隨機(jī)數(shù)學(xué)課件：5-1節(jié) 大數(shù)定律

第一節(jié)大數(shù)定律一、問題的引入二、基本定理三、典型例題四、小結(jié)一、問題的引入實(shí)例

頻率的穩(wěn)定性隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù).啟示:從實(shí)踐中人們發(fā)現(xiàn)大量測量值的算術(shù)平均值有穩(wěn)定性.1.1切比雪夫不等式

切比雪夫不等式a

是一常數(shù)，(或則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù)a,記作是一系列隨機(jī)變量設(shè)有若１.２依概率收斂依概率收斂序列的性質(zhì):定理一（契比雪夫定理的特殊情況）表達(dá)式的意義二、基本定理證明由切比雪夫不等式可得并注意到概率不能大于1,則關(guān)于定理一的說明:（這個(gè)接近是概率意義下的接近）即在定理?xiàng)l件下,n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均,當(dāng)n無限增加時(shí),幾乎變成一個(gè)常數(shù).（1）定理一的另一種敘述:不一定有相同的數(shù)學(xué)期望與方差，可設(shè)有（2）證明引入隨機(jī)變量定理二（伯努利大數(shù)定理）顯然根據(jù)定理一有關(guān)于伯努利大數(shù)定理的說明:故而當(dāng)n很大時(shí),事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小.在實(shí)際應(yīng)用中,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率.關(guān)于辛欽定理的說明:(1)與定理一相比,不要求方差存在;(2)伯努利定理是辛欽定理的特殊情況.定理三（辛欽大數(shù)定理）三、典型例題解獨(dú)立性依題意可知,檢驗(yàn)是否具有數(shù)學(xué)期望？例1說明每一個(gè)隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望,檢驗(yàn)是否具有有限方差？說明離散型隨機(jī)變量有有限方差,故滿足契比雪夫定理的條件.解由辛欽大數(shù)定理知例2四、小結(jié)三個(gè)大數(shù)定理切比雪夫定理的特殊情況伯努利大數(shù)定理辛欽定理

頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ),而伯努利大數(shù)定理以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)形式論證了頻率的穩(wěn)定性.契比雪夫資料Pafnuty

ChebyshevBorn:16May.1821inOkatovo,RussiaDied:8Dec.1894InStPetersburg,Russia伯努利資料JacobBernoulliBorn:27Dec.1654inBasel,Switzerland

Died:16Aug.1705inBasel,Switzerland辛欽資料Aleksandr

Yakovlevich

KhinchinBorn:19Jul.1894inKondrovo,Kaluzhskaya