特殊三角形復(fù)習(xí)課17.word版本

特殊三角形復(fù)習(xí)課17.3．直角三角形：在△ABC中，∠C＝90°.

(1)性質(zhì)：邊與邊的關(guān)系：(勾股定理)a2＋b2＝

；

(2)角與角的關(guān)系：∠A＋∠B＝

；

(3)邊與角的關(guān)系：若∠A＝30°，則a＝c，b＝c；若a＝c，則∠A＝30°；若∠A＝45°，則a＝b＝c；若a＝c，則∠A＝45°；斜邊上的中線m＝c＝R.其中R為三角形外接圓的半徑．

(4)判定：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．c290°[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]

1．等腰三角形的特殊性“等邊對(duì)等角”是今后我們證明角相等的又一個(gè)重要依據(jù)．“等角對(duì)等邊”可以判定一個(gè)三角形是等腰三角形，同時(shí)也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)．等邊三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等邊三角形，等邊三角形擁有等腰三角形的所有性質(zhì)，但不分頂角、底角、腰、底邊．因?yàn)榈冗吶切稳魏我粋€(gè)角都為60°，任何一條邊都可看做腰或底邊．解答等腰三角形的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常作輔助線，構(gòu)造出“三線合一”的基本圖形．在添加輔助線時(shí)，要根據(jù)具體情況而定，表達(dá)輔助線的語(yǔ)句，不能限制條件過(guò)多，如一邊上的高并且要平分這條邊；作一邊上的中線并且垂直平分這條邊；作一個(gè)角的平分線并且垂直對(duì)邊等等，這些都是不正確的．

2．直角三角形的特殊性直角三角形是重要的基本圖形之一，它的特征和識(shí)別應(yīng)用非常廣泛，把勾股定理運(yùn)用到實(shí)際生活中解決實(shí)際問(wèn)題，常常滲透著數(shù)形結(jié)合、方程思想．

在利用勾股定理時(shí)，一定要看清題中所給的條件是不是直角三角形，所給的邊是直角邊還是斜邊，如果題目無(wú)法確定是直角邊還是斜邊，則需要分類討論．勾股定理的逆定理是把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，是通過(guò)計(jì)算判定一個(gè)三角形是否為直角三角形．實(shí)際問(wèn)題可根據(jù)實(shí)際情況轉(zhuǎn)化為直角三角形去解，圖中無(wú)直角時(shí)，可通過(guò)添加輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形．若圖形中有特殊角，如30°、45°、60°的角，在作輔助線時(shí)，要注意保留其完整性，以便應(yīng)用特殊三角形的性質(zhì)．基礎(chǔ)自測(cè)1．(2011·濟(jì)寧)如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5cm和6cm，那么此三角形的周長(zhǎng)是()A．15cmB．16cmC．17cmD．16cm或17cm

答案D

解析這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是5＋5＋6＝16或6＋6＋5＝17.2．(2011·銅仁)下列關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)敘述錯(cuò)誤的是()A．等腰三角形兩底角相等B．等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合C．等腰三角形是中心對(duì)稱圖形D．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形

答案C

解析等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形．3．(2011·蕪湖)如圖，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，CD＝4，則線段DF的長(zhǎng)度為()A．2B．4C．3D．4

答案B

解析在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，可得AD＝BD，易證△BDF≌△ADC，所以DF＝CD＝4.題型分類深度剖析【例1】(1)方程x2－9x＋18＝0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為()A．12B．12或15C．15D．不能確定

答案C

解析解方程x2－9x＋18＝0，得x1＝3，x2＝6，周長(zhǎng)為3＋6＋6＝15，應(yīng)選C.(2)如果等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是80°，那么頂角是________度．

答案80或20

解析頂角是80°，或當(dāng)?shù)捉鞘?0°時(shí)，頂角是180°－2×80°＝20°.探究提高在等腰三角形中，如果沒有明確底邊和腰，某一邊可以是底，也可以是腰．同樣，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細(xì)分類討論．題型一等腰三角形有關(guān)邊角的討論知能遷移1(1)(2011·株洲)如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC.①求∠ECD的度數(shù)；②若CE＝5，求BC長(zhǎng)．變式：解①解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∠ECD＝∠A＝36°.解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90°.又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD＝∠A＝36°.②解法一：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.∵∠ECD＝∠A＝36°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°，∴∠BEC＝180°－36°－72°＝72°＝∠B，∴BC＝EC＝5.解法二：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5.(2)(2011·煙臺(tái))等腰三角形的周長(zhǎng)為14，其一邊長(zhǎng)為4，那么，它的底邊為_______．

解析①等腰三角形的底邊為4；②等腰三角形的兩腰為4時(shí)，則底邊等于14－4－4＝6.4或6題型二等腰三角形的性質(zhì)【例2】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且AE＝BF，試判斷△DEF的形狀．解題示范——規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：連接AD，在等腰Rt△ABC中，∵AD是中線，∴AD⊥BC，∠DAE＝∠BAC＝45°，AD＝BD.又∵∠B＝∠C＝45°，∴∠B＝∠DAE.[2分]在△BDF和△ADE中，∴△BDF≌△ADE(SAS)．[4分]∴DF＝DE，∠1＝∠2.又∵∠3＋∠1＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，即∠EDF＝90°.∴△DEF也是等腰直角三角形．[6分]探究提高作等腰三角形的底邊中線，構(gòu)造等腰三角形“三線合一”的基本圖形，是常見的輔助線的作法之一．知能遷移2已知：如圖，D是等腰△ABC底邊BC上一點(diǎn)，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF.當(dāng)D點(diǎn)在什么位置時(shí)，DE＝DF？并加以證明．解：當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)時(shí)，DE＝DF.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，且BD＝AE，AD與CE交于點(diǎn)F.

