用單位荷載法計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)位移

用單位荷載法計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)位移了解結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移的原因，并在功的概念下，理解做功的廣義力與廣義位移的對(duì)應(yīng)關(guān)系；理解剛體的虛位移原理；會(huì)用由剛體虛位移原理導(dǎo)出的單位荷載法(圖乘法)，計(jì)算簡單靜定結(jié)構(gòu)(梁、剛架、桁架)的位移。學(xué)習(xí)指導(dǎo)目錄任務(wù)8.1結(jié)構(gòu)位移的概念任務(wù)8.2變形體的虛功原理任務(wù)8.3用虛功原理求靜定結(jié)構(gòu)的約束反力和內(nèi)力——?jiǎng)?/p>

體的虛位移原理

任務(wù)8.4用虛功原理求支座位移引起靜定結(jié)構(gòu)的位移——

剛體的虛力原理任務(wù)8.5用虛功原理求靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移——

變形體的虛力原理(積分）目錄任務(wù)8.6用虛功原理求靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的

位移——變形體的虛力原理(圖乘)任務(wù)8.7用虛功原理求溫度變化時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位

移——變形體的虛力原理任務(wù)8.8功的互等定理、位移互等定理、反力互

等定理和位移反力互等定理任務(wù)8.1結(jié)構(gòu)位移的概念8.1.1結(jié)構(gòu)位移產(chǎn)生的原因荷載作用溫度改變支座位移制造誤差材料脹縮結(jié)構(gòu)位移產(chǎn)生的原因任務(wù)8.1結(jié)構(gòu)位移的概念8.1.2結(jié)構(gòu)位移的種類圖8-1任務(wù)8.1結(jié)構(gòu)位移的概念8.1.3計(jì)算位移的目的為力法解超靜定結(jié)構(gòu)、動(dòng)力和穩(wěn)定的計(jì)算打下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)制造和施工的需要(施工控制)為了校核結(jié)構(gòu)的剛度(剛度條件)任務(wù)8.1結(jié)構(gòu)位移的概念8.1.3計(jì)算位移的目的圖8-2任務(wù)8.2變形體的虛功原理8.2.1常力做功與常力偶做功、廣義力及廣義位移圖8-3任務(wù)8.2變形體的虛功原理8.2.1常力做功與常力偶做功、廣義力及廣義位移力和力偶都可能做功，故將其統(tǒng)稱為廣義力。在功的定義表達(dá)式中，力在其線位移上做功，力偶在其角位移上做功，故將線位移和角位移統(tǒng)稱為廣義位移。這樣可以統(tǒng)一表述為：功是廣義力與廣義位移的乘積，功是有正負(fù)的代數(shù)量，單位是牛頓

米，即Nm。任務(wù)8.2變形體的虛功原理8.2.2外力虛功位移的雙腳標(biāo)符號(hào)圖8-4任務(wù)8.2變形體的虛功原理8.2.2外力虛功外力的實(shí)功和虛功圖8-5

這種由力在本身引起的位移上所作的功稱為實(shí)功。對(duì)于實(shí)功

，引用關(guān)系式

，有任務(wù)8.2變形體的虛功原理8.2.2外力虛功外力的實(shí)功和虛功圖8-6由力在其他因素引起的位移上作的功稱為虛功，產(chǎn)生這種功的力和位移是彼此無關(guān)的量，分別屬于同一體系的兩種彼此無關(guān)的狀態(tài)量。任務(wù)8.2變形體的虛功原理8.2.2外力虛功外力的實(shí)功和虛功圖8-7任務(wù)8.2變形體的虛功原理8.2.2外力虛功計(jì)算虛功的兩種狀態(tài)圖8-8任務(wù)8.2變形體的虛功原理8.2.3變形體的虛功原理設(shè)變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設(shè)變形體由于其他原因產(chǎn)生符合約束條件的微小的連續(xù)變形，則外力在相應(yīng)位移上所做的外力虛功T恒等于整個(gè)變形體各個(gè)微段內(nèi)力在變形上所做的內(nèi)力虛功W，即虛功原理任務(wù)8.2變形體的虛功原理8.2.4虛功原理的兩種應(yīng)用虛位移原理虛力原理當(dāng)選擇真實(shí)狀態(tài)的廣義力和虛擬狀態(tài)的廣義位移計(jì)算虛功時(shí)，就可以由虛功原理

