第二章組合邏輯函數(shù)

第二章組合邏輯函數(shù)

本章首先介紹邏輯代數(shù)的基本公式、常用公式及常用規(guī)則，并在此基礎(chǔ)上著重討論邏輯函數(shù)的表示形式和化簡(jiǎn)方法。1/11/20231§2-1

邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

§2-2布爾代數(shù)§2-3邏輯函數(shù)與其邏輯表達(dá)式§2-4邏輯圖§2-5卡諾圖及邏輯化簡(jiǎn)§2-6應(yīng)用實(shí)例§2-7小結(jié)1/11/20232§2-1

邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

邏輯代數(shù)又稱(chēng)為布爾代數(shù),它是19世紀(jì)中葉由英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治.布爾（George.Boole）最早提出來(lái)的，是描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法。因20世紀(jì)30年代被克勞德.香農(nóng)（ClaudeE.Shannon）用于開(kāi)關(guān)電路的分析與設(shè)計(jì)上，故又稱(chēng)為開(kāi)關(guān)代數(shù)。

2.1.1邏輯函數(shù)的基本概念

2.1.2邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算

1/11/20233

2-1-1邏輯函數(shù)的基本概念邏輯變量－－邏輯代數(shù)中的變量，一般由大寫(xiě)或小寫(xiě)字母表示。二值邏輯－－僅包括邏輯0和邏輯1兩種取值。邏輯函數(shù)－－是一類(lèi)描述邏輯變量之間關(guān)系的函數(shù)。輸入變量（自變量）－－與輸入信號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯變量稱(chēng)為輸入變量。輸出變量（因變量）－－與輸出信號(hào)對(duì)應(yīng)的變量。邏輯表達(dá)式－－描述邏輯函數(shù)的一種代數(shù)形式。記為

F=F(A,B,C,…).1/11/202342-1-2邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算

1.與運(yùn)算與運(yùn)算－－如果將開(kāi)關(guān)閉合作為條件，將燈亮作為結(jié)果，那么該圖表示，只有決定事件結(jié)果的全部條件同時(shí)具備時(shí)，結(jié)果才能發(fā)生，這一因果關(guān)系就稱(chēng)為與運(yùn)算。串聯(lián)開(kāi)關(guān)電路

1/11/20235ABF=AB

000110110001與運(yùn)算的真值表

真值表－－給出自變量各種可能取值組合下因變量的值.由與運(yùn)算規(guī)則可推出：

A?0＝0A?1＝AA?A＝A與運(yùn)算的邏輯表達(dá)式為

F＝A?B＝AB1/11/20236與門(mén)的邏輯符號(hào)

二極管與門(mén)

A

BF=ABLLLHHLHHLLLH與門(mén)電路的電平表

與門(mén)--實(shí)現(xiàn)與運(yùn)算的單元電路1/11/202372.或運(yùn)算（或邏輯、邏輯加）或運(yùn)算－－決定事件結(jié)果的所有條件中只要有任何一個(gè)滿足，結(jié)果就會(huì)發(fā)生，這種因果關(guān)系稱(chēng)為或運(yùn)算。

并聯(lián)開(kāi)關(guān)電路

ABF=A+B000110110111或運(yùn)算的真值表

1/11/20238或運(yùn)算的邏輯表達(dá)式為

F＝A＋B由或運(yùn)算規(guī)則可推出

A＋0＝AA＋1＝1

A＋A＝A1/11/20239或門(mén)－－實(shí)現(xiàn)或運(yùn)算的單元電路

或門(mén)的邏輯符號(hào)二極管或門(mén)

ABF=A+BLLLHHLHHLHHH或門(mén)電路的電平表

1/11/2023103.非運(yùn)算（非邏輯、邏輯反）非運(yùn)算－－當(dāng)條件具備時(shí)結(jié)果不會(huì)發(fā)生；當(dāng)條件不具備時(shí)結(jié)果一定會(huì)發(fā)生，這種邏輯關(guān)系稱(chēng)為非運(yùn)算。

非邏輯實(shí)例

AF=A

01

10非運(yùn)算真值表

非運(yùn)算的邏輯表達(dá)式是

1/11/202311非門(mén)－－實(shí)現(xiàn)非運(yùn)算的單元電路非運(yùn)算的邏輯符號(hào)

AF=ALHHL非門(mén)電路的電平表

A＋A＝1A?A＝0A＝A1/11/2023124.復(fù)合邏輯運(yùn)算

復(fù)合邏輯運(yùn)算－－將“與”、“或”、“非”三種基本運(yùn)算進(jìn)行組合，可以構(gòu)“與非”、“或非”、“與或非”、“同或”、“異或”等常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算。與非、或非、與或非三種運(yùn)算的表達(dá)式分別為

1/11/202313與非門(mén)或非門(mén)與或非門(mén)1/11/202314異或運(yùn)算

異或運(yùn)算的邏輯表達(dá)式為

F＝AB＝AB＝異或運(yùn)算表示：當(dāng)輸入變量A、B相異時(shí)，輸出為1；相同時(shí)輸出為0

異或門(mén)的邏輯符號(hào)