(1)求證：AD＝CE；

(2)求∠DFC的度數(shù)．題型三等邊三角形解(1)在等邊△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠CBA＝60°，又BD＝AE，∴△ABD≌△CAE，∴AD＝CE.

(2)∵△ABD≌△CAE，∴∠BAD＝∠ECA.∵∠DFC是△AFC的外角，∴∠DFC＝∠ECA＋∠DAC

＝∠BAD＋∠DAC

＝∠BAC＝60°.探究提高在解題的過(guò)程中要充分利用等邊三角形特有的性質(zhì)，每個(gè)角都相等，每條邊都相等，這可以讓我們輕松找到證明全等所需的條件．題型四直角三角形、勾股定理【例4】(1)如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1、l2、l3上，且l1、l2之間的距離為2，l2、l3之間的距離為3，則AC的長(zhǎng)是()

AA.B.C.D.(2)如圖，在鈍角三角形ABC中，BC＝9，AB＝17，

AC＝10，AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于D，求AD

的長(zhǎng)．探究提高在線段的長(zhǎng)無(wú)法直接求出時(shí)，可利用另一線段把這一線段表示出來(lái)，然后利用勾股定理得到一個(gè)方程，最后得解，這是利用勾股定理解決線段長(zhǎng)的常用方法．即：善于利用方程思想！知能遷移4(1)如圖，直線l上有三個(gè)正方形a、b、c，若a、c的面積分別為5和11，則b的面積為()A．4B．6C．16D．55

C(2)(2011·雞西)已知三角形相鄰兩邊長(zhǎng)分別為20cm和30cm，第三邊上的高為10cm，則此三角形的面積為__________cm2.答題規(guī)范考題再現(xiàn)在△ABC中，高AD和高BE相交于H，且BH＝AC，求∠ABC的度數(shù)．學(xué)生作答

解：如圖1，在Rt△BHD和Rt△ACD中，∠C＋∠CAD＝90°，∠C＋∠HBD＝90°，∴∠HBD＝∠CAD.又∵BH＝AC，∴△BHD≌△ACD，∴BD＝AD.∵∠ADB＝90°，∴∠ABC＝45°.

9．三角形的高可能在三角形的外部圖1規(guī)范解答解：這里的∠ABC有兩種情況，∠ABC是銳角(圖1)或∠ABC是鈍角(圖2)．如圖2，在Rt△BHD和Rt△ACD中，易得∠DCA＝∠DHB.又∵AC＝BH，∴△DHB≌△DCA，∴AD＝DB，∴∠DBA＝45°，∴∠ABC＝135°.綜上：∠ABC＝45°或∠ABC＝135°.圖2老師忠告

1．同學(xué)們都知道，三角形的高有可能在形外，但在實(shí)際解題中，常因忽略這一點(diǎn)而造成錯(cuò)誤．為什么常常會(huì)忽略三角形的高可能在形外呢？一個(gè)主要原因就是同學(xué)們頭腦中已形成思維定勢(shì)，一畫三角形就不由自主地畫成銳角三角形，從而造成漏解的失誤．2．在解答幾何問(wèn)題時(shí)，如果沒有給出具體的圖形，都應(yīng)該先考慮是否有多種情況，有些命題在一種情況下成立是真命題，而在另一種情況下就可能不成立，是假命題．10．易出錯(cuò)的等腰三角形問(wèn)題考題再現(xiàn)已知△ABC是等腰三角形，由A所引BC邊上的高恰好等于BC邊長(zhǎng)的一半，試求∠BAC的度數(shù)．學(xué)生作答

圖3規(guī)范解答解：題目中并沒有指明BC是等腰△ABC的底或腰．當(dāng)BC為底時(shí)，可求得∠BAC＝90°；當(dāng)BC為腰時(shí)，還應(yīng)對(duì)∠B的大小進(jìn)行討論：圖4圖5老師忠告

1．對(duì)于等腰三角形問(wèn)題，當(dāng)給出的條件(如邊、角情況)不明時(shí)，一般要分情況逐一考察，否則，容易出現(xiàn)錯(cuò)解或漏解的錯(cuò)誤．2．當(dāng)頂角是銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)；當(dāng)頂角為直角時(shí)，腰上的高與另一腰重合；當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外．這是在解與等腰三角形腰上的高有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮的幾個(gè)方面.思想方法感悟提高方法與技巧1.掌握分類的思想和方法，可深入理解，有效記憶，便于應(yīng)用．例如：從三角形三邊長(zhǎng)的比較，可把三角形分為不等邊三角形和等腰三角形，等腰三角形又分為等邊三角形和其它等腰三角形；而從最大內(nèi)角的大小出發(fā)，又可以把三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．由于兩種分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，所以一個(gè)具體的三角形，在兩種分類中，必各屬于其中的一類．如等腰直角三角形，在第一種分類中，屬于其它等腰三角形；在第二種分類中，屬于直角三角形．2.在一個(gè)三角形中“等邊對(duì)