直線的方向向量和平面的法向量

關(guān)于直線的方向向量和平面的法向量第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日研究

從今天開始,我們將進(jìn)一步來體會(huì)向量這一工具在立體幾何中的應(yīng)用.第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日為了用向量來研究空間的線面位置關(guān)系，首先我們要用向量來表示直線和平面的“方向”。那么如何用向量來刻畫直線和平面的“方向”呢？一、直線的方向向量AB直線l上的向量以及與共線的向量叫做直線l的方向向量。第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日由于垂直于同一平面的直線是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個(gè)向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.Al

給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量,那么過點(diǎn)A,以向量為法向量的平面是完全確定的.幾點(diǎn)注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日由兩個(gè)三元一次方程組成的方程組的解是不惟一的，為方便起見，取z=1較合理。其實(shí)平面的法向量不是惟一的。第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日平面的法向量不惟一，合理取值即可。第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日例3.在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面經(jīng)過點(diǎn)，平面的法向量為，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求滿足的關(guān)系式。解：由題意可得

第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日

因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應(yīng)該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系.

那么如何用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角呢？如何用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關(guān)系以及它們二面角的大小呢？第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日三、平行關(guān)系：第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日例4如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別在對角線上，且求證：ABCDEFxyzMN簡證：因?yàn)榫匦蜛BCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以為正交基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)AB,AD,AF長分別為3a，3b，3c，則可得各點(diǎn)坐標(biāo)，從而有又平面CDE的一個(gè)法向量是因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi)所以MN//平面CDE第十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日四、垂直關(guān)系：第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點(diǎn)，求證：D1F例5.在正方體中，E、F分別是BB1,，平面ADE

證明：設(shè)正方體棱長為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，則可得：所以第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日鞏固性訓(xùn)練11.設(shè)分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.平行垂直平行第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日鞏固性訓(xùn)練21.設(shè)分別是平面α,β的法向量,根據(jù)下列條件,判斷α,β的位置關(guān)系.垂直平行相交第十五頁，共二十四頁，2022年，8月28日1、設(shè)平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若，則k=

；若則k=

。2、已知，且的方向向量為(2,m,1)，平面的法向量為(1,1/2,2),則m=

.3、若的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1,1/2,2),且，則m=

.鞏固性訓(xùn)練3第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日1．如圖，正方體中，

E為的中點(diǎn)，證明：//平面AEC練習(xí):用空間向量來解決下列題目2、在正方體AC中，E、F、G、P、

Q、R分別是所在棱AB、BC、BB

AD

、DC

、DD的中點(diǎn)，求證：⑴平面PQR∥平面EFG。

⑵BD⊥平面EFGABCDABCDFQEGRP第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日l1l2第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日l1第十九頁，共二十四頁，2022年，8月28日第