數字信號處理離散時間信號和系統(tǒng)B

2.4離散時間系統(tǒng)的差分方程描述1遞歸離散時間系統(tǒng)和非遞歸離散時間系統(tǒng)2線性時不變系統(tǒng)的常系數差分方程描述3線性常系數差分方程的解4線性時不變遞歸系統(tǒng)的沖激響應1線性時不變系統(tǒng)由單位沖激響應表示,反過來,對于任何給定的輸入序列，系統(tǒng)的輸出可通過并借助卷積公式來得到:卷積公式不僅給出了任何線性時不變系統(tǒng)輸入輸出之間的關系,而且給出了系統(tǒng)的實現(xiàn)方法。FIR系統(tǒng)可按卷積和直接實現(xiàn),但IIR系統(tǒng)用這種方法實現(xiàn)是不可能的。除了卷積和方法外，能不能用其他方法實現(xiàn)IIR系統(tǒng)呢?卷積公式僅以輸入信號明確地表示了LTI的輸出。在IIR系統(tǒng)中，離散時間系統(tǒng)更方便用差分方程來表示。這類系統(tǒng)在包括數字濾波器的實現(xiàn)和一些物理現(xiàn)象及物理系統(tǒng)的建模在內的許多實際應用中是非常有用的。

21遞歸和非遞歸離散時間系統(tǒng)

存在許多系統(tǒng)，不僅以輸入的當前值和過去值來描述系統(tǒng)，而且以現(xiàn)在已有的過去的輸出值來描述系統(tǒng)。

計算信號在區(qū)間上累加平均值

一是直接計算;

3二是簡單的代數變換,更有效地計算遞歸累加平均系統(tǒng)的實現(xiàn)

4遞歸系統(tǒng):一般說來，如果一個系統(tǒng)當前時刻的輸出依賴于任意個以前時刻的輸出就被稱為遞歸系統(tǒng)。遞歸系統(tǒng)的計算

5說明：計算系統(tǒng)對時刻施加的輸入信號的響應，需要值和時的輸入取樣值。

被稱為初始條件，而且包含著確定在時刻系統(tǒng)對輸入信號的響應所需的所有信息，而與以前的值無關。

6例2.4.1平方根算法:大多數計算機和計算器利用迭代算法求正數A的方根，該迭代算法為

其中，是的初始猜測值。當迭代收斂時，有，所以，由此很容易地得出?，F(xiàn)在，考慮遞歸系統(tǒng)7如果把幅度為A的階躍序列[

]作為系統(tǒng)的輸入，并且用初始值作為Ａ的估計值，則系統(tǒng)的響應隨著n的增大就會不斷地逼近于。

不需要確切的初始條件，粗略的估計就可以。

8因果的實際可實現(xiàn)的遞歸系統(tǒng)的輸出更一般地表示為

如果僅取決于當前時刻和以前時刻的輸入，則這樣的系統(tǒng)稱為非遞歸的。用卷積公式描述的因果線性時不變FIR系統(tǒng)稱為非遞歸系統(tǒng)函數實際是當前和過去若干時刻的輸入的線性加權和，加權的系數就是系統(tǒng)的。

9遞歸和非遞歸系統(tǒng)的框圖表示10遞歸系統(tǒng)和非遞歸系統(tǒng)之間的主要差別

(1)遞歸系統(tǒng)有從輸出到輸入的反饋環(huán)路。反饋環(huán)路包含一個延遲元件，延遲對于系統(tǒng)的實現(xiàn)是很重要的。(2)必須按順序計算遞歸系統(tǒng)的輸出，即，而非遞歸系統(tǒng)，沒有順序的約束［即］。112線性時不變系統(tǒng)的常系數差分方程描述

假定一個遞歸系統(tǒng)的輸入輸出差分方程描述為

一個LTI系統(tǒng).而累加平均系統(tǒng)是線性時變系統(tǒng)。

假定輸入為，不考慮時的輸入，但是假設是已知的,解方程以得到系統(tǒng)輸出的明確表達式。

12系統(tǒng)響應包括:一部分包含項，是系統(tǒng)的初始條件的結果，另一部分是系統(tǒng)對輸入信號的響應。13如果系統(tǒng)在時刻是初始松弛的，則系統(tǒng)所需要的存儲器單元數是零。因此，。這樣，如果遞歸系統(tǒng)從零初始條件開始，則該系統(tǒng)是松馳的。由于系統(tǒng)的記憶在某種程度上描述了其“狀態(tài)”，所以說系統(tǒng)是零狀態(tài)系統(tǒng)，并且它相應的輸出被稱為零狀態(tài)響應或強迫響應，用表示。假設系統(tǒng)不是初始松馳的［即］，但是所有的，輸入。這時系統(tǒng)對零輸入的輸出叫做零輸入響應或自然響應，用表示。具有非零初始條件的遞歸系統(tǒng)是非松馳的，零輸入響應是由于系統(tǒng)記憶產生的。