ABF=AB+AB00011011

0110異或運(yùn)算的真值表

1/11/202315同或運(yùn)算同或運(yùn)算的邏輯表達(dá)式

F=A⊙B＝

AB＋AB同或運(yùn)算表示:當(dāng)輸入變量A、B相異時(shí)，輸出為0；相同時(shí)輸出為1。

ABF=AB+AB00011011

1001同或運(yùn)算的真值表

同或門(mén)的邏輯符號(hào)

1/11/202316異或計(jì)算公式⊙⊙⊙1011010101101000a⊙babba1/11/202317例2－1－1利用異或運(yùn)算實(shí)現(xiàn)自然二進(jìn)制碼與格雷碼之間的轉(zhuǎn)換。

g3＝b3g2＝b3b2g1＝b2b1g0＝b1b0反之

b3＝g3b2＝g3g2b1＝g3g2g1b0＝g3g2g1g01/11/2023182-2-1

布爾代數(shù)的基本公式2-2-2

布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則2-2-3

公式法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)§2-2布爾代數(shù)1/11/2023192-2-1布爾代數(shù)的基本公式包含律12對(duì)合律11反演律10a.a=aa+a=a重疊律9吸收律28a(a+b)=aa+ab=a吸收律17互補(bǔ)律60.a=01+a=10-1律251.a=a0+a=a0-1律14a(b+c)=ab+aca+bc=(a+b)(a+c)分配律3a(bc)=(ab)ca+(b+c)=(a+b)+c結(jié)合律2ab=baa+b=b+a交換律11/11/202320用真值表來(lái)證明包含律的正確性。AB+AC+BC=AB+AC1/11/2023211.代入規(guī)則2.反演規(guī)則3.對(duì)偶規(guī)則2-2-2布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則1/11/2023221.代入規(guī)則例：用代入規(guī)則推廣摩根定律。邏輯等式中任一變量x以函數(shù)z代替，所得新等式仍然成立。1/11/2023232.反演規(guī)則設(shè)x為原變量，稱(chēng)為反變量，設(shè)z為原函數(shù)，稱(chēng)為反函數(shù)。設(shè)f是一邏輯表達(dá)式，若把f中所有的·變成＋，＋變成·；1變成0，0變成1；原變量變成反變量，反變量變成原變量，則構(gòu)成的新表達(dá)式為原函數(shù)f的反函數(shù)。1/11/202324

運(yùn)用反演規(guī)則可以方便地求出一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)，但須注意如下兩點(diǎn)：1．運(yùn)算次序增守“先括號(hào)、然后與、最后或”這一原則。2．不屬于單變量上的非號(hào)保留不變。第二章組合邏輯函數(shù)1/11/202325用反演規(guī)則求反函數(shù)1/11/2023263.對(duì)偶規(guī)則設(shè)f是一邏輯表達(dá)式，若把f中所有的·變成＋，＋變成·；1變成0，0變成1，則構(gòu)成的新表達(dá)式為f的對(duì)偶式fD。若邏輯等式成立，則對(duì)偶式也一定成立。注意：1.運(yùn)算優(yōu)先次序不能改變;2.式中非號(hào)保持不變.1/11/202327用對(duì)偶規(guī)則求對(duì)偶式1/11/2023282-1-3公式法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)用計(jì)算公式和三個(gè)規(guī)則化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。常用：①、并項(xiàng) ②、吸收 ③、消元 ④、配項(xiàng) ⑤、展開(kāi)公式1/11/202329公式法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)舉例（1）1/11/202330公式法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)舉例（2）⊙⊙1/11/202331公式法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)舉例（3）1/11/202332公式法化簡(jiǎn)的缺點(diǎn)：

不直觀，要求經(jīng)驗(yàn)、技巧較高，難以判斷是否最簡(jiǎn)。1/11/202333常用邏輯函數(shù)的表示方法有真值表、表達(dá)式、邏輯圖、和卡諾圖等。

§2-2邏輯函數(shù)和邏輯表達(dá)式組合電路……x1x2xnz1z2zm輸入變量輸出變量（自變量）（因變量）1/11/2023342-2-1導(dǎo)出邏輯表達(dá)式與真值表2-2-2積之和表達(dá)式和最小項(xiàng)表達(dá)式

2-2-3和之積表達(dá)式和最大項(xiàng)表達(dá)式2-2-4真值表和最小項(xiàng)、最大項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系2-2-5最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系2-2-6最小項(xiàng)表達(dá)式和最大項(xiàng)表達(dá)式的關(guān)系第二章組合邏輯函數(shù)1/11/2023352-2-1導(dǎo)出邏輯表達(dá)式與真值表

