大學物理：ws靜電場習題課

靜電場習題課一、內(nèi)容提要1．電荷守恒定律電荷守恒定律

電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，

電荷只能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，

或者從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分。事實表明，在一個孤立系統(tǒng)內(nèi)，無論發(fā)生怎樣的物理過程，該系統(tǒng)電量的代數(shù)和總保持不變。它是物理學中基本定律之一。2．庫侖定律真空中，兩個點電荷（和）之間的相互作用力的大小正比于兩者電量的乘積，反比于兩者距離的平方真空的介電常數(shù)

作用力方向沿兩點電荷連線，同種電荷相斥，異種電荷相吸。3．電場和電場強度電場也是一種客觀存在的物質(zhì)形態(tài)，它具有質(zhì)量、能量、動量和角動量。靜電場是相對觀察者靜止的電荷周圍空間產(chǎn)生的電場，它是電磁場的一種特殊形態(tài)。電場對外表現(xiàn)的性質(zhì)有：(1)對引入電場中的電荷有作用；(2)電荷在電場中移動時電場力做功，這也表明電場具有能量。電場強度是

定量描述電場對電荷有作用力性質(zhì)的物理量。電場強度的定義為

場強疊加原理

在由若干個點電荷形成的電場中，任一點的總場強等于各點電荷在該點單獨產(chǎn)生的場強的矢量和

電場強度的計算

由場強定義并應(yīng)用庫侖定律場強疊加原理，得到三種類型場源電荷產(chǎn)生電場的場強計算公式：(1)點電荷的電場

(2)點電荷系的電場

(3)電荷連續(xù)分布的帶電體的場強對于連續(xù)帶電體，先把帶電體微分，將看作點電荷，求出點電荷在場點產(chǎn)生的電場強度再矢量疊加4．高斯定理及應(yīng)用電場線(又稱電力線)

電場線是形象描述電場分布的一簇空間曲線。電場線上任一點的切線方向表示該點場強的方向，電場線分布的疏密程度表示該處場強的大小。電通量

設(shè)想在電場中有一個曲面，定義一個物理量

稱為通過該曲面的電場強度通量。

也可以形象地說為穿過該曲面的電場線“數(shù)目”

是曲面上的面積元的矢量表示

通過任意封閉曲面的電通量為規(guī)定的方向為面積元的外法線方向。

因此，電場線從封閉曲面內(nèi)向外穿出時電通量為正值，電場線從封閉曲面外穿進時電通量為負值。高斯定理

在真空中的任何靜電場中，穿出任一閉合曲面的電通量

等于該閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和除以，數(shù)學表示式為

高斯定理是描述靜電場規(guī)律的基本方程之一。它反映了電場和形成電場的場源電荷之間的關(guān)系。說明靜電場是有源場。5．電勢靜電場力做功的特點：

電荷在靜電場中從點經(jīng)某一路徑移到點，電場力做的功

只與起點和終點的位置有關(guān)，而與電荷移動的路徑無關(guān)

反映該特性的數(shù)學表達式即為靜電場的場強環(huán)路定理

電勢能

靜電場是保守力場，可以引入電勢能的概念。電荷在電場中一定的位置處，具有一定的勢能。電場力所做的功就是電勢能改變的量度，設(shè)和分別表示試驗電荷在點和點的電勢能，我們定義從點移到點時，電場力所做的功等于其電勢能的減少量，即電勢能與重力勢能相似，是一個相對的量。

為了表明電荷在電場中某一點勢能的大小，必須有一個作為參考的標度。通常在電荷分布于有限區(qū)域內(nèi)時，我們規(guī)定無限遠處的電勢能為零，這時點的電勢能為與重力勢能相似，電勢能屬于電荷和靜電場整個系統(tǒng)。電勢

電荷在電場中某點的電勢能與成正比，為了直接描述某給定點處的電場的性質(zhì)，把與的比值，定義為該點的電勢電場中某點的電勢在數(shù)值上等于單位正電荷置于該點時具有的電勢能，或單位正電荷從該點經(jīng)任意路徑移動到無限遠處電場力所做的功。可見，電勢是描述電場力做功性質(zhì)的物理量。該式表明了電勢與電場強度之間的積分關(guān)系。電勢的值只具有相對意義，其絕對數(shù)值是沒有物理意義的。理論研究中，對有限的電荷分布，通常取無窮遠處為電勢零點；對無限大的電荷分布，電勢零點的選擇是任意的；實際問題中常以大地或電器的金屬外殼為電勢零點。電勢是描述靜電場性質(zhì)的又一個物理量。在國際單位制中，電勢的單位是焦耳每庫侖()，稱做伏特()。電勢差