14總結A:

通過把輸入置為零，使得系統(tǒng)的響應與輸入無關，就可以得到零輸入響應。系統(tǒng)的響應僅取決于系統(tǒng)的屬性和系統(tǒng)的初始值。這樣零輸入響應是系統(tǒng)自身的特性，也稱為系統(tǒng)的自然響應或自由響應。

零狀態(tài)響應取決于輸入信號和系統(tǒng)本身的屬性。由于這個輸出是由加在系統(tǒng)上的輸入引起的，因而通常叫做系統(tǒng)的受迫響應或強迫響應。15總結B:一般說來，系統(tǒng)的全響應可表示為:線性常系數差分方程描述的遞歸系統(tǒng)的一般形式求，需要輸入和系統(tǒng)的初始條件。換句話說，系統(tǒng)的初始條件包括了所有為了計算系統(tǒng)當前和以后的輸出，我們需要知道的關于系統(tǒng)響應的歷史。16總結C:在用線性常系數差分方程描述的遞歸系統(tǒng)范圍內線性性、時不變性和穩(wěn)定性的概念。一個遞歸系統(tǒng)可能是松弛的也可能是非松弛的，這取決于系統(tǒng)的初始條件。所以，這些屬性的定義也必須考慮初始條件。一個系統(tǒng)如果滿足下述3個條件,則該系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。1.系統(tǒng)全響應等于零輸入響應和零狀態(tài)響應的和.2.疊加原理適用于零狀態(tài)響應(零狀態(tài)線性響應).3.疊加原理適用于零輸入響應(零輸入線性響應).17總結D:如果這3個條件有一個不滿足，則系統(tǒng)為非線性的。線性常系數差分方程描述的遞歸系統(tǒng)滿足線性性定義中的所有3個條件，是線性的。

系數都是常數，所以系統(tǒng)是時不變的；如果有一個或幾個系數是時變的，則系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。常系數差分方程描述的線性時不變遞歸系統(tǒng)，當且僅當對每個有界輸入和每個有界初始條件，系統(tǒng)全響應是有界的，才可以說此系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。183線性常系數差分方程的解

確定系統(tǒng)輸出的顯式表達式:直接法,間接法

直接法把完全解分成兩部分的和

19差分方程的齊次解假設輸入,得到齊次差分方程的解。括號中的多項式被稱為系統(tǒng)的特征多項式,它有個根，記為：

。假設不存在重根。則齊次差分方程式的通解表達式為假設是一個重根，則齊次差分方程式的通解表達式為20例2.4.4求一階差分方程表示的系統(tǒng)的齊次解。

解：設，齊次解可以表示為代入式（1），可得［由于］因此，齊次差分方程的解為根據式(1)和式(2)可得系統(tǒng)的零輸入響應。因此，系統(tǒng)的零輸入響應為21例2.4.5求下面的二階齊次差分方程描述的系統(tǒng)的零輸入響應。

解：首先確定齊次方程的解(齊次解)。設解為指數形式代入齊次差分方程,得到特征多項式因此，齊次方程的根為，其解的一般形式為在給定初始條件和的情況下，通過計算上式中的常數，可以從齊次解中得到系統(tǒng)的零輸入響應。根據式(1)，有

22另一方面，根據式(2)，可得:

比較上面兩組方程，得到因此，系統(tǒng)的零輸入響應為23差分方程的特解對特定的輸入，特解是滿足差分方程的任一解。假定特解的形式與輸入的形式相關。下面的例題解釋了這一過程。24例2.4.6考慮一階差分方程:若輸入信號為單位階躍序列，即:,求該方程的特解。解：因為對于，輸入序列為一個常數，所以假設特解的形式為其中，是差分方程的待定系數(標量因子)，將特解代入方程,可得因此，差分方程的特解為:確定，必須考察時的方程，這時各項均不為零。25例2.4.7考慮下面的差分方程和激勵函數

求差分方程的特解。解：設特解的形式為26特解的形式為信號的基本形式

如果輸入是指數函數，則應假定特解也是指數函數。

如是果正弦函數，則特解也應是正弦函數。27線性常系數差分方程的線性性質允許將齊次解和特解相加以便得到方程的通解.于是的齊次解分量中包含常數待定系數?？墒蛊錆M足初始條件來確定他們。例2.4.8考慮差分方程

