2022-2023學(xué)年江蘇省泰州市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省泰州市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A．，3 B．，3 C．，9 D．，9【答案】A【分析】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得圓心坐標(biāo)和半徑.【詳解】由方程可得，故圓心坐標(biāo)為，半徑為3．故選：A.2．已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)線線平行公式可得，再根據(jù)平行線間的距離公式求解即可.【詳解】直線與直線平行，∴，解得，故直線為直線，化簡(jiǎn)得，∴它們之間的距離為．故選：B．3．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】畫(huà)出坐標(biāo)系，連接，結(jié)合斜率變化可知，，聯(lián)立斜率與傾斜角關(guān)系即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)直線l的傾斜角為，，則，，∵直線l與連接，的線段總有公共點(diǎn)，∴，即，∴．故選：A．4．若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有兩個(gè)公共點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像計(jì)算得到答案.【詳解】方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解即函數(shù)與有兩個(gè)公共點(diǎn)，曲線表示以為圓心，半徑為2的圓的上半部分（包括端點(diǎn)），如圖所示．由圖形知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)有；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，可得，解得或（舍去）.結(jié)合圖形可得實(shí)數(shù)b的取值范圍是．故選：D5．若拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于4，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由拋物線的定義求解即可【詳解】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其準(zhǔn)線方程為，由于拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于4，由拋物線的定義可得，，解得．故選：B6．已知數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，則144是該數(shù)列的第（

）項(xiàng)．A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】由題意可得數(shù)列從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和，即可得144所對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù).【詳解】由題意可得數(shù)列從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和,所以這個(gè)數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，所以144是該數(shù)列的第12項(xiàng)．故選：C．7．設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的內(nèi)切圓與軸切于點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，由，通過(guò)運(yùn)算得到，再利用之間的關(guān)系得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為：，即，到漸近線的距離為，，則直角三角形的內(nèi)切圓的半徑，如圖，設(shè)三角形的內(nèi)切圓與切于，則，，可得，，即，則，所以，由，，，.故選：A.8．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒(méi)有給出證明.經(jīng)過(guò)了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)可得雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.二、多選題9．下列說(shuō)法中，正確的有（

）A．點(diǎn)斜式可以表示任何直線B．直線在軸上的截距為C．直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線方程是D．點(diǎn)到直線的的最大距離為【答案】BD【分析】點(diǎn)斜式方程不能表示斜率不存在的直線判斷A；直接令求解直線在軸上的截距判斷B；結(jié)合關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的關(guān)系求解判斷C；結(jié)合直線過(guò)定點(diǎn)求解即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，點(diǎn)斜式方程不能表示斜率不存在的直線，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，令得，所以直線在軸上的截距為，正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由于點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，所以直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線方程是，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于直線，即直線過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的的最大距離為，故正確.故選：BD10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．設(shè)的前項(xiàng)和為，則時(shí)，的最大值為27【答案】BC【分析】由已知求得，，解公差為的取值范圍，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)判斷正誤即可.【詳解】∵，，∴，，∴，，∴，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；又∵，即，∴，解得，B選項(xiàng)正確；∵，故C選項(xiàng)正確；因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，即，由，∴數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，因?yàn)?