自動控制原理：第五章 根軌跡分析法1

第五章

根軌跡分析法第四章改善系統(tǒng)性能的做法有何缺點？本章主要內(nèi)容三階以上的、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的系統(tǒng)，應(yīng)如何分析？第五章根軌跡分析法三、四章方法（勞斯判據(jù)、時域方法）的缺點：針對閉環(huán)系統(tǒng)；為方便計算需要近似為低階系統(tǒng)。分析、設(shè)計最好能直接針對開環(huán)系統(tǒng)，例如，可調(diào)參數(shù)改變?nèi)绾斡绊懴到y(tǒng)的動態(tài)性能。例5-9響應(yīng)y(t)的特征決定于極點-pi及其重數(shù)。Y(s)的分母4.6節(jié)已經(jīng)給出了按開環(huán)傳遞函數(shù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的方法：開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)個數(shù)可以判斷系統(tǒng)型次。？如何根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)估計閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能？5.2根軌跡的基本概念例5-1改變K對閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能的影響？輸入輸出5.2根軌跡的基本概念Kg>0，閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，其階躍響應(yīng)為：0<Kg<4，單調(diào)上升的非周期過程。Kg=4，單調(diào)上升的非周期過程。Kg>4，共軛復(fù)根，變?yōu)樗p振蕩過程，Kg越大，振蕩越劇烈。

Kg?特征根在s平面的位置變化系統(tǒng)動態(tài)特性變化。5.1引言根軌跡法（1948年，伊萬斯W.R.Evans）

原理：閉環(huán)控制系統(tǒng)的動態(tài)性能取決于其特征根在復(fù)平面上的分布。優(yōu)點：避免求解特征根。系統(tǒng)特征根位置隨單參數(shù)變化而形成的軌跡圖簡化繪制法。5.2根軌跡的基本概念根平面：一種復(fù)平面。

根軌跡：根隨Kg變化劃過的軌跡。

根軌跡圖：根平面＋根軌跡。根軌跡增益：Kg。5.2根軌跡的基本概念1、幅值條件

2、相角條件規(guī)定相角以逆時針方向為正5.3繪制根軌跡的一般方法5.3.1繪制根軌跡的基本法則規(guī)則1根軌跡的連續(xù)性閉環(huán)特征方程根是根軌跡增益Kg的連續(xù)函數(shù)。規(guī)則2根軌跡的分支數(shù)

=特征根個數(shù)=系統(tǒng)階數(shù)n。規(guī)則3根軌跡的對稱性實系數(shù)特征方程的根必為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù),必對稱于實軸。規(guī)則5實軸上的根軌跡

實軸上的根軌跡在奇數(shù)個零點和極點的左側(cè)。5.3繪制根軌跡的一般方法規(guī)則4根軌跡起點與終點起點(Kg=0)：開環(huán)傳遞函數(shù)的極點處。終點(Kg=∞)：開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(包括m個有限零點和n-m個無窮遠處的零點)。5.3繪制根軌跡的一般方法規(guī)則6根軌跡的漸近線

Kg→∞時,有n-m條根軌跡分支沿著與正實軸夾角,截距為-的一組漸近線趨于無窮遠處。5.3繪制根軌跡的一般方法5.3繪制根軌跡的一般方法規(guī)則10根軌跡的走向1)當n-m2時，閉環(huán)極點之和始終等于常數(shù)隨著Kg的增加，一些根軌跡向左移動時，另一些根軌跡必向右移動。5.3繪制根軌跡的一般方法實軸上相鄰兩開環(huán)極點/零點之間有根軌跡，該區(qū)段必有分離點/會合點；在分離點/會合點上，根軌跡切線與正實軸夾角稱分離角或會合角，其大小等于180°/q;規(guī)則7根軌跡的分離點和會合點根軌跡相交重根點5.3繪制根軌跡的一般方法例5-3開環(huán)傳遞函數(shù)5.3繪制根軌跡的一般方法規(guī)則8根軌跡與虛軸的交點例5-4開環(huán)傳遞函數(shù)方法2：方法1：5.3繪制根軌跡的一般方法規(guī)則9根軌跡的出射角和入射角出射角：根軌跡起始點處出發(fā)方向。

