《定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用》設(shè)計(jì) 優(yōu)秀

《定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)（9）一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)進(jìn)一步讓學(xué)生深刻體會(huì)“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法；讓學(xué)生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理；初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型及方法；體會(huì)定積分在物理中應(yīng)用（變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力沿直線做功）。過程與方法情感態(tài)度與價(jià)值觀二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)曲邊梯形面積的求法難點(diǎn)定積分求體積以及在物理中應(yīng)用教學(xué)課時(shí)：1課時(shí)三、教學(xué)過程：（1）復(fù)習(xí)1．求曲邊梯形的思想方法是什么？2．定積分的幾何意義是什么？3．微積分基本定理是什么？2、定積分的應(yīng)用（一）利用定積分求平面圖形的面積例1．計(jì)算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.【分析】?jī)蓷l拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積的差得到。ABCDO解：，所以兩曲線的交點(diǎn)為（0，0）、（1，1），面積S=，所以=eq\f(1,3)ABCDO【點(diǎn)評(píng)】在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的四個(gè)步驟：1.作圖象；2.求交點(diǎn)；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。鞏固練習(xí)計(jì)算由曲線和所圍成的圖形的面積.例2．計(jì)算由直線，曲線以及x軸所圍圖形的面積S.分析：首先畫出草圖（圖一2)，并設(shè)法把所求圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問題．與例1不同的是，還需把所求圖形的面積分成兩部分S1和S2．為了確定出被積函數(shù)和積分的上、下限，需要求出直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線與x軸的交點(diǎn)．解：作出直線，曲線的草圖，所求面積為圖1.7一2陰影部分的面積．解方程組得直線與曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（8,4).直線與x軸的交點(diǎn)為（4,0).因此，所求圖形的面積為S=S1+S2.由上面的例題可以發(fā)現(xiàn)，在利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限．例3.求曲線與直線軸所圍成的圖形面積。答案：練習(xí)1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。答案：2、求由拋物線及其在點(diǎn)M（0，－3）和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。略解：，切線方程分別為、，則所求圖形的面積為3、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。略解：所求圖形的面積為xxOy=x2ABxxOy=x2ABC略解：如圖由題可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則由題可知有，所以切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程分別為總結(jié)：1、定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和，即.因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.2、求曲邊梯形面積的方法與步驟：畫圖，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形；對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；確定被積函數(shù)；求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值的和。3、幾種常見的曲邊梯形面積的計(jì)算方法：（1）型區(qū)域：①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1））；②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（2））；③由兩條曲線與直線圖（1）圖（2）圖（3）所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（3））；（2）型區(qū)域：①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由得，然后利用求出（如圖（4））；②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由先求出，然后利用求出（如圖（5））；③由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積，可由先分別求出，，然后利用求出（如圖（6））；yayabxyabxyabx2．求平面曲線的弧長(zhǎng)設(shè)曲線AB方程為，函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且連續(xù)，則曲線AB的弧長(zhǎng)為.3．求旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積由曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為.其側(cè)面積為.（二）、定積分在物理中應(yīng)用(1)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程我們知道，作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分，即例4。一輛汽車的速度一時(shí)間曲線如圖一3所示．求汽車在這1min行駛的路程．解：由速度一時(shí)間曲線可知：因此汽車在這1min行駛的路程是：答：汽車在這1min行駛的路程是1350m.2．變力作功一物體在恒力F（單位：N）的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與F相同的方向移（單位：m)，則力F所作的功為W=Fs.探究如果物體在變力F(x）的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x=a移動(dòng)到x=b(a<b)，那么如何計(jì)算變力F(x）所作的功W呢？與求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程一樣，可以用“四步曲”解決變力作功問題．可以得到例5．如圖1·7一4，在彈性限度內(nèi)，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置lm處，求克服彈力所作的功．解：在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力F(x）與彈簧拉伸（或壓縮）的長(zhǎng)度x成正比，即F(x）=kx,其中常數(shù)k是比例系數(shù)．由變力作功公式，得到答：克服彈力所作的功為.例6．A、B兩站相距，一輛電車從A站B開往站，電車開出ts后到達(dá)途中C點(diǎn)，這一段的速度為(m/s)，到C點(diǎn)的速度為24m/s，從C點(diǎn)到B點(diǎn)前的D點(diǎn)以等速行駛，從D點(diǎn)開始剎車，經(jīng)ts后，速度為（）m/s，在B點(diǎn)恰好停車，試求（1）A、C間的距離；（2）B、D間的距離；（3）電車從A站到B站所需的時(shí)間。分析：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分,即略解：（1）設(shè)A到C的時(shí)間為t1則=24,t1=20(s),則AC＝（2）設(shè)D到B的時(shí)間為t21則=0,t21=20(s),則DB＝（3）CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時(shí)間為280(s),則所求時(shí)間為20+280+20=320（s）例3：如果1N能拉長(zhǎng)彈簧1cm，為了將彈簧拉長(zhǎng)6cm，需做功（A）ABCD略解：設(shè)，則由題可得，所以做功就是求定積分。練習(xí)：四、課堂小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了利用定積分求一些曲邊圖形的面積與體積，即定積分在幾何中應(yīng)用，以及定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用，要掌握幾種常見圖形面積的求法，并且要注意定積分的幾何意義，不能等同于圖形的面積，要注意微積分的基本思想的應(yīng)用與理解。五、教后反思根據(jù)定積