第四章線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

第四章線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

4.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念

4.2傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定

4.3狀態(tài)空間表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定

4.4本章小結(jié)1/12/20231北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件

?對系統(tǒng)進行各類品質(zhì)指標的分析必須在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進行。自動控制理論的基本任務(wù)(之一)

?

分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題?提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施一、穩(wěn)定性分析的重要性

4.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念

1/12/20232北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的理論框架

第一方法第二方法穩(wěn)定性分析1892年俄國數(shù)學(xué)家李雅普諾夫SISO的代數(shù)分析方法解析方法Routh判據(jù)Houwitz判據(jù)根據(jù)SISO閉環(huán)特征方程的系數(shù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性根據(jù)狀態(tài)方程A陣判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性1/12/20233北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系A(chǔ).Lyapunov(1857-1918)，俄國數(shù)學(xué)家（Chebyshev

的學(xué)生，Markov的同學(xué)），在他的博士論文中，Lyapunov系統(tǒng)地研究了由微分方程描述的一般運動的穩(wěn)定性問題，建立了著名的Laypunov方法，他的工作為現(xiàn)代控制及非線性控制奠定科基礎(chǔ)。三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的劃時代人物

1/12/20234北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定本小節(jié)是本章的重點，主要介紹以下內(nèi)容：4.2.1SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題4.2.2Routh穩(wěn)定判據(jù)4.2.3Routh判據(jù)的兩種特殊情況4.2.4Routh判據(jù)的推廣4.2.5Routh判據(jù)的應(yīng)用1/12/20235北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1/12/20236北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1/12/20237北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系一、穩(wěn)定性基本概念

1、穩(wěn)定性

任何系統(tǒng)在擾動的作用下都會偏離原平衡狀態(tài)，產(chǎn)生初始偏差。所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能。

4.2.1SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、平衡狀態(tài)系統(tǒng)所受的作用力達到平衡，使系統(tǒng)處于穩(wěn)定（不運動）的狀態(tài)。稱為平衡狀態(tài)。1/12/20238北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2.1SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性1/12/20239北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2.1SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性1/12/202310北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2.1SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性1/12/202311北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2.1SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性臨界穩(wěn)定1/12/202312北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2.1SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性李雅普諾夫（漸進）穩(wěn)定性定義：若線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零或原平衡工作點，則稱系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。反之，若初始擾動的影響下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。在古典控制理論中的穩(wěn)定均指漸進穩(wěn)定！1/12/202313北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2.1SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性由穩(wěn)定性定義可知：1）線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)自身的固有特征（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號無關(guān)。2）若處于平衡狀態(tài)的線性定常系統(tǒng)在脈沖信號的作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)最終能夠回到平衡狀態(tài)，則該線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。1/12/202314北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2.1SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性對于脈沖響應(yīng)，我們有：顯然，系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于G(s)極點在S平面中的位置。推論1：如果當(dāng)時間趨于無窮時，線性定常系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)趨于零，則該線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)簡證：1/12/202315北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2.1SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性推論2：若系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點全部位于S左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。則脈沖響應(yīng)為：

簡證：令系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)含有q個實數(shù)極點和r對復(fù)數(shù)極點：)2()()()()(22111++P+P+P=====nknkkrkjqjimissPsZsKssGwwxf???==--=--+-+=rkrkknktkknktkqjtpjteCteBeAtgnkknkkj112211cos1sin)(xwxwwxwx顯然只有當(dāng)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點全部位于S左半平面時，g(t)|t→∞0

成立，即系統(tǒng)才穩(wěn)定。1/12/202316北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系j0j0j0j0j04.2.1SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性1/12/202317北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2.1SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性推論3：如果當(dāng)時間趨于無窮時，線性定常系統(tǒng)的階躍響應(yīng)函數(shù)趨于某一個常數(shù)，則該線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。

這個推論的證明請同學(xué)們自行完成。

1/12/202318北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系二、SISO系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)定問題實根情況：1/12/202319北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系虛根情況：1/12/202320北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2.1SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性臨界穩(wěn)定：當(dāng)系統(tǒng)的極點有在虛軸上時，系統(tǒng)的輸出將會出現(xiàn)等幅振蕩的狀態(tài)，稱之為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定裕度的概念：S平面1/12/202321北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系三、SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法：求脈沖響應(yīng)求階躍響應(yīng)求系統(tǒng)的閉環(huán)特征根不易求其它簡單的判定方法?1/12/202322北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2.2Routh穩(wěn)定判據(jù)(Routh’sstabilitycriterion)