靜電場中，任意兩點的電勢之差

對電勢差來說，不管取什么參考點做電勢零點，其值總是確定的。在量值上等于將單位正電荷從點移到點電場力所做的功。所以，如果知道了、兩點間的電勢差，則將電荷從點移到點(無論沿任何路徑)

電場力做的功為電勢的計算點電荷電場中任意點處的電勢(設(shè)無窮遠處為電勢零點)式中為該點電荷的電量，為該點電荷到點的距離。點電荷系電場中任意點處的電勢，由點電荷公式及電勢的標量疊加可得

式中為第個點電荷的電量，為點相對于第個點電荷的距離。即點電荷系的電場中某點電勢，等于各點電荷單獨在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。上式亦稱為電勢疊加原理。電荷連續(xù)分布的電場中某點處的電勢分割電荷為許多電荷元，為其中的任意一個，為點相對于的距離，積分對整個電荷分布進行電勢計算方法有兩種類型：(1)已知場強分布，根據(jù)電勢定義，用積分法求電勢。(2)已知電荷分布，利用電勢疊加原理求電勢。等勢面

電場中由電勢相等的點所聯(lián)成的曲面，叫做等勢面。

等勢面與電場線處處正交。在等勢面上移動電荷時電場力不做功。電場線方向指向電勢降落方向。電勢梯度矢量

電場中各點的場強大小等于該點電勢梯度的大小，場強方向與電勢梯度方向相反。其方向與等勢面垂直，指向增加的方向。電勢梯度與場強的關(guān)系6．靜電場中的導(dǎo)體導(dǎo)體的靜電平衡

導(dǎo)體內(nèi)部及表面上的電荷都無宏觀上的定向運動的狀態(tài)，叫做導(dǎo)體的靜電平衡狀態(tài)。在靜電平衡狀態(tài)下：(1)導(dǎo)體內(nèi)部任一點場強為零；(2)導(dǎo)體外表面附近任一點場強方向與表面垂直。這就是導(dǎo)體的靜電平衡條件。靜電平衡下導(dǎo)體特性①導(dǎo)體內(nèi)部的電勢處處等于導(dǎo)體表面的電勢，整個導(dǎo)體是個等勢體，導(dǎo)體表面是個等勢面。②導(dǎo)體內(nèi)部沒有凈電荷，電荷只分布在導(dǎo)體的表面上。③導(dǎo)體外，導(dǎo)體表面附近某點的場強大小

(為該處附近導(dǎo)體的電荷荷面密度)，方向垂直導(dǎo)體表面。7．電介質(zhì)中的電場電介質(zhì)

是折射率很大、導(dǎo)電能力很差的絕緣體。均勻極化的電介質(zhì)放入電場后，介質(zhì)表面上出現(xiàn)極化電荷（束縛電荷），從而影響電場的分布。電極化強度矢量

是描述介質(zhì)中某處極化強度的物理量

為介質(zhì)內(nèi)部某一點附近的體積元；為內(nèi)分子電偶極矩的矢量和

實驗證明，在各向同性介質(zhì)內(nèi)，式中是介質(zhì)的電極化率，是一個無單位的純數(shù)。為介質(zhì)中總的電場強度。理論證明，電介質(zhì)表面出現(xiàn)極化面電荷，面電荷密度

為介質(zhì)表面外法向單位矢量，為極化電荷面密度

電介質(zhì)中的電場

電介質(zhì)中的場強是由自由電荷的場強與極化電荷的場強兩者疊加的結(jié)果電位移矢量

靜止的極化電荷和自由電荷產(chǎn)生的電場都是靜電場，因此靜電場的兩條基本定理仍成立對于各向同性介質(zhì)，，式中，稱為電介質(zhì)的介電常數(shù)引入電位移矢量

式中為自由電荷，為極化電荷。

電介質(zhì)中的高斯定理

電介質(zhì)中通過任一閉合曲面的電位移通量等于該曲面所包圍的自由電荷的代數(shù)和電介質(zhì)中的高斯定理是很重要的定理，當已知自由電荷分布具有一定的對稱性時，?？衫酶咚苟ɡ砬蟮秒娢灰剖噶浚儆汕蟮秒娊橘|(zhì)中的電場強度，它的優(yōu)點是擺脫了求解極化電荷。電容

電容是表征導(dǎo)體或?qū)w組儲電能力的物理量。只與導(dǎo)體本身形狀大小及周圍介質(zhì)有關(guān)，與帶電多少及是否帶電無關(guān)。

孤立導(dǎo)體的電容為孤立導(dǎo)體所帶的電量；為孤立導(dǎo)體相對于無窮遠處的電勢電容器的電容

把電量從極板移到極板后，間有電勢差，它與成正比，比值，為電容器的電容電容器串聯(lián)起來可提高耐壓能力，每個電容器的兩極板上都帶有相同的等量異號電荷，并等于等效電容器兩極板上的電荷。電容器并聯(lián)起來在滿足耐壓情況下，增大電容量，且每個電容器兩端電壓相等，并等于等效電容器兩端的電壓在國際單位制中，電容的單位是法拉()