入射角：根軌跡終止點收縮方向。

5.3繪制根軌跡的一般方法例5-5開環(huán)傳遞函數(shù)為5.3繪制根軌跡的一般方法規(guī)則10根軌跡的走向1)當n-m2時，閉環(huán)極點之和始終等于常數(shù)隨著Kg的增加，一些根軌跡向左移動時，另一些根軌跡必向右移動。5.3繪制根軌跡的一般方法2)圓弧根軌跡當系統(tǒng)僅具有兩個開環(huán)極點和一個開環(huán)零點時，則在實軸外的根軌跡必然沿圓弧移動。例5-6系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為5.3繪制根軌跡的一般方法根據(jù)上述繪制根軌跡的基本法則，單回路控制系統(tǒng)根軌跡的繪制一般可按以下七個步驟進行:（1）確定根軌跡的分支數(shù)及其起點和終點。（2）確定實軸上的根軌跡。（3）確定根軌跡的漸近線與實軸的交點。（4）確定根軌跡的分離點和會合點。（5）確定根軌跡與虛軸的交點。（6）確定根軌跡的出射角和入射角。（7）確定根軌跡的走向，并繪制根軌跡。5.3繪制根軌跡的一般方法分離角為直角5.3繪制根軌跡的一般方法7)隨著Kg，4條根軌跡分支分別沿著4條漸近線趨向無窮遠輸入輸出5.3.2

參數(shù)根軌跡的繪制5.4.1雙回路系統(tǒng)的根軌跡5.3繪制根軌跡的一般方法5.4根軌跡法的擴展應(yīng)用5.4.1雙回路系統(tǒng)的根軌跡例5-9全系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)欲知系統(tǒng)性能要求確定全系統(tǒng)（外環(huán)）極點（可利用根軌跡）要求將GL展開為零極點形式要求(s+1)(s+2)+β=0的根。1）求(s+1)(s+2)+β=0的根（用根軌跡法）。

GL零極點形式求(s+1)(s+2)+β=0的根2）將GL展開為零極點形式。3）繪制外環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。，

P93習題3-6，P139習題4-11，為什么反饋可以提高慣性環(huán)節(jié)快速性？P112圖4-15，P116圖4-19，為什么加局部反饋或者比例微分環(huán)節(jié)可以提高系統(tǒng)穩(wěn)定裕度？P1234.6.2節(jié)上一段，為什么“隨著系統(tǒng)五差度階數(shù)的升高，穩(wěn)定裕度下降，故……”？忽略對象中存在的小慣性環(huán)節(jié)有何影響？輸入輸出輸入輸出5.5開環(huán)零極點對系統(tǒng)根軌跡的影響5.5.1開環(huán)零點對根軌跡的影響P116圖4-19，為什么加比例微分環(huán)節(jié)可以提高系統(tǒng)穩(wěn)定裕度？忽略對象中存在的小慣性環(huán)節(jié)有何影響？輸入輸出5.5開環(huán)零極點對系統(tǒng)根軌跡的影響5.5.2開環(huán)極點對根軌跡的影響輸入輸出

I和PID控制添加體會零點和極點的作用。如果零點和極點同時加，怎么加更為合理？如果零點和極點同時加，怎么加更為合理？5.5.3開環(huán)偶極子對根軌跡的影響開環(huán)偶極子：開環(huán)系統(tǒng)中一對互相非常接近（和其他零極點相比）的零點和極點。5.5開環(huán)零極點對系統(tǒng)根軌跡的影響開環(huán)放大系數(shù)提高zc/pc倍，由開環(huán)放大系數(shù)與系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)Kp、Kv、Ka關(guān)系可知，提高開環(huán)放大系數(shù)可改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。角位置隨動系統(tǒng)：旋轉(zhuǎn)負載的角位置o快速跟隨期望角位置i

。1、工作原理（第一章，P15）。2、實現(xiàn)性能良好的控制：2.1、動態(tài)行為（第二章）階數(shù)？關(guān)鍵環(huán)節(jié)？關(guān)鍵參數(shù)？2.2、性能分析（第四章）動態(tài)性能？穩(wěn)態(tài)性能？2.1、動態(tài)行為：階數(shù)及關(guān)鍵參數(shù)？（第二章、第四章）參考習題4-6、4-7。tp=1sσ%=60%參考習題4-6、4-7。2.2、性能分析（第四章、第五章）希望減小超調(diào)量，縮短調(diào)節(jié)時間？ts

