2022-2023學(xué)年湖南省永州市祁陽(yáng)縣高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省永州市祁陽(yáng)縣第四中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)射影定義可得點(diǎn)坐標(biāo)，由向量模長(zhǎng)運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】是在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，，.故選：C.2．直線的傾斜角為（

）A．45° B．30° C．60° D．120°【答案】C【分析】首先通過(guò)直線方程求出直線斜率，進(jìn)而求出直線傾斜角.【詳解】已知直線的斜率為，由于直線傾斜角的取值范圍是，故該直線的傾斜角為60°.故選：C.3．已知圓：與圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】D【分析】化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心坐標(biāo)與半徑，再由兩圓的圓心距與半徑的關(guān)系判斷．【詳解】化圓：為，可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為7；由圓：的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，∴，而，∴兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查兩圓位置關(guān)系的判定，考查圓的一般方程化標(biāo)準(zhǔn)方程，是基礎(chǔ)題．4．如圖所示，已知三棱錐，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】連接，先根據(jù)已知條件表示出，再根據(jù)求得結(jié)果.【詳解】連接，如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，故選：A.5．已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)向量共面列方程求解即可.【詳解】因?yàn)椤?、三向量共線，所以，即，整理得，解得.故選：A.6．已知直線與平行，則的值是（

）A．1 B．2或5 C．5 D．1或2【答案】B【分析】討論，結(jié)合兩直線的位置關(guān)系求值，注意驗(yàn)證所求的值保證兩線平行而不能出現(xiàn)重合的情況.【詳解】由平行條件可知，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，兩條直線也平行；所以或.故選：B.7．若兩直線，的傾斜角和斜率分別為，和，，則下列四個(gè)命題中正確的是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】利用直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系即可求解.【詳解】令，，則，，，故A錯(cuò)誤；令，，，則，，，故C錯(cuò)誤；令，則?不存在，故B錯(cuò)誤；由知，，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，考查了基本知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.8．已知，若過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)（與，不重合），則錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．點(diǎn)P的軌跡方程C． D．的最大值為【答案】B【分析】求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)可判斷A，由已知可得兩條直線互相垂直，由此可驗(yàn)證B、C，由已知可得，設(shè)，進(jìn)而求出的最大值，即可判斷D．【詳解】由動(dòng)直線，得，所以定點(diǎn)，故A正確；由動(dòng)直線，可得，由和，滿足所以，可得，所以，故C正確；設(shè)，則，即點(diǎn)P的軌跡方程為，而與，不重合，則，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，設(shè)，為銳角，則，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，故D正確．故選：B．二、多選題9．已知向量，則與共線的單位向量（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)與，直接可得解.【詳解】由，得，所以當(dāng)與同向時(shí)，，當(dāng)與反向時(shí)，，故選：AD.10．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（

