平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.3.1

平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示問題提出

1.向量加法與減法有哪幾種幾何運算法則？

2.怎樣理解向量的數(shù)乘運算λa？

（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時，λa與a方向相同；λ<0時，λa與a方向相反；λ=0時，λa=0.3.平面向量共線定理是什么？4.如圖，光滑斜面上一個木塊受到的重力為G，下滑力為F1，木塊對斜面的壓力為F2，這三個力的方向分別如何？三者有何相互關(guān)系？GF1F2非零向量a與向量b共線存在唯一實數(shù)λ，使b＝λa.5.在物理中，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運算.力也可以分解，任何一個大小不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來，就會形成一個新的數(shù)學(xué)理論.平面向量基本定理和探究（一）：平面向量基本定理

思考1：給定平面內(nèi)任意兩個向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？

e1e22e2BCO3e1Ae1D3e1＋2e2e1-2e2思考2：如圖，設(shè)OA，OB，OC為三條共點射線，P為OC上一點，能否在OA、OB上分別找一點M、N，使四邊形OMPN為平行四邊形？MNOABCP思考3：在下列兩圖中，向量不共線，能否在直線OA、OB上分別找一點M、N，使？OABCMNOABCMN思考4：在上圖中，設(shè)=e1，=e2， =a，則向量分別與e1，e2的關(guān)系如何？從而向量a與e1，e2的關(guān)系如何？OABCMNOABCMN思考5：若上述向量e1，e2，a都為定向量，且e1，e2不共線，則實數(shù)λ1，λ2是否存在？是否唯一？OABCMNOABCMN思考6：若向量a與e1或e2共線，a還能用λ1e1＋λ2e2表示嗎？e1aa=λ1e1+0e2e2aa=0e1+λ2e2思考7：根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量a都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量e1，e2表示出來，從而可形成一個定理.你能完整地描述這個定理的內(nèi)容嗎？若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.思考8：上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.那么同一平面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？不同基底對應(yīng)向量a的表示式是否相同？若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.探究(二):平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

[0°，180°]思考1：不共線的向量有不同的方向，對于兩個非零向量a和b，作a，b，如圖.為了反映這兩個向量的位置關(guān)系，稱∠AOB為向量a與b的夾角.你認(rèn)為向量的夾角的取值范圍應(yīng)如何約定為宜？baabABO思考2：如果向量a與b的夾角是90°，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.互相垂直的兩個向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？ba思考3：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如圖，向量i、j是兩個互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30°，且|a|=4，以向量i、j為基底，向量a如何表示？BaiOjAP思考4：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a＝xi＋yj.我們把有序數(shù)對（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y).其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量的坐標(biāo)表示.那么x、y的幾何意義如何？aixyOjxy思考5：相等向量的坐標(biāo)必然相等，作向量a，則(x，y)，此時點A是坐標(biāo)是什么？AaixyOjA(x,y)理論遷移例1如圖，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.e1e2COA－2.5e1B3e2例2如圖，寫出向量a，b，c，d的坐標(biāo).2452abcd－4－2－5－2xyOa=(2,3)b=(-2,3)c=(-2,-3)d=(2,-3)例3如圖，在平行四邊形ABCD中，

=a，=b，E、M分別是AD、DC的中點，點F在BC上，且BC=3BF，以a，b為基底分別表示向量和.ABEDCFM小結(jié)作業(yè)

1.平面向量基本定理是建立在向量加法和數(shù)乘運算基礎(chǔ)上的向量分解原理，同時又是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)，是一個承前起后的重要知識點.2.向量的夾角是反映兩個向量相對位置關(guān)系的一個幾何量，平行向量的夾角是0°或180°，垂直向量的夾角是90°.

3.向量的坐標(biāo)表示是一種向量與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)意義.將向量的起點平移到坐標(biāo)原點，則平移后向量的終點坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo).作業(yè)：P102習(xí)題2.3B組：3，4.2.3.3平面向量的坐標(biāo)運算2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示問題提出1.平面向量的基本定理是什么？

若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.用坐標(biāo)表示向量的基本原理是什么？設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若a＝xi＋yj，則a＝(x，y).3.用坐標(biāo)表示向量，使得向量具有代數(shù)特征，并且可以將向量的幾何運算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算，為向量的運算拓展一條新的途徑.我們需要研究的問題是，向量的和、差、數(shù)乘運算，如何轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算，對于共線向量如何通過坐標(biāo)來反映等.平面向量的坐標(biāo)運算探究（一）：平面向量的坐標(biāo)運算

思考1：設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),則a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運算性質(zhì)，向量a＋b，a－b，λa（λ∈R）如何分別用基底i、j表示？a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，

a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j.思考2：根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量a＋b，a－b，λa的坐標(biāo)分別如何？a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);

a－b＝(x1－x2，y1－y2);

λa＝(λx1，λy1).a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，

a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j.思考3：如何用數(shù)學(xué)語言描述上述向量的坐標(biāo)運算？兩個向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）；實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);

a－b＝(x1－x2，y1－y2);

λa＝(λx1，λy1).oxyBA思考4：如圖,已知點A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐標(biāo)如何？一般地，一個任意向量的坐標(biāo)如何計算？＝(x2－x1，y2－y1).任意一個向量的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點坐標(biāo).思考5：在上圖中，如何確定坐標(biāo)為(x2－x1，y2－y1)的點P的位置？oxyBAP(x2-x1,y2-y1)思考6：若向量a=(x，y)，則|a|如何計算？若點A(x1,y1)，B(x2，y2)，則如何計算？AaxyO探究（二）：平面向量共線的坐標(biāo)表示

思考1：如果向量a，b共線（其中b≠0），那么a，b滿足什么關(guān)系？思考2：設(shè)a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向量a，b共線（其中b≠0），則這兩個向量的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？反之成立嗎？a＝λb.向量a，b（b≠0）共線axyObABCD思考3：如何用解析幾何觀點得出上述結(jié)論？向量a，b（b≠0）共線思考4：已知點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若點P分別是線段P1P2的中點、三等分點，如何用向量方法求點P的坐標(biāo)？xyOP2P1PPP思考5：一般地，若點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，點P是直線P1P2上一點，且，那么點P的坐標(biāo)有何計算公式？xyOP2P1P理論遷移例1已知a=(2,1),

b=(－3,4),求a＋b，a－b，3a＋4b的坐標(biāo).

a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，3a＋4b＝(－6，19).例2如圖，已知ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別是A（-2，1）、B（-1,3）、C(3,4)，試求頂點D的坐標(biāo).oxyABCD

D（2，2）例3已知向量a=(4，2)，b=(6，y),且a∥b，求y的值.y＝3例4已知點A(-1，-1)，B