相同邏輯的真值表是唯一的，但是，可以用不同的邏輯表達(dá)式描述。

例1：三人表決電路例2：防盜報(bào)警電路例3：一位二進(jìn)制全加器例4：多路開(kāi)關(guān)1/11/202336例1：三人表決電路多數(shù)表決第二章組合邏輯函數(shù)1/11/202337例2：防盜報(bào)警電路保險(xiǎn)箱的啟動(dòng)次序?yàn)椋捍蜷_(kāi)：閉合控制開(kāi)關(guān)→打開(kāi)櫥門(mén)→開(kāi)啟保險(xiǎn)箱關(guān)閉：關(guān)閉保險(xiǎn)箱←關(guān)閉櫥門(mén)→斷開(kāi)控制開(kāi)關(guān)W:控制開(kāi)關(guān):W=1,開(kāi)關(guān)閉合；

W=0,開(kāi)關(guān)斷開(kāi)。X:放置保險(xiǎn)箱的櫥門(mén):X=0,閉合；

X=1,打開(kāi)。Y:保險(xiǎn)箱上的敏感元件:Y=1,保險(xiǎn)箱開(kāi)；

Y=0,保險(xiǎn)箱關(guān)。正常狀態(tài)：W=0,X=0,Y=0

保險(xiǎn)箱打開(kāi)的正常操作順序:W=01;X=01;Y=01

關(guān)閉:Y=10;X=10;W=1

0

操作正確Z=0

否則Z=11/11/202338打開(kāi)：WXY:000

100110111關(guān)閉：000100110111正常狀態(tài)：W=0,X=0,Y=0

保險(xiǎn)箱打開(kāi)的正常操作順序:W=01;X=01;Y=01

關(guān)閉:Y=10;X=10;W=10

操作正確Z=0否則Z=11/11/202339例3：一位二進(jìn)制全加器1111101011011011000101110100101010000000ΣicoiyixiciiΣFAcoixiyicii1/11/202340例4：多路開(kāi)關(guān)a1a0y00d001d110d211d31/11/2023412-2-2積之和表達(dá)式和最小項(xiàng)表達(dá)式積之和表達(dá)式：邏輯表達(dá)式為幾個(gè)與項(xiàng)的和稱(chēng)為與-或式，又稱(chēng)為積之和表達(dá)式。最小項(xiàng)：在一個(gè)n個(gè)自變量的邏輯函數(shù)中，包含n個(gè)變量的積項(xiàng)稱(chēng)為最小項(xiàng)，共有k=2n個(gè)最小項(xiàng)，為m0～mk-1。最小項(xiàng)表達(dá)式：當(dāng)積之和表達(dá)式中所有與項(xiàng)為最小項(xiàng)時(shí)稱(chēng)為最小項(xiàng)表達(dá)式。1/11/202342表2-2-2真值表第二章組合邏輯函數(shù)1/11/202343例2-2-4已知函數(shù)z的真值表如表所示,試寫(xiě)出其最小項(xiàng)表達(dá)式。z(v,x,y)=∑m(1,2,4,7)注意：函數(shù)z(v,x,y)的變量名表的順序必須與真值表中各自變量的排列順序一致，從而使最小項(xiàng)的標(biāo)號(hào)與真值表的行號(hào)一致。

1/11/2023442-2-3和之積表達(dá)式和最大項(xiàng)表達(dá)式1/11/202345和之積表達(dá)式：邏輯表達(dá)式為幾個(gè)或項(xiàng)的積稱(chēng)為或-與式，又稱(chēng)為和之積表達(dá)式。最大項(xiàng)：在一個(gè)n個(gè)自變量的邏輯函數(shù)中，包含n個(gè)變量的或項(xiàng)稱(chēng)為最大項(xiàng)。最大項(xiàng)表達(dá)式：當(dāng)和之積表達(dá)式中所有或項(xiàng)為最大項(xiàng)時(shí)稱(chēng)為最大項(xiàng)表達(dá)式。第二章組合邏輯函數(shù)1/11/2023462-2-4真值表和最小項(xiàng)、最大項(xiàng)的關(guān)系邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式和最大項(xiàng)表達(dá)式是唯一的。1/11/2023472-2-5最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的性質(zhì)所有最小項(xiàng)之和恒為1。任意兩個(gè)不同最小項(xiàng)之積恒為0。所有最大項(xiàng)之積恒為0。任意兩個(gè)不同最大項(xiàng)之和恒為1。標(biāo)號(hào)相同的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)互為反函數(shù)。1/11/2023482-2-6

最小項(xiàng)表達(dá)式與最大項(xiàng)表達(dá)式的關(guān)系

由上述最小項(xiàng)、最大項(xiàng)性質(zhì)的分析，可以得到最小項(xiàng)與最大項(xiàng)具有如下關(guān)系：（1）標(biāo)號(hào)相同的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)互為反函數(shù)

例如:

1/11/202349（2)如果已知函數(shù)的最小（大）項(xiàng)表達(dá)式，則由未出現(xiàn)在該最?。ù螅╉?xiàng)表達(dá)式中的所有標(biāo)號(hào)構(gòu)成該函數(shù)的最大（?。╉?xiàng)表達(dá)式。（3）如果已知函數(shù)的最?。ù螅╉?xiàng)表達(dá)式，則由相同標(biāo)號(hào)構(gòu)成的最大（?。╉?xiàng)表達(dá)式為該函數(shù)的反函數(shù)；