+∞)上,(x)<0f(x)在(-,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減;(Ⅱ)由f(x)<ax2ax-ln(x+)>0,令x=e-得:2a(e-)-1>02ea-3>0a>0;令g(x)=2ax-ln(x+),則(x)=(x+)g(x)在(-,-)上單調(diào)遞減,在(-,+∞)上單調(diào)遞增gmin(x)=g(-)=-1-ln(2a);由gmin(x)>0a>a的取值范圍是(,+∞);(Ⅲ)由(Ⅰ)知a>0,且-<x1<0<x2,由f(x1)=f(x2)=0ln(x1+)-ax1=ln(x2+)-ax2=0x1+=e,x2+=ex2-x1=e-e=;又x1+x2+=e+e,根據(jù)指數(shù)平均不等式,有=e+e>2=x1+x2+>x1+x2>0.5.解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+∞),(x)=(x2-ax+1);①當a≤2時,(x)≥0f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;②當a>2時,由(x)=0x1=,x2=f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,a<2,且x1x2=1;由k==1+-a;若存在a,使得k=2-a,則=1,即=;但由加細基本不等式知;>.故不存在a,使得k=2-a.6.解:(Ⅰ)由函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)是增函數(shù)當x∈(0,1)時,(x)=-≥0當x∈(0,1)時,a≥a≥.故實