，所以可能為正?shù)，也可能為負(fù)數(shù)，所以D選項(xiàng)不正確．故選：BC．11．已知圓，直線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為A，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．四邊形面積的最小值為4B．線段的最小值為C．當(dāng)直線的方程為時(shí)，最小D．若動(dòng)直線，且交圓于、兩點(diǎn)，且弦長(zhǎng)，則直線橫截距的取值范圍為【答案】ABD【分析】由切線性質(zhì)，，，由點(diǎn)到直線距離公式求得圓心到直線的距離，結(jié)合四邊形面積計(jì)算判斷AB，當(dāng)方程為時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性求得，求出，然后再取一特殊值得出比此時(shí)的小可判斷C，由弦長(zhǎng)求出圓心到弦的距離的范圍，從而設(shè)直線方程為后可求得的范圍，從而可得橫截距范圍判斷D．【詳解】圓的圓心，半徑為，可知，，，，當(dāng)取最小值時(shí)，四邊形面積取得最小值，此時(shí)，所以四邊形面積的最小值為，故A正確；又圓心到直線的距離，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，，可得，故最小值，故B正確；當(dāng)直線的方程為時(shí)，，，則，所以直線與直線垂直，又是中點(diǎn)，，，所以，則，所以，易得四邊形是正方形，此時(shí)=，而當(dāng)時(shí)，直角三角形中，，，故C錯(cuò)誤；設(shè)M到直線的距離為，因?yàn)?，且，所以，則，設(shè)，所以，即，解得，所以直線的橫截距的取值范圍為，故D正確．故選：ABD．12．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，，設(shè)是，的一個(gè)交點(diǎn)，與的離心率分別是，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．的面積C．若，則 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形與橢圓雙曲線的聯(lián)系，結(jié)合余弦定理，面積公式即可求解.【詳解】設(shè)，，又∵，即，又∵，，令，∴，，∴，故A正確；，，，故B正確；當(dāng)時(shí)，，得，∴，故C不正確．設(shè)，證明橢圓的焦點(diǎn)三角形面積為，記，，在中，由余弦定理有：，∴，又由橢圓定義有：，∴；∴，又∵，∴，設(shè)，證明雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積為，記，，在中，由余弦定理有：，∴，又由雙曲線定義有：，∴；∴，又∵，∴，由，故D正確．故選:ABD．三、填空題13．已知為等差數(shù)列，，，則_______．【答案】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)求解即可.【詳解】根據(jù)題意，可設(shè)等差數(shù)列的公差為，又由，則，即，，則，即，則公差，則，所以．故答案為：14．寫(xiě)出與圓和圓都相切的一條切線方程_______．【答案】（，，，任選一個(gè)答案均可）【分析】設(shè)切線方程為，由直線與兩相切可得①，②，聯(lián)立求解即可得答案.【詳解】解：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，，故①，②，聯(lián)立①②解得或或或，所以直線方程有4條，分別為或或或．故答案為：（或或或任選一個(gè)答案均可）．15．已知橢圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向橢圓作兩條切線、，、為切點(diǎn)，則直線過(guò)定點(diǎn)_______．【答案】【分析】求得過(guò)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程，再根據(jù)題意，求得的方程，即可由相交直線系方程，求得直線恒過(guò)的定點(diǎn).【詳解】若過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)作切線，則其斜率存在，不妨設(shè)其為，聯(lián)立橢圓方程可得：，則，即，又該方程因?yàn)?，則，故可得，故此時(shí)過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程為，即，，即；當(dāng)時(shí)，顯然過(guò)點(diǎn)的切線方程也滿(mǎn)足，綜上所述，過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)的切線方程為：；設(shè)，則，，，則切線的方程為，切線的方程為，又點(diǎn)在上，故，可得A、B都在直線上，即，，令，解得，故直線AB過(guò)定點(diǎn)．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓中直線恒過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，處理問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程的推導(dǎo)以及其形式，屬綜合困難題.16．已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與圓：交于，兩點(diǎn)（，在第一象限），則的最小值為_(kāi)______．【答案】##【分析】分別在，時(shí)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)證明，結(jié)合圖象可得，再利用基本不等式求其最小值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€M的方程為，所以?huà)佄锞€M的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，則直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立與可得，所以，則；當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)作軸于K，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交y軸于E，則，得，則，同理可得，所以，化圓N：為，則圓N的圓心為F，半徑為1，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，即，時(shí)等號(hào)成立；所以的最小值為．故答案為：．四、解答題17．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，（，），若，．求：(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)的最值．【答案】(1)(2)最大值，無(wú)最小值．【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求解即可（2）利用等差數(shù)列求和公式表示出，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最值.