黎曼積分概念與性質(zhì)

第四部分多變量積分學(xué)CH19

黎曼積分的定義和性質(zhì)§1.黎曼積分的概念§2.黎曼積分的性質(zhì)1/11/20231華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部在一元函數(shù)積分學(xué)中,我們知道定積分是某種確定形式的和的極限.極限的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線及曲面上多元函數(shù)的情形，便得到重積分、曲線積分及曲面積分的概念.這種和的將函數(shù)在這些區(qū)域、曲線及曲面上的積分統(tǒng)稱為黎曼積分.1/11/20232華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1.物體質(zhì)量的計(jì)算設(shè)有一質(zhì)量非均勻分布的物體，其密度是點(diǎn)M的函數(shù)如果函數(shù)f已知，怎樣求物體的質(zhì)量呢？1/11/20233華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部在定積分中，一根線密度為的細(xì)直棒AB，它的質(zhì)量可通過分割、近似、求和、取極限四個(gè)步驟化為定積分1/11/20234華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部平面薄板的質(zhì)量

設(shè)它所占的平面區(qū)域?yàn)镈，其密度為在D上連續(xù)，類似于對直棒的處理------“化整為零”可按如下步驟計(jì)算它的質(zhì)量.1/11/20235華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部【分割】【近似】把D任意劃分為n個(gè)子域示面積）【求和】【取極限】（也表1/11/20236華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部薄板的質(zhì)量細(xì)棒的質(zhì)量均可由相同形式的和式極限來確定.一般地，設(shè)有一質(zhì)量非均勻分布在某一幾何形體Ω上的物體(Ω可以是直線段、平面或空間區(qū)域、一片曲面或一段曲線),其質(zhì)量可以按照以上四個(gè)步驟來計(jì)算：1/11/20237華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部把Ω任意劃分為n個(gè)子域示度量）（也表【分割】【近似】【求和】【取極限】上質(zhì)量分布近似看作均勻1/11/20238華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部定義設(shè)Ω表示一個(gè)有界的可度量幾何形體，2.黎曼積分的概念1/11/20239華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1/11/202310華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部被積函數(shù)元素積分域被積式或積分微元積分號積分和

(黎曼和)1/11/202311華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部當(dāng)Ω為不同的幾何形體時(shí)，對應(yīng)的積分有不同的名稱和表達(dá)式：（1）當(dāng)Ω是x軸上的閉區(qū)間[a,b],稱為定積分1/11/202312華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部（2）當(dāng)Ω為平面有界閉區(qū)域（常記為D）時(shí)，（3）當(dāng)Ω為空間有界閉區(qū)域（常記為V）時(shí)，稱為二重積分稱為三重積分1/11/202313華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部（4）當(dāng)Ω為平面有限曲線段（常記為L）或空間有限曲線段（常記為）時(shí)，稱為第一類（對弧長的）的曲線積分稱為積分路徑，ds稱為弧長元素.1/11/202314華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部（5）當(dāng)Ω為空間有限曲面片（常記為S）時(shí)，稱為第一類（對面積的）曲面積分S稱為積分曲面，dS稱為曲面面積元素.1/11/202315華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部例1討論二重積分的幾何意義.解D任意劃分為n個(gè)子域曲頂柱體1/11/202316華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部小平頂柱體體積高×底面積小柱體體積無限累加得到以曲面為頂，區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積V.1/11/202317華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部二重積分的幾何意義二重積分是曲頂柱體的體積的負(fù)值.當(dāng)被積函數(shù)當(dāng)被積函數(shù)其投影D為底曲頂柱體的體積.二重積分是曲面1/11/202318華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3.黎曼積分的性質(zhì)多元積分的存在性與定積分類似：1/11/202319華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部性質(zhì)1（線性性質(zhì)）1/11/202320華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部性質(zhì)2（區(qū)域可加性）定積分二重積分1/11/202321華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部性質(zhì)3對于二重積分來說（積分區(qū)間的長度）定積分1/11/202322華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部性質(zhì)4（比較性）二重積分：定積分1/11/202323華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部性質(zhì)5(估值性）定積分二重積分：1/11/202324華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部性質(zhì)6（積分中值定理）二重積分：定積分1/11/202325華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部

多元函數(shù)積分可看作定積分推廣為多元函數(shù)在不同幾何形體上的積分.n重積分

(多元函數(shù)在n維空間中的

有界閉區(qū)域上的積分)曲面積分（多元函數(shù)在有限曲面片上的積分）曲線積分（多元函數(shù)在有限曲線段上的積分）小結(jié)1/11/202326華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1.多元函數(shù)積分的定義定積分重積分1/11/202327華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部對弧長的曲線積分：對面積的曲面積分：1/11/202328華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部幾種幾何形體上的積分：D閉區(qū)間[a,b]L(平面有界閉區(qū)域)（平面有限曲線段）（有限曲面片）(空間有界閉區(qū)域)(空間有限曲線段)二重積分三重積分對弧長的曲線積分對面積的曲面積分1/11/202329華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部二、多元函數(shù)積分的性質(zhì)線性性、可加性、比較性、估值性、積分中值定理.1/11/202330華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部若一個(gè)非均勻物體，其形狀如上述幾何形體G，其密度為G上的函數(shù)，則在G的元素dg上，其質(zhì)量應(yīng)是