差分方程的通解

28解：由例2.4.4,齊次解為由例2.4.6,特解為

因此，通解為

其中，為滿足初始條件的待定系數。一階差分方程所描述系統(tǒng)的零狀態(tài)響應:

置，將代入式(1)和(2)得把代入式(2),得到系統(tǒng)零狀態(tài)響應

29在初始條件下，則通解將包括系統(tǒng)的零輸入響應和系統(tǒng)的零狀態(tài)響。

由(2),得到最后，如果把的這個值代入式(2),得到

30注意:

常數的值不僅取決于初始條件，而且取決于外部激勵。所以，的值不僅影響零輸入響應，而且還影響零狀態(tài)響應。另一方面，如果僅希望得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，那么，只要在的條件下求解即可。

差分方程的特解也可從系統(tǒng)的零狀態(tài)響應得到:如果，是系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，那么，隨著趨于，的極限值是特解，即

由于這部分響應并不隨趨于而趨于零，叫做系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應，只要輸入存在，它就存在。而隨趨于變?yōu)榱愕哪遣糠猪憫Q為瞬態(tài)響應。31例2.4.9考慮二階差分方程描述的系統(tǒng)

若輸入序列為那么，系統(tǒng)響應是什么?32求二階齊次差分方程描述的系統(tǒng)的零輸入響應。

首先確定齊次方程的解(齊次解)。設解為指數形式代入齊次差分方程,得到特征多項式因此，齊次方程的根為,其解的一般形式為假定特解形式是同一樣形式的指數序列，一般地，我們可以假定解的形式為33已經包含在齊次解中，這樣，特解就是多余的。實際上，要像處理特征方程出現(xiàn)重根一樣處理這種情況。于是，假定將(4)代入式(1)，我們可得差分方程的通解:

選擇的特解和齊次解中的各個項線性無關34常數和是由初始條件決定

35系統(tǒng)的全響應：364線性時不變遞歸系統(tǒng)的沖激響應

LTI的沖激響應:系統(tǒng)對的響應。在遞歸系統(tǒng)的情況下，輸入且系統(tǒng)為初始松弛時，等于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。在一般的LTI遞歸系統(tǒng)的情況下，零狀態(tài)響應可以按照卷積和的形式表示為37對一個給定的由線性常系數差分方程描述的系統(tǒng)如何求其沖激響應?

系統(tǒng)對任意激勵信號的完全響應由差分方程的兩部分解的和組成：齊次方程的解和激勵函數的特解。在輸入為的情況下，系統(tǒng)的沖激響應僅包括齊次方程的解，而系數可通過滿足由沖激所確定的初始條件來得到。用例題解釋了從系統(tǒng)的差分方程獲得。

38例2.4.10考慮用二階差分方程描述的系統(tǒng),求該系統(tǒng)的沖激響應。

解：由例2.4.5,系統(tǒng)齊次差分方程的解為:當時，系統(tǒng)的特解為零，系統(tǒng)的沖激響應就由式(2)給出，其中和為待定系數.因系統(tǒng)一定是松弛的,利用條件.

39無論是簡單的一階遞歸系統(tǒng)還是二階遞歸系統(tǒng)，它們的沖激響應持續(xù)時間都無有限的。換句話說，這些遞歸系統(tǒng)都是IIR系統(tǒng)。實際上，由于系統(tǒng)的遞歸特性，任何一個常系數線性差分方程描述的遞歸系統(tǒng)都是一個IIR系統(tǒng)，然而，反之就不一定成立。也就是說，并不是每個IIR系統(tǒng)都可以用常系數線性差分方程來描述，換句話說，常系數線性差分方程描述的遞歸系統(tǒng)是線性時不變IIR系統(tǒng)的一個子類。40求沖激響應的方法可直接擴展到高階系統(tǒng)

N階線性差分方程描述的系統(tǒng)時，齊次解的一般形式為(假設特征方程無重根)系統(tǒng)的沖激響應參數由初始條件決定.41N階差分方程描述的系統(tǒng)的穩(wěn)定性和特征多項式的根聯(lián)系

BIBO穩(wěn)定性要求沖激響應絕對可和，所以對于因果系統(tǒng)，有如果對于所有的都有，則用常系數線性差分方程描述的因果IIR系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是特征多項式的所有根在幅度上必須小于1。425離散時間系統(tǒng)的實現(xiàn)1線性時不變系統(tǒng)實現(xiàn)的結構2FIR系統(tǒng)的遞歸與非遞歸實現(xiàn)

431線性時不變系統(tǒng)的實現(xiàn)結構

考慮一階系統(tǒng)