【詳解】（1）由，（，），知為等差數(shù)列，公差為d，設(shè)首項(xiàng)為，由，，得，解得或，因?yàn)?，所以，故．?）當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)或4時(shí)，有最大值，無(wú)最小值．18．已知的頂點(diǎn)，，直線的斜率為．(1)求過(guò)點(diǎn)A，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；(2)求角B的角平分線所在直線方程．【答案】(1)或；(2)或．【分析】（1）考慮直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況，根據(jù)截距相等得到直線方程為，代入點(diǎn)得到直線方程.（2）考慮點(diǎn)C位于直線下方和上方兩種情況，計(jì)算傾斜角得到斜率，得到直線方程.【詳解】（1）①當(dāng)所求直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，直線過(guò)點(diǎn)A，，故方程為；②當(dāng)所求直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，因?yàn)樗笾本€在兩坐標(biāo)軸上截距相等，所以設(shè)所求直線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)A，所以，解得，所以所求直線方程為；綜上，滿(mǎn)足條件的直線方程為或；（2）因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，，直線的斜率為，所以直線方程為，直線的傾斜角為，①當(dāng)點(diǎn)C位于直線下方時(shí)，，設(shè)此時(shí)其角平分線為，則角平分線的傾斜角為，其斜率為，所以角平分線方程為，即；②當(dāng)點(diǎn)C位于直線上方時(shí)，，設(shè)此時(shí)其角平分線為，則角平分線的傾斜角為，其斜率為，所以角平分線方程為，即；所以角B的角平分線所在直線的一般式方程為或．19．直線l經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn),且與拋物線相交于,兩點(diǎn),通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D.(1)若直線l的斜率為2,求線段AB的長(zhǎng);(2)求證:直線DB平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸.【答案】(1)10(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)題意得到直線的方程,與拋物線方程聯(lián)立,依據(jù)拋物線的定義和韋達(dá)定理即可求出弦長(zhǎng);(2)設(shè)直線的方程,令得到;設(shè)直線的方程,聯(lián)立拋物線的方程,根據(jù)韋達(dá)定理求出,證明即可.【詳解】（1）∵拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,∴直線的方程為,聯(lián)立方程,得,則,,;（2）設(shè)直線的方程為:,令,可得,設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立方程,得,∴,∴,∴,∴直線平行于軸,即直線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸.20．已知橢圓的焦距為，左右焦點(diǎn)分別為、，圓與圓相交，且交點(diǎn)在橢圓E上，直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)若，試問(wèn)E上是否存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，若存在，求出直線PQ的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，直線PQ的方程為．【分析】（1）由橢圓定義知為兩圓半徑之和，由點(diǎn)差法可得，求出，從而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線PQ的方程為，根據(jù)中點(diǎn)在直線上求得值，注意檢驗(yàn)直線PQ與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)閳A與圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上，所以，，設(shè)，，的中點(diǎn)，，①－②，，，則橢圓E的方程：；（2）假設(shè)存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線PQ的方程為，，，PQ中點(diǎn)，，，，，即，由N在l上，，此時(shí)，故存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，直線PQ的方程為．21．已知雙曲線C過(guò)點(diǎn),.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知,過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N,設(shè)直線AM、AN的斜率分別為、,求證:為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)設(shè)雙曲線C的方程為,將,代入求解即可;(2)由題意易得直線l的斜率存在,設(shè),,直線l的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線方程,化簡(jiǎn)的式子,結(jié)合韋達(dá)定理即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的方程為,將,代入上式得:,解得,雙曲線C的方程為.（2）設(shè),,由題意易得直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為,代入整理得,,,,且,則,故為定值.22．長(zhǎng)為4的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，線段AB的中點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程，并說(shuō)明其形狀；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別與曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，若直線MP，MQ的斜率之積為，線段PQ的中點(diǎn)為D，求證：存在定點(diǎn)E，使得為定值，并求出此定值．【答案】(1)，是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓；(2)證明見(jiàn)解析，此定值為．【分析】（1）利用幾何法直接求出軌跡方程，進(jìn)而判斷出形狀；（2）設(shè)直線方程為與聯(lián)立