求出真實(shí)狀態(tài)的廣義力。當(dāng)選擇真實(shí)狀態(tài)的廣義位移和虛擬狀態(tài)的廣義力計(jì)算虛功時(shí)，就可以由虛功原理

求出真實(shí)狀態(tài)的廣義位移。任務(wù)8.3剛體的虛位移原理【例8-1】求如圖8-9所示支座B的反力及D截面的內(nèi)力。圖8-9任務(wù)8.3剛體的虛位移原理(1)計(jì)算支座反力FRB。圖8-10圖8-11任務(wù)8.3剛體的虛位移原理(1)計(jì)算支座反力FRB。任務(wù)8.3剛體的虛位移原理(1)計(jì)算支座反力FRB?，F(xiàn)直接用式

，即用單位虛位移法計(jì)算支座B的反力，其過程如下：任務(wù)8.3剛體的虛位移原理(2)求D截面的彎矩。圖8-12圖8-13任務(wù)8.3剛體的虛位移原理(2)求D截面的彎矩。任務(wù)8.3剛體的虛位移原理(3)求D截面的剪力圖8-14圖8-15任務(wù)8.3剛體的虛位移原理(3)求D截面的剪力現(xiàn)直接用式

，計(jì)算D截面的剪力任務(wù)8.3剛體的虛位移原理“施加相應(yīng)的單位虛位移”是指與所求反力或內(nèi)力(廣義力)能夠構(gòu)成功的廣義位移。任務(wù)8.4剛體的虛力原理【例8-2】用虛功原理計(jì)算如圖8-22所示簡支梁支座B產(chǎn)生豎直向下位移c時(shí)，引起的跨中截面D的位移

D。

圖8-22圖8-23任務(wù)8.4剛體的虛力原理

由于靜定結(jié)構(gòu)支座產(chǎn)生位移時(shí)，猶如機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，不產(chǎn)生內(nèi)力，因此，內(nèi)力虛功等于零，虛功原理退化為剛體的虛力原理，即任務(wù)8.4剛體的虛力原理

用兩種狀態(tài)來計(jì)算外力虛功T，如果用帶有頂標(biāo)橫線的字母表示虛擬狀態(tài)的量，用不帶有頂標(biāo)橫線的字母表示真實(shí)狀態(tài)態(tài)的量，那么以上計(jì)算可表示為任務(wù)8.4剛體的虛力原理

【例8-3】用虛功原理計(jì)算如圖8-24所示靜定梁支座A產(chǎn)生轉(zhuǎn)角=0.01rad，支座D產(chǎn)生向下豎直位移c=20mm時(shí)，引起的自由端截面E的豎直位移ΔE。圖8-24任務(wù)8.4剛體的虛力原理圖8-25取副梁BDF為研究對(duì)象，求產(chǎn)生線位移的連桿支座D的支座反力，有任務(wù)8.4剛體的虛力原理再取整體為研究對(duì)象，求出產(chǎn)生角位移的固定支座A的約束反力偶，有根據(jù)虛功原理，有任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.1內(nèi)力虛功的計(jì)算圖8-26任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.1內(nèi)力虛功的計(jì)算變形體的虛功原理表達(dá)式任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.2線彈性材料的虛功原理平均切應(yīng)變彎曲應(yīng)變軸向應(yīng)變?nèi)蝿?wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.2線彈性材料的虛功原理k的取值如下所示：即截面形狀系數(shù)k在截面為矩形時(shí)等于1.2；圓形時(shí)等于10/9；工字型時(shí)等于總截面面積除以腹板面積。任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.2線彈性材料的虛功原理對(duì)線彈性材料，變形體的虛功原理可表示為經(jīng)計(jì)算結(jié)果表明：對(duì)不同的性質(zhì)的桿，3種內(nèi)力對(duì)內(nèi)力虛功的貢獻(xiàn)不一樣，故不同的結(jié)構(gòu)可按如下公式計(jì)算內(nèi)力虛功，即可滿足一般工程實(shí)踐的需要。任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.2線彈性材料的虛功原理梁和剛架：