>7sσ%=60%ts

<=1sσ%<=20%實例分析輸入輸出單位階躍響應(yīng)顯然無法同時滿足動靜態(tài)性能要求。穩(wěn)定性、穩(wěn)定裕度、快速性、平穩(wěn)性、準確性時域指標如何轉(zhuǎn)化為閉環(huán)極點位置要求？一對期望閉環(huán)主導(dǎo)極點位置

超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間等

ζ、ωn等

候選主導(dǎo)極點區(qū)域標出主導(dǎo)極點：考慮到其它極點零點的影響,留有余地。目標系統(tǒng)根軌跡必須穿過候選主導(dǎo)極點區(qū)域。校正前為I型系統(tǒng)7.4根軌跡法設(shè)計串聯(lián)校正①初選期望閉環(huán)主導(dǎo)極點對④檢驗校正效果故滿足穩(wěn)態(tài)誤差要求。單位階躍響應(yīng)，滿足穩(wěn)態(tài)精度要求，但不滿足動態(tài)性能要求。Re(p3)未小于5倍|p1|，該極點對動態(tài)性能有影響。單位階躍響應(yīng)，滿足穩(wěn)態(tài)精度要求，但仍不滿足動態(tài)性能要求。調(diào)整超前校正環(huán)節(jié)的零、極點位置若第三個極點的影響不能忽略，則考慮將零點適當右移，極點適當左移，增大超前校正相角c。估計邊界點是否能滿足要求。超前校正根軌跡設(shè)計方法步驟歸納如下：(1)根據(jù)性能指標的要求，視具體情況預(yù)留一定裕量，確定期望閉環(huán)主導(dǎo)極點（通常為共軛主導(dǎo)極點對）的候選區(qū)域。(2)若原根軌跡不通過候選區(qū)域，初選一對主導(dǎo)極點-p1和-p2，通常在對通常在候選區(qū)域邊緣選取。按式（7-17）計算超前校正相角：(3)用圖解法確定超前校正環(huán)節(jié)的零極點。(4)由校正后系統(tǒng)的根軌跡和幅值條件求出校正后系統(tǒng)的根軌跡增益Kg，計算系統(tǒng)的性能。若系統(tǒng)性能滿足，則結(jié)束，否則繼續(xù)。(5)適當右移校正環(huán)節(jié)的零點和（或）左移其極點，增大超前校正相角c，使系統(tǒng)根軌跡進一步左移。零、極點的調(diào)整應(yīng)綜合考慮動、靜態(tài)性能和校正環(huán)節(jié)的物理實現(xiàn)難易的要求，一般要求=(-zc)/(-pc)=(-1/T)/(-1/T)

不應(yīng)小于0.05。(6)繪出校正環(huán)節(jié)零、極點調(diào)整后的系統(tǒng)根軌跡。驗證系統(tǒng)性能，返回(5)或者結(jié)束。7.4根軌跡法設(shè)計串聯(lián)校正若通過調(diào)整超前校正環(huán)節(jié)的零、極點位置使主導(dǎo)極點回到陰影區(qū)域，則超前校正環(huán)節(jié)需提供過大的附加相角，故難以實現(xiàn)。由于本例只是進一步要求提高穩(wěn)態(tài)精度，可考慮引入偶極子來改善穩(wěn)態(tài)性能。（2）引入開環(huán)偶極子滯后校正設(shè)計步驟初選滯后校正的零、極點為0.08和0.01滿足靜態(tài)性能要求。7.4根軌跡法設(shè)計串聯(lián)校正相應(yīng)根軌跡如圖7-27所示。由圖可見，其遠離原點部分的根軌跡與例7-5校正后的圖相比變化不大，相應(yīng)的第三個閉環(huán)極點幾乎未變,。動態(tài)性能影響小。單位斜坡輸入作用下的輸出響應(yīng)

輸入端的偏差信號

未進行滯后校正前的單位斜坡輸入作用下的輸出響應(yīng)

