2022-2023學(xué)年湖南省邵陽(yáng)市武岡市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省邵陽(yáng)市武岡市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列幾何體中是四棱錐的是A． B．C． D．【答案】C【分析】由四棱錐的定義判斷.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)多面體的一個(gè)面是四邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，那么這個(gè)多面體叫做四棱錐.只有C符合，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查四棱錐的定義和幾何特征，屬于基礎(chǔ)題.2．隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則其向上一面的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用列舉法可得基本事件的總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式可得結(jié)果.【詳解】隨機(jī)拋擲一枚骰子，向上點(diǎn)數(shù)有1，2，3，4，5，6共6種，為偶數(shù)的為2，4，6共3種情況，則概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用列舉法求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.3．已知函數(shù)，則（4）的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．24【答案】C【分析】將代入分段函數(shù)中直接求解即可．【詳解】函數(shù)，（4）．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)求函數(shù)值，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．某商場(chǎng)將彩電的售價(jià)先按進(jìn)價(jià)提高，然后“八折優(yōu)惠”，結(jié)果每臺(tái)彩電利潤(rùn)為360元，那么彩電的進(jìn)價(jià)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折扣的定義，結(jié)合利潤(rùn)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)進(jìn)價(jià)為元，得，解得，故選：C5．已知向量，，且，那么等于（

）A． B． C． D．5【答案】B【解析】由，得【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解得，所以，所以，故選：B6．已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用拋物線的定義計(jì)算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.7．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先由條件求得，再求，最后根據(jù)雙曲線的漸近線方程，直接求解.【詳解】由條件可知雙曲線的焦點(diǎn)在軸，并且直線中，當(dāng)時(shí)，，所以，那么，解得：，且，所以雙曲線的漸近線方程是.故選：A8．已知菱形中，，沿對(duì)角線AC折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】采用建系法，設(shè)中點(diǎn)為，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，由向量夾角的余弦公式即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，設(shè)中點(diǎn)為，，則平面，，故以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為2，則，，，顯然是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則滿足，即，令，可得，故，則，即二面角的余弦值為.故選：D二、多選題9．已知空間三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由條件可得的坐標(biāo)，然后逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以所以，，所以不共線.故選：AC10．已知正數(shù)a，b滿足，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由基本不等式判斷AD，取判斷BC.【詳解】由題意可知，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故A正確；取，則，故BC錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故D正確；故選：AD11．已知曲線，（

）A．若，則是焦點(diǎn)在軸上的橢圓.B．若，則是橢圓，且其離心率.C．若，則是雙曲線，其漸近線方程為.D．若，則是雙曲線，其離心率為或.【答案】ACD【分析】由，可得為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可判斷；由，求得離心率，可判斷；由，求得雙曲線的漸近線方程，可判斷；由，討論，，求得離心率，可判斷．【詳解】解：曲線，若，則是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故正確；若，則是橢圓，且，故錯(cuò)誤；若，則是雙曲線，其漸近線方程為，故正確；若，則是雙曲線，當(dāng)，可得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，可得，當(dāng)，可得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，可得，故正確．故選：．12．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，設(shè)平面與平面的交線為，Q為上的點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的為（

）A．B．平面C．四棱錐的體積隨Q點(diǎn)的移動(dòng)而改變D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直、錐體體積、線面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由于平面平面，所以平面，由于平面與平面的交線為，平面，所以，所以A選項(xiàng)正確.由于底面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于，所以平面，B選項(xiàng)正確.由于平面，平面，所以平面，，所以無(wú)論在何處，到平面的距離不變，而三角形的面積不變，所以三棱錐的體積不變，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.由上述分析可知兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上所述，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD三、填空題13．復(fù)數(shù)的實(shí)部為_(kāi)________．【答案】【詳解】復(fù)數(shù)，其實(shí)部為.【解析】復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、實(shí)部.14．已知雙曲線＝1(a＞0)的左焦點(diǎn)是(2,0)，則a的值為_(kāi)__．【答案】1【分析】由題設(shè)可得c2＝4，b2＝3，根據(jù)雙曲線參數(shù)的關(guān)系即可得求參數(shù)a．【詳解】由題意知c＝2，即c2＝4．∵b2＝3，∴c2＝b2+a2，則a2＝1，又a＞0，∴a＝1．故答案為：1．15．斜率為的直線過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則=________．【答案】【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關(guān)于x的二次方程，接下來(lái)可以利用弦長(zhǎng)公式或者利用拋物線定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化求得結(jié)果.【詳解】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，又∵直線AB過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得，解法一：解得

所以解法二：設(shè)，則,過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，涉及利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，弦長(zhǎng)公式，屬基礎(chǔ)題.16．已知，則___________．【答案】2【分析】利用二倍角公式,即可求解.【詳解】．故答案為：2.四、解答題17．已知二次方程有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】由二次方程根的分布列不等式求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，如圖，當(dāng)時(shí)，，滿足條件，所以，解得：當(dāng)時(shí)，如圖，當(dāng)時(shí)，，滿足條件，所以，解得：綜上可知【點(diǎn)睛】本題考查二次方程根的分布，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題型.18．在中，有.(1)求角的大小；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】（1）解：由題意可得，，故.（2）解：由三角形的面積公式可得.因此，的面積為.19．如圖，設(shè)邊長(zhǎng)為2的正方形的中心為O，過(guò)點(diǎn)O作平面的垂線，，E為的中點(diǎn)，求與夾角的余弦值.【答案】.【分析】以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，表示出與，根據(jù)數(shù)量積公式即可求出夾角的余弦值.【詳解】連結(jié)、，顯然有，，.如圖分別以、、的方向?yàn)?、、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，則，，則，，，所以，所以與夾角的余弦值為.20．求直線被圓截得的弦長(zhǎng).【答案】2【分析】根據(jù)垂徑定理即可求圓的弦長(zhǎng).【詳解】設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以，從而.21．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．(1)證明：D1E⊥A1D；(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）證明、，由線面垂直的判定定理可證明平面，即證；（2）由勾股定理求出△ACD1各個(gè)邊長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，，所以四邊形是正方形，所以，又平面，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)?，，為的中點(diǎn)，所以，，，，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由可得：，即，解得：，所以點(diǎn)E到面ACD1的距離為.22．已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線恒過(guò)定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因?yàn)?，所以，即，根?jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡(jiǎn)得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過(guò)點(diǎn).令為的中點(diǎn)，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系平移，原來(lái)的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡(jiǎn)得，即．設(shè)，因?yàn)閯t，即．代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過(guò)定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過(guò)定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線系A(chǔ)點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過(guò)A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對(duì)比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得將①代入②③，消去并化簡(jiǎn)得，即．故直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法四］：設(shè)．若直線的斜率不存在，則．因?yàn)?，則，即．由，解得或（舍）．所以直線的方程為．若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．令，則．又，令，則．因?yàn)?，所以，即或．?dāng)時(shí)，直線的方程為．所以直線恒過(guò)，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線恒過(guò)．綜上，直線恒過(guò)，所以．又因?yàn)?，即，所以點(diǎn)D在以線段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．取線段的中點(diǎn)為，則．所以存在定點(diǎn)Q，使得為定值．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，