(僅取內(nèi)力虛功中的一項(xiàng))桁架：

組合結(jié)構(gòu)：

拱：

微彎曲桿(同梁)：

(也僅取一項(xiàng))任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.3用線彈性材料的虛力原理按單位荷載法)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算【例8-4】用虛功原理計(jì)算如圖8-27所示自由端受集中力作用的懸臂梁自由端B截面的豎直位移和轉(zhuǎn)角(梁的抗彎剛度為EI)。

圖8-27任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.3用線彈性材料的虛力原理按單位荷載法)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算(1)為計(jì)算B截面的實(shí)際豎直位移，應(yīng)該假設(shè)原結(jié)構(gòu)的一個(gè)力狀態(tài)。

圖8-28任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.3用線彈性材料的虛力原理按單位荷載法)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算

將兩個(gè)彎矩表達(dá)式代入變形體虛功方程式，有任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.3用線彈性材料的虛力原理按單位荷載法)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算

(2)為計(jì)算B截面的實(shí)際轉(zhuǎn)角位移，應(yīng)該假設(shè)原結(jié)構(gòu)的一個(gè)力狀態(tài)。圖8-29任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.3用線彈性材料的虛力原理按單位荷載法)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算

將兩個(gè)彎矩表達(dá)式代入變形體虛功方程式任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.3用線彈性材料的虛力原理按單位荷載法)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算

【例8-5】用基于虛功原理的單位荷載法(積分)計(jì)算如圖8-30所示跨中D受集中力作用簡支梁跨中截面D的繞度和鉸支端B轉(zhuǎn)角(梁的抗彎剛度為EI)。

圖8-30任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.3用線彈性材料的虛力原理按單位荷載法)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算

解對(duì)梁用變形體虛功原理只計(jì)及彎矩的內(nèi)力虛功，故寫出彎矩表達(dá)式。以題目所示真實(shí)狀態(tài)作為位移狀態(tài)，則位移狀態(tài)的彎矩方程為

任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.3用線彈性材料的虛力原理按單位荷載法)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算

(1)為計(jì)算D截面的實(shí)際豎直位移，應(yīng)該假設(shè)原結(jié)構(gòu)的一個(gè)力狀態(tài)。

圖8-31任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.3用線彈性材料的虛力原理按單位荷載法)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算

將兩個(gè)彎矩表達(dá)式代入變形體虛功方程式，有

任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.3用線彈性材料的虛力原理按單位荷載法)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算

(2)為計(jì)算B截面的實(shí)際轉(zhuǎn)角位移，應(yīng)該假設(shè)原結(jié)構(gòu)的一個(gè)力狀態(tài)。

圖8-32任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.3用線彈性材料的虛力原理按單位荷載法)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算

將兩個(gè)彎矩表達(dá)式代入變形體虛功方程式，有

任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.3用線彈性材料的虛力原理按單位荷載法)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算

通過以上兩個(gè)例題，對(duì)于線彈性材料的變形體虛功原理式

在用單位荷載法計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的位移時(shí)，可以改寫為如下形式任務(wù)8.5變形體的虛力原理(積分)8.5.3用線彈性材料的虛力原理按單位荷載法)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算

在工程上，對(duì)不同結(jié)構(gòu)又可以簡化為

梁和剛架：

(僅取內(nèi)力虛功中的一項(xiàng))桁架：

組合結(jié)構(gòu)：

拱：

微彎曲桿(同梁)：

(也僅取一項(xiàng))任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.1圖乘法公式及其應(yīng)用條件

桿段必須是等截面直桿1桿段必須為同一種材料組成2M圖和MP圖中至少有一為直線圖3任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.1圖乘法公式及其應(yīng)用條件