）A．三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們不共面B．不相等的兩個(gè)空間向量的模可能相等C．模長(zhǎng)為3的空間向量大于模長(zhǎng)為1的空間向量D．若是兩個(gè)不共線的向量，且（且），則構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】AB【分析】根據(jù)空間向量的概念、向量相等，向量的模，空間向量的基底逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)非零向量能構(gòu)成空間一個(gè)基底，故三個(gè)向量不共面，故A正確；向量既有大小又有方向，所以不相等的兩個(gè)空間向量的?？赡芟嗟?，故B正確；因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较?，所以向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；由是兩個(gè)不共線的向量，且（且）可知，向量與向量共面，所以不能構(gòu)成空間向量的一組基底，故D錯(cuò)誤.故選：AB11．下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．直線與y軸交于一點(diǎn)，其中截距B．過(guò)點(diǎn)，且斜率為4的直線方程為C．在x軸和y軸上的截距分別為a與b的直線方程是D．方程表示過(guò)點(diǎn)，的直線【答案】ABC【分析】對(duì)A，由截距可以為負(fù)判斷；對(duì)B，直線不包括點(diǎn)；對(duì)C，直線不包括截距為0的情況；對(duì)D，方程為兩點(diǎn)式方程的變形.【詳解】對(duì)A，截距可以為負(fù)，A錯(cuò)；對(duì)B，該方程不包括點(diǎn)，B錯(cuò)；對(duì)C，截距為0時(shí)，不能表示成，C錯(cuò)；對(duì)D，為兩點(diǎn)式方程的變形，D對(duì).故選：ABC12．下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為m>－3B．光線由點(diǎn)P（2，3）射到x軸上，反射后過(guò)點(diǎn)Q（1，1），則反射光線所在直線方程是C．四個(gè)點(diǎn)（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）在同一個(gè)圓上D．若圓與圓關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱，則圓的方程為【答案】BD【分析】根據(jù)圓的方程的性質(zhì)與點(diǎn)與圓的位置關(guān)系列不等式求m的取值范圍，判斷A；求點(diǎn)P（2，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求反射直線方程，判斷B；求過(guò)點(diǎn)（0，0），（4，0），（4，2）的圓的方程，判斷點(diǎn)（－1，1）與圓的位置關(guān)系，判斷C；求對(duì)稱圓的圓心，再求圓的方程，判斷D.【詳解】因?yàn)楸硎緢AC的方程，所以，所以或，又點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，所以，解得，所以或，A錯(cuò)；設(shè)點(diǎn)P（2，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，由光學(xué)性質(zhì)可得點(diǎn)，Q（1，1）都在反射直線上，所以反射直線的斜率，所以反射直線的方程為，即，B對(duì)；設(shè)過(guò)點(diǎn)（0，0），（4，0），（4，2）的圓的方程為，由已知可得，解方程可得，所以過(guò)點(diǎn)（0，0），（4，0），（4，2）的圓的方程為，又，所以點(diǎn)在圓外，所以四個(gè)點(diǎn)（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）不在同一個(gè)圓上，C錯(cuò)；設(shè)圓的圓心為，半徑為，由已知的坐標(biāo)為，，因?yàn)閳A與圓關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱，且圓的半徑為1，設(shè)圓的方程為，由已知可得且，所以，，所以圓的方程為，即，D對(duì)；故選：BD.三、填空題13．若直線的傾斜角的變化范圍為，則直線斜率的取值范圍是_______.【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)檎泻瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，所以斜率【點(diǎn)睛】本題考查直線的斜率和正切函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.14．已知向量，，且與互相垂直，則______.【答案】1【分析】利用向量垂直滿足數(shù)量積為0，代入坐標(biāo)，建立等式，即可得出答案．【詳解】向量，，且與互相垂直，所以，解得，故答案為：115．已知，方程表示圓，則圓心坐標(biāo)是______.【答案】【分析】先根據(jù)二次方程表示圓的必要條件平方項(xiàng)的系數(shù)相等，求得m的值，然后再利用配方法檢驗(yàn)即可.【詳解】由題意得，解得或2.當(dāng)時(shí)，方程為，即，圓心為；當(dāng)時(shí)，方程為，即，不表示圓.故答案為：16．在平面直角坐標(biāo)系中，，，若動(dòng)點(diǎn)在直線上，圓過(guò)、、三點(diǎn)，則圓的面積最小值為_(kāi)________.【答案】【分析】要使圓的面積盡可能小，則點(diǎn)位于第一象限，設(shè)，再求出的中垂線方程，設(shè)設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)，得到，參變分離求出的最小值，即可求出，從而求出面積最小值.【詳解】解：要使圓的面積盡可能小，則點(diǎn)位于第一象限，設(shè)，又，，所以線段的中垂線方程為，則圓心在直線上，不妨設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以，即，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，所以圓的面積最小值為，此時(shí)；故答案為：四、解答題17．已知長(zhǎng)方體中，是對(duì)角線中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式：(1)；(2).【答案】(1)；(2)【分析】根據(jù)向量加法法則求解即可；【詳解】（1）（2）18．在中，，B，C兩點(diǎn)分別在x軸與y軸上，且直線在y軸上的截距為1，直線的傾斜角為.求：(1)直線的方程；(2)的面積S.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線，點(diǎn)斜式求直線；（2）由（1）得、、，進(jìn)而可得的面積，即可求結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橹本€在y軸上的截距為1，所以其過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為：，化簡(jiǎn)得.由己知直線的斜率為：，所以直線的方程為：，化簡(jiǎn)得.（2）由（1）知：直線為，令，得，故.直線為，令，得，故，所以.19．如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，．(1)用，，表示；(2)求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量運(yùn)算求得正確答案.（2）結(jié)合（1）利用平方的方法，結(jié)合向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】（1）（2）由（1）得，兩邊平方得，所以.20．如圖，在正方體ABCD-A1B2C3D4中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CC1，DD1的中點(diǎn)．(1)證明：平面B1EF⊥平面ABGH．(2)若正方體的棱長(zhǎng)為1，求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量法向量的垂直即可證明，（2）根據(jù)空間向量的點(diǎn)面距公式即可求.【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則,所以,設(shè)平面的法向量為，所以，取，則，故；由,設(shè)平面的法向量為，所以，取，則，故由于，所以，因此平面B1EF⊥平面ABGH（2），則,設(shè)點(diǎn)D1到平面B1EF的距離為，則，21．已知：.(1)若直線：與交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)過(guò)點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)