新高考數(shù)學(xué)真題源復(fù)習(xí)講義之專題02 非線性回歸方程（原卷版）

專題2非線性回歸方程例1．某景區(qū)的各景點(diǎn)從2009年取消門票實(shí)行免費(fèi)開放后，旅游的人數(shù)不斷地增加，不僅帶動了該市淡季的旅游，而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了該市旅游向“觀光、休閑、會展”三輪驅(qū)動的理想結(jié)構(gòu)快速轉(zhuǎn)變．下表是從2009年至2018年，該景點(diǎn)的旅游人數(shù)（萬人）與年份的數(shù)據(jù)：第年12345678910旅游人數(shù)（萬人）300283321345372435486527622800該景點(diǎn)為了預(yù)測2021年的旅游人數(shù)，建立了與的兩個(gè)回歸模型：模型①：由最小二乘法公式求得與的線性回歸方程；模型②：由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線的附近．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求模型②的回歸方程．精確到個(gè)位，精確到．（2）根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測2021年該景區(qū)的旅游人數(shù)（單位：萬人，精確到個(gè)位）．回歸方程①②3040714607參考公式、參考數(shù)據(jù)及說明：①對于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為．②刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)．③參考數(shù)據(jù)：，．5.54496.058341959.00表中．例2．近年來，隨著國家綜合國力的提升和科技的進(jìn)步，截至2018年底，中國鐵路運(yùn)營里程達(dá)13.2萬千米，這個(gè)數(shù)字比1949年增長了5倍；高鐵運(yùn)營里程突破2.9萬千米，占世界高鐵運(yùn)營里程的以上，居世界第一位．如表截取了年中國高鐵密度的發(fā)展情況（單位：千米萬平方千米）．年份20122013201420152016年份代碼12345高鐵密度9.7511.4917.1420.6622.92已知高鐵密度與年份代碼之間滿足關(guān)系式，為大于0的常數(shù)）．若對兩邊取自然對數(shù)，得到，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān)．（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程，保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）利用（1）的結(jié)論，預(yù)測到哪一年，高鐵密度會超過30千米萬平方千米．參考公式：設(shè)具有線性相關(guān)系的兩個(gè)變量，的一組數(shù)據(jù)為，，2，，則回歸方程的系數(shù)：，．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．例3．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在的為三等品，在的為二等品，在的為一等品，該產(chǎn)品的三、二、一等品的銷售利潤分別為每件1.5，3.5,5.5（單位：元），以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)位于該區(qū)間的概率.（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對近5年的年?duì)I銷費(fèi)用和年銷售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.16.3024.870.411.64表中，，，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用（萬元）的回歸方程.（?。┙㈥P(guān)于的回歸方程；（ⅱ）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？（收益=銷售利潤-營銷費(fèi)用，?。﹨⒖脊剑簩τ谝唤M數(shù)據(jù)：，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小乘估計(jì)分別為，例4．近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，共享經(jīng)濟(jì)覆蓋的范圍迅速擴(kuò)張，繼共享單車、共享汽車之后，共享房屋以“民宿”、“農(nóng)家樂”等形式開始在很多平臺上線.某創(chuàng)業(yè)者計(jì)劃在某景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”，為了確定未來發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)附近六家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了天.得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（單位：元/日），為入住天數(shù)（單位：），以頻率作為各自的“入住率”，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)與“入住率”的散點(diǎn)圖如圖x50100150200300400t906545302020（1）若從以上六家“農(nóng)家樂”中隨機(jī)抽取兩家深入調(diào)查，記為“入住率”超過的農(nóng)家樂的個(gè)數(shù)，求的概率分布列；（2）令，由散點(diǎn)圖判斷與哪個(gè)更合適于此模型（給出判斷即可，不必說明理由）？并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程.（結(jié)果保留一位小數(shù)）（3）若一年按天計(jì)算，試估計(jì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為多少時(shí)，年銷售額最大？（年銷售額入住率收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)）參考數(shù)據(jù)：例5．已知某種細(xì)菌的適宜生長溫度為，為了研究該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量（單位：個(gè)）隨溫度（單位：）變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：溫度/12141618202224繁殖數(shù)量/個(gè)2025332751112194對數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計(jì)量的值，如下表所示：18663.81124.3142820.5其中，.（1）請繪出關(guān)于的散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于的回歸方程類型（結(jié)果精確到0.1）；（2）當(dāng)溫度為時(shí)，該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報(bào)值為多少？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.參考數(shù)據(jù)：.例6．噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題，為了了解聲音強(qiáng)度（單位：分貝）與聲音能量（單位：）之間的關(guān)系，將測量得到的聲音強(qiáng)度和聲音能量（=1，2…，10）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.45.70.515.1表中，。（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為聲音強(qiáng)度關(guān)于聲音能量的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求聲音強(qiáng)度關(guān)于聲音能量的回歸方程；（3）當(dāng)聲音強(qiáng)度大于60分貝時(shí)屬于噪音，會產(chǎn)生噪音污染，城市中某點(diǎn)共受到兩個(gè)聲源的影響，這兩個(gè)聲源的聲音能量分別是和，且.己知點(diǎn)的聲音能量等于聲音能量與之和。請根據(jù)（1）中的回歸方程，判斷點(diǎn)是否受到噪音污染的干擾，并說明理由。附：對于一組數(shù)據(jù).其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.例7．某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，需了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額y（單位：億元）的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型:①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，i=1,2,?,12，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了右側(cè)的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814（1）設(shè)ui和yi的相關(guān)系數(shù)為r1，xi和（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額y需達(dá)到90億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元？附：①相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi?x②參考數(shù)據(jù)：308=4×77，90≈9.4868，e例8．習(xí)近平總書記在十九大報(bào)告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，這將進(jìn)一步推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展。以下是近幾年我國新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖：年份20132014201520162017年份代碼新能源乘用車年銷量（萬輛）（1）請根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與中哪一個(gè)更適宜作為年銷售量關(guān)于年份代碼的回歸方程類型?(給出判斷即可，不必說明理由)（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測年我國新能源乘用車的銷售量(精確到).附:1.最小二乘法估計(jì)公式：其中例9．某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用（單位：千萬元）對年銷售量（單位：千萬件）的影響，統(tǒng)計(jì)了近年投入的年研發(fā)費(fèi)用與年銷售量的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示：（Ⅰ）利用散點(diǎn)圖判斷，和（其中，為大于的常數(shù)）哪一個(gè)更適合作為年研發(fā)費(fèi)用和年銷售量的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說明理由）；（Ⅱ）對數(shù)據(jù)作出如下處理：令，，得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；（Ⅲ）已知企業(yè)年利潤（單位：千萬元）與，的關(guān)系為（其中），根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果，要使得該企業(yè)下一年的年利潤最大，預(yù)計(jì)下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費(fèi)用？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，例10．近年來隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展，舊貨交易市場也得以快速發(fā)展.某網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺對2018年某種機(jī)械設(shè)備的線上交易進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，和如圖所示的散點(diǎn)圖.現(xiàn)把直方圖中各組的頻率視為概率，用（單位：年）表示該設(shè)備的使用時(shí)間，（單位：萬元）表示其相應(yīng)的平均交易價(jià)格.（1）已知2018年在此網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺成交的該種機(jī)械設(shè)備為100臺，現(xiàn)從這100臺設(shè)備中，按分層抽樣抽取使用時(shí)間的4臺設(shè)備，再從這4臺設(shè)備中隨機(jī)抽取2臺