圖8-33任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.1圖乘法公式及其應(yīng)用條件

又在圖示坐標(biāo)系，彎矩圖MP總面積A的形心C的x坐標(biāo)為于是，

任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.2常用圖形的面積和形心位置

在荷載作用下，梁和剛架的位移計(jì)算可用圖乘法計(jì)算：

對(duì)于凸拋物線，

，對(duì)于凹拋物線，

，

任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.2常用圖形的面積和形心位置

二次拋物線的面積和形心位置如圖8-34所示。圖8-34任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.3折線分段圖乘與變截面分段圖乘

圖8-35任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.3折線分段圖乘與變截面分段圖乘

圖8-35任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.4復(fù)雜圖形分塊圖乘(面積和形心位置難確定)

圖8-36任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.5圖乘法計(jì)算位移舉例

【例8-6】求如圖8-37(a)所示承受均布荷載的簡支梁的跨中撓度。圖8-37任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.5圖乘法計(jì)算位移舉例

【例8-7】求如圖8-38(a)所示懸臂梁自由端撓度。圖8-38任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.5圖乘法計(jì)算位移舉例

【例8-7】求如圖8-38(a)所示懸臂梁自由端撓度。如圖8-38(b)所示，有任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.5圖乘法計(jì)算位移舉例

【例8-7】求如圖8-38(a)所示懸臂梁自由端撓度。如圖8-38(c)所示，有任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.5圖乘法計(jì)算位移舉例

【例8-8】求如圖8-39(a)所示伸臂梁懸臂端轉(zhuǎn)角(跨內(nèi)外分段、分塊)。圖8-39任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.5圖乘法計(jì)算位移舉例

任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.5圖乘法計(jì)算位移舉例

【例8-9】求如圖8-40(a)所示剛架D截面的豎直位移。圖8-40任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.5圖乘法計(jì)算位移舉例

【例8-10】求如圖8-41(a)所示三鉸剛架鉸C左、右兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角，EI=常數(shù)。圖8-41任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.5圖乘法計(jì)算位移舉例

【例8-11】求如圖8-42(a)所示組合結(jié)構(gòu)位移(注意：區(qū)分梁式桿與鏈桿公式)。圖8-42任務(wù)8.6變形體的虛力原理(圖乘)8.6.5圖乘法計(jì)算位移舉例

任務(wù)8.7變形體的虛力原理8.7.1基本分析

靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)不引起內(nèi)力，但結(jié)構(gòu)產(chǎn)生會(huì)變形和位移，可應(yīng)用單位荷載法的位移公式來求解。任務(wù)8.7變形體的虛力原理8.7.2溫度變化時(shí)變形微元分析，應(yīng)變

和曲率

的計(jì)算

圖8-43任務(wù)8.7變形體的虛力原理8.7.2溫度變化時(shí)變形微元分析，應(yīng)變

和曲率

的計(jì)算

當(dāng)材料線膨脹系數(shù)為

，微段ds變形為：任務(wù)8.7變形體的虛力原理8.7.3計(jì)算溫度變化引起的位移公式

計(jì)算溫度變化引起的位移公式任務(wù)8.7變形體的虛力原理8.7.3計(jì)算溫度變化引起的位移公式

【例8-12】如圖8-44所示，各桿均為矩形截面，高為h，材料的熱膨脹系數(shù)為

，各桿內(nèi)側(cè)升溫為10℃，外側(cè)溫度不變，求溫度變化引起截面C的水平位移。解(1)根據(jù)題意，在C截面虛設(shè)水平單位荷載。(2)畫單位荷載作用下的內(nèi)力圖

。任務(wù)8.7變形體的虛力原理8.7.3計(jì)算溫度變化引起的位移公式

圖8-44 圖8-45任務(wù)8.7變形體的虛力原理8.7.3計(jì)算溫度變化引起的位移公式

(3)計(jì)算每根桿件的平均溫變t0和內(nèi)外側(cè)溫差t。任務(wù)8.7變形體的虛力原理8.7.3計(jì)算溫度變化引起的位移公式

(4)求C點(diǎn)的水平位移。任務(wù)8.7變形體的虛力原理8.7.3計(jì)算溫度變化引起的位移公式

【例8-1