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上下載第7講概率論與數(shù)理統(tǒng)計講義第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量定義對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),使對于任意實數(shù)x,有則X稱為連續(xù)型隨機(jī)變量,其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度.(顯然,改變概率密度f(x)在個別點(diǎn)的函數(shù)值不影響分布函數(shù)F(x)的取值.)由定義知道,概率密度f(x)具有以下性質(zhì):

1f(x)0.

23對于任意實數(shù)x1,x2,x1x2,有4若f(x)在點(diǎn)x連續(xù),則有F'(x)=f(x).性質(zhì)3如圖所示x1x2xf(x)O由性質(zhì)4,對于f(x)的連續(xù)點(diǎn)x,有例1

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度(1)確定常數(shù)k;(2)求X的分布函數(shù);(3)求P{3/2<X5/2}.解

(1)由得解得k=-1/2例1

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度(1)確定常數(shù)k;(2)求X的分布函數(shù);(3)求P{3/2<X5/2}.解

(2)X的分布函數(shù)為例1

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度(1)確定常數(shù)k;(2)求X的分布函數(shù);(3)求P{3/2<X5/2}.解

(3)對于連續(xù)型隨機(jī)變量X,需要指出的是:其一,分布函數(shù)F(x)是一個連續(xù)函數(shù);其二,X取任一指定實數(shù)值a的概率均為0,即P{X=a}=0.這樣,我們在計算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時,可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間.例如有

P{a<Xb}=P{aXb}=P{a<X<b},

此外,盡管P{X=a}=0,但{X=a}并不是不可能事件.同樣地,一個事件的概率為1,并不意味著這個事件一定是必然事件.

下面介紹三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量.(一)均勻分布

所謂均勻分布,就是隨機(jī)變量X在某個區(qū)間上的幾何試驗概型上導(dǎo)致的分布,就是說,落在此區(qū)間內(nèi)的任何一個區(qū)域的概率,和這個區(qū)域的長度成正比,是這個區(qū)域的長度除以區(qū)間的長度.因此它的概率密度為這時稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,記為X~U(a,b).易知f(x)0,且

由(2)式得X的分布函數(shù)為上圖是f(x)和F(x)的圖形.

均勻分布在實際問題中較為常見.例如一個隨機(jī)數(shù)(即任意取的一個實數(shù))取整后產(chǎn)生的誤差以及前面提到的乘客候車時的等候時間等都服從均勻分布.ababxxOf(x)F(x)1(二)指數(shù)分布

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中l(wèi)>0為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為l的指數(shù)分布,記為X~E(l).易知f(x)0,且由(3)式得X的分布函數(shù)為指數(shù)分布的概率密度和分布函數(shù)的圖形如上圖所示.

這里,我們指出電子元件的壽命及顧客排隊時等候服務(wù)的時間均服從指數(shù)分布.指數(shù)分布在可靠性理論與排隊論中有廣泛的應(yīng)用.xOf(x)lOxF(x)1解由題意,X的概率密度為解由題意,X的概率密度為于是各元件的壽命是否超過1000小時是獨(dú)立的,因此3個元件使用1000小時都未損壞的概率為e-3,從而至少有一個已損壞的概率為1-e-3.(三)正態(tài)分布

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中m,s(s>0)為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為m,s的正態(tài)分布,記為X~N(m,s2).顯然f(x)0,利用廣義積分公式(普阿松積分)可證圖2-11正態(tài)分布概率密度的圖形.xs=1.5s=1.0s=0.5f(x)0.7980.3990.266Om由圖2-11可以清楚地看出,函數(shù)f(x)的圖形關(guān)于直線x=m對稱,f(x)在x=m處取得最大值.當(dāng)m固定時,s的值越小,f(x)的圖形就越尖;反之,s的值越大,f(x)的圖形就越平.當(dāng)然,f(x)的圖形越尖,隨機(jī)變量X落在點(diǎn)m附近的概率也越大.形象地說,正態(tài)隨機(jī)變量的分布規(guī)律呈現(xiàn)出"中間大,兩頭小"的態(tài)勢.

由(4)式得X的分布函數(shù)為正態(tài)分布的分布函數(shù):10.5F(x)xOm特別地,當(dāng)m=0,s=1時,稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為X~N(0,1),其概率密度和分布函數(shù)分別用j(x),F(x)表示,即有易知F(-x)=1-F(x).人們編制了F(x)的函數(shù)表,可供查用(見附表2).引理若X~N(m,s2),則(引理的證明將在下一節(jié)給出.)例3

已知X~N(8,42),求P{X16},P{X0}及P{12<X20}.

解由引理及(5)式,查表得例4

設(shè)X~N(m,s2),求X落在區(qū)間(m-ks,m+ks)內(nèi)的概率(k=1,2,3).

解

P{|X-m|<ks}=P{m-ks<X<m+ks}

=F(k)-F(-k)

=2F(k)-1,

于是

P{|X-m|<s}=2F(1)-1=0.6826,

P{|X-m|<2s}=2F(2)-1=0.9544,

P{|X-m|<3s}=2F(3)-1=0.9973,

則

P{|X-m|3s}=1-P{|X-m|<3s}=0.0027<0.003.P{|X-m|3s}=1-P{|X-m|<3s}=0.0027<0.003.

由此可見,X落在(m-3s,m+3s)以外的概率小于3‰.由于這一概率很小,在實際問題中常認(rèn)為它是不會發(fā)生的,基本上可以把區(qū)間(m-3s,m+3s)看作是隨機(jī)變量X實際可能的取值區(qū)間.這一說法稱之為正態(tài)分布的"3s"原則.在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中,大量隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布.例如,人的身高與體重,測量產(chǎn)生的誤差,海洋波浪的高度等等.事實上,正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中最重要的一種分布,這一點(diǎn)我們將在第五章里進(jìn)一步地說明.為了便于今后在數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用,對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量,按如下方式引入上a分位點(diǎn)的定義.

設(shè)X~N(0,1),若ua滿足條件P{X>ua}=a,0<a<1,則稱點(diǎn)ua為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上a分位點(diǎn).xauaj(x)ua的值可通過查附表2得到.下表列出