41復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)

一、復(fù)數(shù)列的極限二、級(jí)數(shù)的概念第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)三、典型例題四、冪級(jí)數(shù)五、小結(jié)與思考1一、復(fù)數(shù)列的極限1.定義記作22.復(fù)數(shù)列收斂的條件定理一說明:可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性.證明思想與過程跟函數(shù)極限的證明完全類似，故省略.3課堂練習(xí):下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.收斂到-1不收斂收斂到04二、級(jí)數(shù)的概念1.定義表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù).其最前面n

項(xiàng)的和稱為級(jí)數(shù)的部分和.部分和5收斂與發(fā)散說明:與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是:672.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的條件證因?yàn)槎ɡ矶?說明

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題(定理二)9解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.課堂練習(xí)10必要條件重要結(jié)論:11不滿足必要條件,所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.啟示:判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí),可先考察?級(jí)數(shù)發(fā)散;應(yīng)進(jìn)一步判斷.123.絕對(duì)收斂與條件收斂注意應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法則判定.定理三13證由于而根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較準(zhǔn)則,知14由定理二可得[證畢]15非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂級(jí)數(shù).說明如果

收斂,那末稱級(jí)數(shù)

為絕對(duì)收斂.定義16所以綜上:17三、典型例題例1解級(jí)數(shù)滿足必要條件,但18例2故原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.因?yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知:解19故原級(jí)數(shù)收斂.所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.例3解20四.冪級(jí)數(shù)1.冪級(jí)數(shù)的概念設(shè){fn(z)}(n=1,2,...)為一復(fù)變函數(shù)序列,其中各項(xiàng)在區(qū)域d內(nèi)有定義.表達(dá)式稱為這級(jí)數(shù)的部分和.稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).最前面n項(xiàng)的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)21s(z)稱為級(jí)數(shù)如果對(duì)于d內(nèi)的某一點(diǎn)z0,極限存在,則稱復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4.2.1)在z0收斂,而s(z0)稱為它的和.如果級(jí)數(shù)在d內(nèi)處處收斂,則它的和一定是z的一個(gè)函數(shù)s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...的和函數(shù).22如果令z-a=z,則(4.2.2)成為,這是(4.2.3)的形式,為了方便,今后常就(4.2.3)討論當(dāng)fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時(shí),就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形:這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).23定理一(阿貝爾abel定理)z0xyo24[證]25262.收斂圓和收斂半徑利用阿貝爾定理,可以定出冪級(jí)數(shù)的收斂范圍,對(duì)一個(gè)冪級(jí)數(shù)來說,它的收斂情況不外乎三種:iii)既存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù).設(shè)z=a(正實(shí)數(shù))時(shí),級(jí)數(shù)收斂,z=b(正實(shí)數(shù))時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.i)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的.這時(shí),根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.

ii)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的.這時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.27藍(lán)色：已知收斂部分，綠色圓外是發(fā)散部分往里壓縮往外擴(kuò)張最終，稱28例4求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).[解]級(jí)數(shù)實(shí)際上是等比級(jí)數(shù),部分和為29303.收斂半徑的求法定理二(比值法)如果則收斂半徑中心在z0的冪級(jí)數(shù)也是如此求半徑,只是收斂圓域的寫法不同而已.31解：故收斂半徑324.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)象實(shí)變冪級(jí)數(shù)一樣,復(fù)變冪級(jí)數(shù)也能進(jìn)行有理運(yùn)算.設(shè)在以原點(diǎn)為中心,r1,r2中較小的一個(gè)為半徑的圓內(nèi),這兩個(gè)冪級(jí)數(shù)可以象多項(xiàng)式那樣進(jìn)行相加,相減,相乘,所得到的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積.3334更為重要的是代換(復(fù)合)運(yùn)算這個(gè)代換運(yùn)算,在把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)時(shí),有著廣泛的應(yīng)用.35363)f(z)在收斂圓域內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,即37五、小結(jié)與思考通過本課的學(xué)習(xí),應(yīng)了解復(fù)數(shù)列的極限概念;熟悉復(fù)數(shù)列收斂及復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與絕對(duì)收斂的充要條件;理解復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散、絕對(duì)收斂與條件收斂的概念與性質(zhì).38思考題39思考題答案否.放映結(jié)束，按esc退出.