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3.7定積分的應(yīng)用一、定積分的微元法二、定積分在幾何方面的應(yīng)用1.直角坐標(biāo)系中的平面圖形的面積2.極坐標(biāo)中平面圖形的面積三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積一、定積分的微元法求曲邊梯形面積的有關(guān)知識(shí)預(yù)備知識(shí)abxyo

根據(jù)定積分的幾何意義知，如圖所示曲邊梯形的面積為求面積A的步驟為:（3）求和:得A的近似值（4）求極限:得A的精確值abxyo面積元素提示這個(gè)方法通常叫做微元法(元素法)．應(yīng)用范圍：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等．微元法微元法的一般步驟：1.直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積所以曲邊梯形的面積如圖：由曲線和直線

所組成的曲邊梯形的面積的微元素：二、定積分在幾何方面的應(yīng)用如圖：求由曲線

以及直線所圍成（1）如圖,以（2）在為積分變量，積分區(qū)間為圖形的面積內(nèi)任取一小區(qū)間解兩曲線的交點(diǎn)面積元素以為積分變量，積分區(qū)間為解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量例3.求橢圓解:

利用對(duì)稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時(shí)得圓面積公式2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為對(duì)應(yīng)

從0變例5.計(jì)算阿基米德螺線解:到2

所圍圖形面積.例6.計(jì)算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對(duì)稱性)三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有例13.

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對(duì)稱性)方法2

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