Routh表將閉環(huán)特征方程的各項系數(shù)，按右面的格式排成Routh表。000122110>=+++++---aaSaSaSaSannnnn系統(tǒng)閉環(huán)特征方程1/12/202323北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的必要條件是特征方程的系數(shù)均大于零。如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。③如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，則符號的變化次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。勞斯穩(wěn)定判據(jù)表中這樣可求得n+1行系數(shù)

121211141713131512121311170613150412130211,,,,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab-=┇-=-=-=-=-=-=1/12/202324北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系例4.2-1試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表由于該表第一列系數(shù)的符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。已知某一調(diào)速系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為：1/12/202325北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系

4.2.3Routh判據(jù)的兩種特殊情況勞斯表某一行中的第一項元素等于0，而該行的其余各項不等于0或沒有其余項。以一個很小的正數(shù)來代替為0的這項，據(jù)此算出其余的各項，完成勞斯表的排列。解決的辦法若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。1結(jié)論1/12/202326北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系已知系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于表中第一列上面元素的符號與其下面元素的符號相同，所以該閉環(huán)特征方程中有一對共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)(這在工業(yè)上屬于不穩(wěn)定的系統(tǒng))。例4.2-2解：列勞斯表1/12/202327北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系勞斯表某一行元素全為0。這表示相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根(關(guān)于原點對稱的根)。2

利用系數(shù)全為0行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全0的行。從而完成勞斯表的排列。解決辦法關(guān)于原點對稱的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。③如果第一列上的元素沒有符號變化，則表示該方程中有共軛純虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。結(jié)論4.2.3Routh判據(jù)的兩種特殊情況1/12/202328北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系由于第一列的系數(shù)均為正值，表明該方程在S右半平面上沒有特征根。該系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

已知系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例4.2-3解：列勞斯表令F(s)=0，求得：sssF16122)(24++=1/12/202329北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2.4Routh判據(jù)的推廣實際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。這種系統(tǒng)在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生一定變化時仍能保持穩(wěn)定。此法可以估計一個穩(wěn)定系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根中最靠近虛軸的根離虛軸有多遠，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”——穩(wěn)定裕度。令s=s1-a，代入原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程中，得到以s1

為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線s1=-a右側(cè)。1/12/202330北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系用勞斯判據(jù)檢驗下列特征方程例4.2-4解：列勞斯表是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在的右方。第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。s1s-10jω1/12/202331北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系令S=Z-1代入特征方程：式中有負號，顯然有根在的右方。列勞斯表第一列的系數(shù)符號變化了一次，表示原方程有一個根在垂直直線的右方。1/12/202332北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.2.5Routh判據(jù)的應(yīng)用例4.2-51系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定范圍的確定已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為

求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值：解：列勞斯表1/12/202333北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系第一列均為正值，S全部位于左半平面，故系統(tǒng)穩(wěn)定。已知一單位反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試回答：時，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？

時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？例4.2-6時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為:解：020501523=+++SSS1/12/202334北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系閉環(huán)特征方程為：

開環(huán)傳遞函數(shù)：

列勞斯表1/12/202335北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系因此，利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)一個或兩個可調(diào)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值

1/12/202336北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系+－系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：為穩(wěn)定條件例4.2-7解：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示，確定系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定的條件。

S3T1T21S2T1+T2kS10S0k0勞斯表1/12/202337北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系當(dāng)K=2時，Routh表的第三、五行元素全為0。系統(tǒng)將有對稱于原點的閉環(huán)特征根。2求特殊情況下系統(tǒng)的閉環(huán)特征根例4.2-8已知某系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：

試確定使系統(tǒng)有對稱于原點的閉環(huán)特征根的K值，并求出此時系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根。，進而得解：列勞斯表1/12/202338北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系4.3狀態(tài)空間表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定定理5.1:

線性定常系統(tǒng)

平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有負實部.證明：充分性，由其齊次解可知：若A的特征則當(dāng)有界，→0(t→∞)。值均具有負實部。

必要性可以用反證法來完成，請同學(xué)們自己完成證明。系統(tǒng)狀態(tài)(內(nèi)部)穩(wěn)定條件系統(tǒng)輸出穩(wěn)定：如果系統(tǒng)對于有界輸入u所引起的輸出y是有界的.則稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定.定理5.2：線性定常系統(tǒng)輸出穩(wěn)定的充要條件是傳函的極點全部位于s的左半平面.

1/12/202339北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為:試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性.

1)有A的特征方程:

可知系