直接型Ⅰ直接型Ⅱ

直接型Ⅱ省略了一個延遲器

直接型Ⅰ實現(xiàn)方式(a)過渡到直接型Ⅱ實現(xiàn)(c)的步驟

44一般的線性時不變系統(tǒng)的實現(xiàn)結構一般的線性時不變系統(tǒng)直接型Ⅰ結構

一個非遞歸系統(tǒng)和一個遞歸系統(tǒng)的串聯(lián)。

個延遲器和

個乘法器。

系統(tǒng)的直接型Ⅰ結構

45線性時不變系統(tǒng)的典范型結構直接型Ⅱ遞歸系統(tǒng)和非遞歸系統(tǒng)的串聯(lián)。乘法器數目為延遲器數目為所需的延遲器數目最少,有時又叫做典范型

系統(tǒng)的直接型Ⅱ結構

46線性時不變系統(tǒng)的兩個特例滑動平均(MA)系統(tǒng)

一個非遞歸線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的加權滑動平均，有時被稱為滑動平均(MA)系統(tǒng)。

系統(tǒng)是沖激響應等于系數的FIR系統(tǒng)純遞歸系統(tǒng)

系統(tǒng)輸出為前個時刻的輸出和當前輸入的加權線性組合。

47482FIR系統(tǒng)的遞歸和非遞歸實現(xiàn)根據是有限時寬，還是無限時寬，可以區(qū)分FIR系統(tǒng)和IIR系統(tǒng),也可區(qū)分遞歸和非遞歸系統(tǒng)。因果遞歸系統(tǒng)的輸入輸出方程描述

對于線性時不變系統(tǒng)因果非遞歸系統(tǒng)的輸入輸出方程描述

對于線性時不變系統(tǒng)49FIR系統(tǒng)的實現(xiàn)FIR系統(tǒng)是非遞歸系統(tǒng)，總可用非遞歸方式實現(xiàn)，另一方面，任何FIR系統(tǒng)也可以遞歸實現(xiàn)。(1)差分方程表示為

FIR系統(tǒng)，沖激響應為

(2)差分方程重寫為一個FIRMA系統(tǒng)的非遞歸實現(xiàn)

一個FIRMA系統(tǒng)的遞歸實現(xiàn)

502.6離散時間信號的相關性衡量兩個信號之間的相似程度，并提取在很大程度上和應用有關的信息。信號的相關性分析有很廣闊的應用。在雷達和主動聲納系統(tǒng)中

:發(fā)射信號的取樣

:接收到的信號

相關則提供了一種檢測的方法。雷達和聲納探測的目的是比較和，判斷目標是否存在。如果存在，通過求延遲D來確定目標的距離。

51在數字通信中

從一端傳輸到另一端的信息通常要轉換成二進制形式，即0和1序列，然后被發(fā)送到目標接收器。

為了傳送0，可以傳送序列為了傳送1，可以傳送序列通常和的極性相反，接收機收到的信號接收機收到的不是就是，它的任務是通過把接收信號與和相比較，以確定是更像還是更接近。

52相關性分析的主要內容1互相關序列和自相關序列2自相關和互相關序列的性質3周期序列的相關性4輸入輸出的相關函數531互相關序列和自相關序列假設有兩個實信號序列，它們都是能量有限信號，互相關序列定義為

兩者提供的關于相似性方面的信息是完全一樣的。

54例

計算序列和的互相關序列

解：

55當時，將相對向左移個時間單位，計算，然后，求積序列的和:

56卷積計算和相關計算的相似之處:除了折疊運算外，互相關序列的計算包含與卷積計算相同的運算。利用計算卷積的程序計算相關:的自相關序列有限時寬因果序列的互相關序列和自相關序列

572自相關和互相關序列的性質

設有兩個序列，它們均為能量信號58歸一化處理

如果互相關中任一信號或兩個信號的幅度按比例增大或減小，互相關序列的形狀不變，僅僅是幅度相應發(fā)生變化。在實際中，通常把自相關和互相關序列歸一化處理到-１至1的范圍。歸一化的自相關序列

歸一化的互相關序列

重要性質

59603周期序列的相關性61檢測被隨機干擾所污染的由觀測所得的物理信號的周期性62例2.6.3設信號與加性噪聲信號混合在一起，噪聲的值是一個一個地獨立選取的，服從上的均勻分布，其中是分布參數。觀測序列是，求自相關序列并確定信號的周期。

解：假設是周期的，但不知道它的周期，現(xiàn)在要從確定的周期。盡管的周期為10，但我們僅有一個長度［即的10個周期]的有限時寬序列，噪聲信號的功率水平由參數Δ決定，可