8．靜電場的能量在電荷移動過程中，外力必須做功。外力做的功轉(zhuǎn)化為電能而儲存在電場中。孤立導(dǎo)體或電容器儲存的電能為

是孤立導(dǎo)體的電勢或電容器兩極板之間的電勢差

帶電系統(tǒng)周圍伴隨有靜電場。實際上，帶電系統(tǒng)的能量儲存在整個電場空間中，是電場的能量。單位體積內(nèi)的電場能量，即能量體密度為整個電場空間的總能量

積分對整個電場所在的空間進行

二、問題討論1．怎樣理解高斯定理?答：對于真空中的靜電場，高斯定理的數(shù)學表示為左邊是通過閉合面的的總通量，等于閉合面之內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和除以。要注意，閉合面上各點的電場強度是閉合面內(nèi)、外所有電荷共同產(chǎn)生的合場強，不僅僅是高斯面內(nèi)的電荷產(chǎn)生的場強。

☆如果閉合面內(nèi)電荷代數(shù)和為零，只能說明通過閉合面的電通量為零，而閉合面上各點卻不一定為零。高斯定理是反映靜電場性質(zhì)的基本定理之一，對任意的靜電場和任意形狀的閉合曲面都適用。

但在應(yīng)用高斯定理求場強時卻要求：

第一，電荷分布有高度對稱性。第二，要選取合適的高斯面。使得由高斯定理能求出場強來。

☆2．電勢零點的選擇是完全任意的嗎?答：由定義來看，電勢只具有相對值，從這個意義上說，電勢零點選擇是完全可以任意的。但是在理論研究中，往往要采用一些抽象模型，如無限大帶電體、點電荷等，在這種情形下，電勢零點應(yīng)該這樣選定，使得電場中各點的電勢具有確定的值。例如，無限大均勻帶電平面，由于電荷分布在無限范圍，就不能選無限遠處的電勢為零，通常選帶電平面本身的電勢為零。又如點電荷，因為電荷集中在一個點上，通常選無限遠處為電勢零點。無限長帶電直線的電勢零點既不能選在其本身上，也不能選在無限遠處，只能選空間中的其他任意點?！钊?、解題指導(dǎo)1.關(guān)于應(yīng)用點電荷的場強公式及場強疊加原理求場強的解題步驟：①首先將帶電體分成許多個點電荷

②再求任一個點電荷在空間某點處產(chǎn)生的場強寫出場強在各坐標軸上的分量，再求各分量的積分

☆③最后求合場強④帶電體的電荷分布可以是線分布、面分布，體分布為電荷線密度

為電荷面密度

為電荷體密度

☆2.關(guān)于高斯定理的應(yīng)用當電荷分布具有對稱性，從而電場強度對稱分布（包括大小和方向）具有相應(yīng)的特殊對稱性時，可用高斯定理求場強。典型實例有：均勻帶電球體及球面，均勻帶電的無限長直線、無限長圓柱、無限大平板等。它們所激發(fā)的電場除帶電平板是面對稱外，其他都具有輻射對稱的特性，均可方便地應(yīng)用高斯定理求解?！顟?yīng)用高斯定理求場強除對對稱分布有以上要求外，關(guān)鍵是選取合適的閉合曲面（通常稱高斯面），選取原則如下：④高斯面應(yīng)選取規(guī)則形狀，以便計算，通常選取球面、柱面、長方體面形狀等。①高斯面必須經(jīng)過所求場強的點。②在求的部分高斯面上，要求該面上各點的大小處處相同，方向和矢量平行，以便可作為常量從積分號中提出。③在不求的部分高斯面上，的方向和垂直，使得?！睥偈紫葘щ婓w分成許多個點電荷

②再求任一個點電荷在空間某點處產(chǎn)生的電勢3.關(guān)于應(yīng)用點電荷的電勢公式及疊加原理求電勢的解題步驟：

③應(yīng)用電勢疊加原理，求總電勢☆4.有關(guān)電容的計算方法③再由定義式，計算電容。計算兩極板、間的電勢差。①首先假設(shè)電容器兩極板分別帶電和。5.關(guān)于導(dǎo)體上的電荷分布如果導(dǎo)體的曲率半徑相同，則電荷在導(dǎo)體表面的分布就是均勻的。例如，無限大帶電導(dǎo)體平板，帶電球體，帶電球面。②用高斯定理或其他方法求兩極板間的電場，并由☆例1

帶電量相同，半徑相同的均勻帶電球面和非均勻帶電球面,其球心處的電勢是否相同

(以無限