2022-2023學年浙江省杭州下沙校區(qū)高二年級上冊學期期中數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年浙江省杭州第四中學下沙校區(qū)高二上學期期中數(shù)學試題一、單選題1．已知直線l的方程為，則直線的傾斜角為（

）A． B．60° C．150° D．120°【答案】C【分析】由直線方程得斜率，從而可得傾斜角．【詳解】由題意直線的斜率為，而傾斜角大于等于且小于，故傾斜角為．故選：C．2．在空間直角坐標系中，點關于平面對稱的點Q的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由點關于平面對稱點的橫，縱，豎坐標的關系求解即可.【詳解】點關于平面對稱點，橫坐標，豎坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)則對稱點故選：D【點睛】本題主要考查了求關于坐標平面對稱點的坐標，屬于基礎題.3．若直線和直線平行，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】A【分析】由兩直線平行，根據(jù)平行的判定求的值即可.【詳解】直線和直線平行，，解得或，經檢驗不符合題意，∴故選：A．4．已知，則“”是“方程表示橢圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】求得方程表示橢圓的條件，從而確定正確選項.【詳解】方程表示橢圓，則，所以“”是“方程表示橢圓”的充分不必要條件.故選：B5．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．6．已知是雙曲線的左焦點，點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（

）A．9 B．5 C．8 D．4【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義轉化為可求解.【詳解】設右焦點為，則，依題意，有，，（當在線段上時，取等號）．故的最小值為9.故選：A.7．空間直角坐標系中，經過點，且法向量為的平面方程為，經過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題設給出的材料可得平面的法向量和直線的方向向量，利用公式可求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】因為平面的方程為，故其法向量為，因為直線的方程為，故其方向向量為，故直線與平面所成角的正弦值為，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：此題為材料題，需從給定的材料中提煉出平面的法向量和直線的方向向量的求法，這是解決此題的關鍵.8．已知點是正方體底面內一動點，且滿足，設與平面所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，設正方體的邊長為2，且設點，根據(jù)已知條件并結合兩點間的距離公式求得動點的軌跡方程，要使得與底面所成的角最大，從而點在上，且在上，再由直線與平面的夾角可得，從而可得出最大值.【詳解】解：以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的邊長為2，設，則，因為，所以，即，所以點的軌跡為以點為球心，為半徑的球與正方體表面的交線，即為如圖的，，，要使得與底面所成的角最大，則與底面的交點到點的距離最短，從而點在上，且在上，則，從而，所以的最大值為.故選：A．二、多選題9．（多選）已知直線，則下列說法正確的是（

）．A．直線的斜率可以等于0B．若直線與軸的夾角為30°，則或C．直線恒過點D．若直線在兩坐標軸上的截距相等，則或【答案】BD【分析】討論和時直線的斜率和截距情況，判斷AD的正誤；利用傾斜角和斜率的關系判斷B的正誤；將方程化為判斷直線過定點，判斷C的正誤.【詳解】當時，直線，斜率不存在，當時，直線的斜率為，不可能等于0，故A選項錯誤；∵直線與軸的夾角角為30°，∴直線的傾斜角為60°或120°，而直線的斜率為，∴或，∴或，故B選項正確；直線的方程可化為，所以直線過定點，故C選項錯誤；當時，直線，在軸上的截距不存在，當時，令，得，令，得，令，得，故D選項正確．故選：BD．10．已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉化點與圓、點與直線的位置關系為的大小關系，結合點到直線的距離及直線與圓的位置關系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.11．設橢圓的左、右焦點分別為，短軸長為4，A，B是橢圓上關于x軸對稱的兩點，的周長的最大值為12．過點的直線交橢圓于C，D兩點，且C，D關于點M對稱，則下列結論正確的有（

）A．橢圓的方程為B．橢圓的焦距為C．橢圓上存在4個點Q，使得D．直線CD的方程為【答案】ACD【分析】由橢圓定義，利用直角三角形直角邊和斜邊關系，知AB過點時周長最大為求出，再由短軸得出，可求得橢圓方程，知A正確，由的值可確定焦距，知B錯誤，由知在以線段為直徑的圓上，由知C正確，利用點差法可求得直線方程，知D正確.【詳解】對于A，由題意知，當過點時，等號成立，所以，故當過右焦點時，的周長取最大值，所以，又，所以橢圓的方程為，A正確；對于B，由A知，所以，即焦距為，B錯誤；對于C，由知，在以線段為直徑的圓上，由知：以線段為直徑的圓與橢圓有個交點，即橢圓上存在個點，使得，C正確；對于D，由題意知點為弦的中點，在橢圓內部，設，，則，，兩式相減得：．，，則，，直線的方程為：，即，D正確.故選：ACD.12．我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，為頂點，，為焦點，為橢圓上一點，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（