7.4根軌跡法設(shè)計串聯(lián)校正滯后校正根軌跡設(shè)計方法步驟歸納如下：(1)繪制原系統(tǒng)根軌跡，確定系統(tǒng)滿足動態(tài)性能時所對應(yīng)的期望閉環(huán)特征根-p1,2。⑵用幅值條件求此時閉環(huán)系統(tǒng)特征根對應(yīng)的Kg(根軌跡增益)及開環(huán)放大系數(shù)K。⑶若此時的Kg值不能滿足穩(wěn)態(tài)精度要求。由靜態(tài)性能指標要求，求出其對應(yīng)的Kg值，確定系統(tǒng)所需增大的放大倍數(shù)。根據(jù)值確定滯后環(huán)節(jié)中零極點值，獲得滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。⑷畫出校正后系統(tǒng)的根軌跡，調(diào)整放大系數(shù)，使閉環(huán)主導(dǎo)極點位于期望區(qū)域。校驗各種性能指標。

7.4根軌跡法設(shè)計串聯(lián)校正7.4.3滯后-超前校正的根軌跡法設(shè)計（1）根據(jù)期望性能指標的要求，確定滿足要求的閉環(huán)主導(dǎo)極點的候選區(qū)域。（2）作出校正前系統(tǒng)的根軌跡。若根軌跡未穿過候選區(qū)域，則初選期望閉環(huán)主導(dǎo)極點的位置。合理選擇超前校正零、極點，使其穿過期望主導(dǎo)極點。（3）校驗系統(tǒng)響應(yīng)動態(tài)性能是否滿足要求，不滿足則可適當右移校正環(huán)節(jié)的零點和（或）左移其極點，使系統(tǒng)根軌跡進一步左移，繪制相應(yīng)根軌跡，并重新選擇裕度更大的閉環(huán)系統(tǒng)主導(dǎo)極點。（4）對新選主導(dǎo)極點，按幅值條件求出校正后系統(tǒng)的根軌跡增益Kg以及靜態(tài)誤差系數(shù)，檢驗系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度是否滿足要求。若不滿足要求，則根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差要求確定滯后校正零、極點的位置。（5）滯后校正后，原主導(dǎo)極點位置可能發(fā)生變化。此時，應(yīng)繪制滯后-超前校正后系統(tǒng)根軌跡，判斷系統(tǒng)動、靜態(tài)性能是否滿足要求。5.4根軌跡法的擴展應(yīng)用5.4.30度根軌跡的繪制0度根軌跡：相角遵循0+360k條件的根軌跡，又因根軌跡增益（-Kg）為負值，也稱為負根軌跡。5.4根軌跡法的擴展應(yīng)用規(guī)則1

根軌跡的分支數(shù)，起點和終點同180度根軌跡。規(guī)則2

由于0度根軌跡相角條件的改變，實軸上的根軌跡在偶數(shù)個開環(huán)零極點的左側(cè)。規(guī)則3

根軌跡的漸近線與實軸的交點的計算方法同180度根軌跡，而與實軸的夾角的計算公式為規(guī)則4

根軌跡的分離點和會合點的計算方法同180度根軌跡。規(guī)則5

由于相角條件的改變，計算離開開環(huán)極點-pq的出射角公式變?yōu)?.4根軌跡法的擴展應(yīng)用而計算進入開環(huán)零點-zq的入射角公式為規(guī)則6

根軌跡與虛軸交點的計算方法同180度根軌跡。規(guī)則7

根軌跡的走向和其他性質(zhì)，可按180度根軌跡類似推得。5.4根軌跡法的擴展應(yīng)用例5-11考慮一個單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡。5.4根軌跡法的擴展應(yīng)用5)三條根軌跡都沿著漸近線趨向無窮遠5.6利用MATLAB分析控制系統(tǒng)的根軌跡5.6.1繪制根軌跡與求取根軌跡增益關(guān)鍵語句：rlocus(num，den)或rlocus(num,den,k)[k，poles]=rlocfind(num,den)例5-12單位負反饋開環(huán)傳遞函數(shù)

試繪制根軌跡圖，試求在根軌跡上點(-1,0)處的坐標值和所對應(yīng)的根軌跡增益值命令窗口輸入內(nèi)容見166頁。鼠標移動獲取軌跡上的坐標值增益。5.6利用MATLAB分析控制系統(tǒng)的根軌跡5.6.2分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[p,k]=r