1 菱形的性質(zhì)與判定 第2課時

A

B

C

D

O

1菱形的性質(zhì)與判定

第2課時

2.會用這些判定方法進行有關(guān)的證明和計算.1.理解并掌握菱形的定義及判定方法.3.會綜合運用菱形的性質(zhì)與判定進行有關(guān)的證明和計算.

1.什么是菱形？

一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì).特殊性質(zhì)主要體現(xiàn)在邊和對角線上.ABCD2.菱形有哪些特殊性質(zhì)？主要體現(xiàn)在哪些方面？

菱形的特殊性質(zhì)有：

(1)兩條對角線互相垂直平分.(2)四條邊都相等.(3)每條對角線平分一組對角.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

AB=BCABCD□ABCD∵□ABCD，AB=BC,∴□ABCD是菱形.菱形的判定方法一（定義法）

DACB

用一長一短兩根細木條,在它們的中點處固定一個小釘,做成一個可以轉(zhuǎn)動的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個四邊形.轉(zhuǎn)動木條,這個四邊形什么時候變成菱形?對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知：在□ABCD中，AC⊥BD.

求證：□ABCD是菱形.證明：

∴四邊形ABCD是菱形

又∵

AC⊥BD,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC.

∴BA=BC,

(有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形).

菱形的判定方法二

ABCD證明：在四邊形ABCD中,AB=CD，BC=DA.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵AB=BC，

∴平行四邊形ABCD是菱形.菱形的判定方法三

四條邊都相等的四邊形是菱形.已知：四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求證：四邊形ABCD是菱形.

由菱形的性質(zhì)：“每條對角線平分一組對角”，我們還可以得到判定菱形的方法：

每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形．

對此感興趣的同學(xué)，可以試著用邏輯推理的方法進行證明．

判定定理1：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.判定定理3：四條邊都相等的四邊形是菱形.判定定理4：每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形.菱形的判定方法

(1)有一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形.(3)對角線相等且互相平分的四邊形是菱形.(2)對角線互相垂直，且一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形.(4)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.1.判斷下列說法是否正確：

【跟蹤訓(xùn)練】

2.把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，試探究重疊部分ABCD的形狀，并說明理由.ACDB【解析】方法一：重疊部分為菱形，理由如下：

過點A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F因紙條等寬，故AE=AF.又AB∥CD,AD∥BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形.∵S□ABCD=BC·AE=CD·AF，

∴BC=CD，

∴四邊形ABCD為菱形.ABCDEF方法二：重疊部分為菱形，理由如下：

過點A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F，

∠AEB=∠AFD=90°，

因紙條等寬，故AE=AF，

又AB∥CD,AD∥BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∴∠ABE=∠ADF,

∴△ABE≌△ADF，

∴AB=AD，

∴四邊形ABCD是菱形.

ABCDEFA.B.C.D.2.（陜西·中考）若一個菱形的邊長為2，則這個菱形兩條對角線的平方和為（

）

A.16B.8C.4D.1

【解析】選A.設(shè)這個菱形兩條對角線長分別為a,b.由菱形

對角線互相垂直且平分，得

即a2+b2=16.222ab()+()=2,223.（連云港·中考）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD互相垂直，則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的

是（

）

A.BA=BCB.AC，BD互相平分

C.AC=BDD.AB∥CD

【解析】選B.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.4.（溫州·中考）如圖，在□

ABCD中，

EF∥BD，分別交BC，CD于點P，Q，交

AB，AD的延長線于點E,F.已知BE=BP.求證：（1）∠E=∠F.

（2）□

ABCD是菱形.【證明】(1)在□ABCD中，BC∥AD，

∴∠1=∠F,∵BE=BP,∴∠E=∠1,∴∠E=∠F.

（2）∵BD∥EF,

∴∠2=∠E，∠3=∠F,

∵∠E=∠F,

∴∠2=∠3,

∴AB=AD,

∴□ABCD是菱形.判定定理1：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.判定定理2：對角線互相垂直