）A．2=2B．C．軸，且D．四邊形的內切圓過焦點，【答案】BD【分析】對每個命題如果是正確的求出各個命題所在的橢圓的離心率即可．【詳解】,由條件得到，即或（舍，解得：，所以不正確；,若，則由射影定理可得：，即，所以，即，，解得；所以正確；，若軸，如圖可得，又，則斜率相等，所以，即，或，顯然不符合，所以，所以不正確；，因為四邊形為菱形，若命題正確則內切圓的圓心為原點，由圓的對稱性可知，圓心到直線的距離等于，因為直線的方程為：，即，所以原點到直線的距離，由題意知：，又，整理得：，，，解得，所以，所以正確，故選：．三、填空題13．臺風中心從A地以的速度向東北方向移動，離臺風中心內的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A地正東處，則城市B處于危險區(qū)內的持續(xù)時間為__________h．【答案】##0.5【分析】求出臺風路徑上距離的兩點距離即可得出答案．【詳解】設臺風運動到處和處距離點，過作于，如圖所示:，，，，處于危險區(qū)的時間為小時．故答案為：．14．已知雙曲線恰好滿足下列條件中的兩個：①過點；②漸近線方程為；③離心率．則雙曲線C方程為______．【答案】【分析】利用漸近線以及離心率的定義，列出方程求解即可.【詳解】若選②③，，得，又，化簡得，可得，不符題意，故選②③錯；若選①③，，得，過點，得，又由，得到，無解，故選①③錯；若選①②，，化簡得，又由且過點，得，解得，故此時，雙曲線C方程為故答案為：15．在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．已知在鱉臑中，平面ABC，．M為PC的中點，則點P到平面MAB的距離為______．【答案】【分析】利用等體積法求得到平面的距離.【詳解】因為平面ABC，平面ABC，所以，依題意可知平面，所以平面，由于是的中點，所以到平面的距離是到平面的距離的一半，即到平面的距離是.,，所以，由于，所以，，設到平面的距離為，則，即.故答案為：16．設P是橢圓上的任一點，EF為圓的任一條直徑，則的最大值為__________．【答案】【分析】設點，則且，計算得出，利用二次函數(shù)的基本性質可求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑長為，設點，則且，，，所以，所以，當時，取得最大值，即.故答案為：.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值．四、解答題17．如圖，正四面體（四個面都是正三角形）OABC的棱長為1，M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足．(1)用向量表示；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運算即可求解；（2）先計算，再開方即可求解【詳解】（1）因為M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足．所以．（2）因為四面體是正四面體，則，，，所以．18．動點與定點的距離等于點P到直線的距離，設動點P的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)經過定點直線與曲線交于兩點，且點M是線段AB的中點，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義直接求解；(2)利用點差法求出的斜率即可求解.【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義可知，動點P的軌跡為拋物線，且該拋物線以為焦點，所以所以，所以曲線的方程為.（2）若直線垂直于軸，則AB的中點在軸上，不滿足題意，若直線不垂直于軸，設，且，因為在曲線上，所以，兩式相減得，，所以，即，所以的方程為整理得.19．在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．①與直線垂直；②過點；③與直線平行．問題：已知直線l過點，且__________．(1)求直線l的一般式方程；(2)己知，O為坐標原點，在直線l上求點N坐標，使得最大．【答案】(1)；(2).【分析】（1）選擇不同的條件，根據(jù)直線垂直，平行時，斜率之間的關系，以及直線方程的求解，即可求得結果；（2）求得點關于的對稱點的坐標，數(shù)形結合，求兩直線的交點坐標，即可求得結果.【詳解】（1）選擇①與直線垂直，則直線的斜率，解得，又其過點，則直線的方程為：，整理得：；選擇②過點，又直線過點則直線的斜率，則直線的方程為：，整理得：；選擇③與直線平行，則直線的斜率，又其過點，則直線的方程為：，整理得：；綜上所述，不論選擇哪個條件，直線的方程均為：.（2）根據(jù)（1）中所求，可得直線的方程為：，又，設點關于直線的對稱點為，則，且，解得，即；根據(jù)題意，作圖如下：顯然，但且僅當三點共線時取得等號；又直線的斜率，故其方程為：，即，聯(lián)立，可得，即點的坐標為時，使得最大.20．如圖，在斜三棱柱中，在，在底面的射影為的中點，為的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明；(2)利用空間向量的坐標運算求面面夾角的余弦值.【詳解】（1）取中點,因為為的中點，是中點,所以,,因為平面，平面,所以因為平面，所以平面,因為為線段中點，所以四邊形是平行四邊形，所以且因為所以因為，所以四邊形為平行四邊形，所以,所以平面.（2）由(1)可得，以為軸，建系如圖，則因為,所以,則,因為,所以,設平面的一個法向量為，因為,所以，令，則，所以，設平面的一個法向量為，因為,所以，令，則，所以，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.21．在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為．設曲線C上任意一點滿足（且）．(1)求曲線C的方程，并指出此曲線的形狀；(2)對的兩個不同取值，記對應的曲線為．（i）若曲線關于某直線對稱，求的積；（ii）若，判斷兩曲線的位置關系，并說明理由．【答案】(1),表示圓.(2)（i）;（ii）內含【分析】(1)利用求軌跡方程的辦法求出軌跡方程即可；(2)(i)利用兩圓半徑相等求解；(2)根據(jù)兩圓圓心距和半徑差的大小關系即可確定位置關系.【詳解】（1）由兩點間的距離公式可得平方整理得又因為且，所配方整理得因為且，所以此曲線表示圓.（2）（i）曲線關于某直線對稱,所以兩圓的半徑相等，即，平方整理得即，因為，且且，所以.（ii）兩圓圓心間的距離兩圓的半徑差而所以，所以兩圓內含.22．如圖，橢圓經過點，且離心率為(1)求橢圓的方程：(2)經過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點、（均異于點），證明：直線與的斜率之和為定值，并求出此值.【答案】(1)(2)證明見解析，定值為【分析】（1）由已知可得出關于、、的方程組，解出這三