第一講常微分方程的應(yīng)用與基本概念

常微分方程主講教師：

E-mail:Chenning@新課導(dǎo)入1.課程介紹：2.最終成績評定方式：最終成績=平時成績(30分)+期末考試成績（70分）平時成績=平時作業(yè)（5×3=15分）+出勤（5×3=15分）

1.什么是微分方程？含有自變量，未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式稱為微分方程。

2.什么是常微分方程？聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程；常微分方程是只含有一個自變量的微分方程；

《常微分方程》則是研究含有一個自變量的微分方程的求解方法及解的性質(zhì)的科學(xué)。

研究對象：只含一個自變量的微分方程。

基本任務(wù)：求解問題及解的性質(zhì)。什么是常微分方程？3.學(xué)習(xí)《常微分方程》這門課的意義？在自然界中，很多時候?yàn)榱丝虅澘陀^對象的運(yùn)動規(guī)律或變化規(guī)律，經(jīng)常需要描述變量之間的函數(shù)關(guān)系。但針對實(shí)際問題，我們通常很難直接找到這種函數(shù)關(guān)系，卻容易建立起變量所滿足的微分方程。如果方程可求解，則可以得到描述客觀對象運(yùn)動規(guī)律或變化規(guī)律的函數(shù)關(guān)系。這就是說微分方程有著深刻而生動的實(shí)際背景。舉例說明：1.《社會學(xué)》中的Malthus人口模型2.《種群生態(tài)學(xué)》中的Logistic蟲口模型3.《醫(yī)學(xué)》中的傳染病動力學(xué)模型應(yīng)用舉例5.《電學(xué)》中的R-L-C電路模型4.《力學(xué)》中的變力作用模型10.《化學(xué)》中的流體濃度問題模型9.《光學(xué)》中的光學(xué)儀器成象原理模型8.《氣象學(xué)》中的長期天氣預(yù)報不可能問題7.《原子物理學(xué)》中的裂變問題模型6.《熱學(xué)》中的物體冷卻模型應(yīng)用舉例贗品的鑒定基本概念1.常微分方程與偏微分方程：3.線性常微分方程與非線性常微分方程：2.常微分方程的階：5.常微分方程的顯式解和隱式解：6.常微分方程的特解（特積分）與通解（通積分）：7.常微分方程定解問題的提法：4.齊次微分方程和非齊次微分方程：8.初等積分法求解常微分方程：作業(yè)與思考練習(xí)1：列車在平直的線路上以20米/秒的速度行駛,當(dāng)制動時列車獲得加速度—0.4米/秒,試建立該問題的微分方程模型，并求列車開始制動后多少時間列車才能停?。恳约傲熊囋谶@段時間內(nèi)行駛了多少路程？

練習(xí)2：數(shù)學(xué)擺模型

數(shù)學(xué)擺是系于一根長度為

的線上而質(zhì)量為

的質(zhì)點(diǎn)M.在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圓周運(yùn)動.如圖所示.試確定擺的運(yùn)動方程.

一定質(zhì)量的鐳，隨著時間的變化，它的質(zhì)量會減少。已知裂變速度與它的存余量成正比，假設(shè)時刻t鐳的質(zhì)量R。

分析：很難直接得到R與t函數(shù)關(guān)系，但卻容易建立變量之間的一個微分方程：

這里為比例常數(shù)。借助于微積分知識，可對方程求解。原方程變形為例：鐳的裂變模型兩端積分得：亦即注意到初始條件：即得于是這里的比例常數(shù)可通過實(shí)驗(yàn)獲得。例1的解決過程就是數(shù)學(xué)建模的過程。返回解設(shè)制動后t秒鐘行駛s米，s=s(t),則注意到在t=0時，練習(xí)1：列車在平直的線路上以20米/秒的速度行駛,當(dāng)制動時列車獲得加速度—0.4米/秒,問開始制動后多少時間列車才能停??？以及列車在這段時間內(nèi)行駛了多少路程？

于是代入條件后知：從而故從開始制動到列車完全停住共需秒。練習(xí)2：

求平面上過點(diǎn)(1,3)且每點(diǎn)切線斜率為橫坐標(biāo)2倍的曲線方程.解:設(shè)所求的曲線方程為由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,應(yīng)有即又由條件:曲線過(1,3),即于是得故所求的曲線方程為:

例2.長期天氣預(yù)報不可能問題為了刻劃空氣氣流對流的規(guī)律，Lorenz得到了如下的微分方程組這里，x正比于對流運(yùn)動強(qiáng)度，y正比于水平方向溫度的變化，z正比于豎直方向溫度的變化，參數(shù)為正常數(shù)。

通過對Lorenz方程組穩(wěn)定性的討論，可得到長期天氣預(yù)報的不可能性。另外，人口模型、傳染病模型、水波運(yùn)動模型、光纖通訊中脈沖波胞的傳輸模型等等，均是微分方程模型。返回Kermack-McKendrick的SIR倉室模型所謂倉室模型就是針對某類傳染病的傳播特征和環(huán)境情況將某地區(qū)的人群（或某一種群）分成三類：

易感者類：其數(shù)量記為S(t),表示t時刻尚未染病但有可能被該類病菌或病毒感染的個體數(shù)；

染病者類：其數(shù)量記為I(t),表示t時刻已經(jīng)染病并且有感染力的個體數(shù)；移出者類：其數(shù)量記為R(t),表示t時刻從染病中康復(fù)后移出的個體數(shù)；SIR模型的三個基本假設(shè)：（1）不考慮人口的出生與死亡，環(huán)境封閉（沒有流入和流出），從而成員的總數(shù)始終保持一常數(shù)K,即：（2）一個染病者一旦與易感者接觸就必然有一定的感染力。假設(shè)t時刻單位時間內(nèi)已染病者傳染易感者的數(shù)目與此時此刻易感者的數(shù)量S(t)成正比，比例系數(shù)為；（3）假設(shè)t時刻單位時間內(nèi)從染病者中康復(fù)后移出的成員數(shù)與此時此刻已感染者的數(shù)量I(t)成正比，比例系數(shù)為，并且假設(shè)康復(fù)者具有永久免疫力，康復(fù)后不會再次被此疾病感染；S(易感者）I（染病者）R（移出者）SIR模型傳染病示意圖對每一倉室的成員變化率建立平衡方程式，變得到了下面經(jīng)典的SIR模型：返回例3.物理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型

將某物體放置于空氣中,在時刻時,測得它的溫度為10分鐘后測量得溫度為

試決定此物體的溫度

和時間

的關(guān)系,并計算20分鐘后物體的溫度.這里假設(shè)空氣的溫度保持在解:Newton冷卻定律:1.熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo);2.在一定的溫度范圍內(nèi),一個物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比.

設(shè)物體在時刻

的溫度為

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義,則溫度的變化速度為

由Newton冷卻定律,得到

其中

為比例系數(shù).此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型.注意:此式子并不是直接給出

和

之間的函數(shù)關(guān)系,而只是給出了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式.如何由此式子求得

與

之間的關(guān)系式,以后再介紹.返回例4.R-L-C電路模型

如圖所示的R-L-C電路.它包含電感L,電阻R,電容C及電源e(t).設(shè)L,R,C均為常數(shù),e(t)是時間t的已知函數(shù).試求當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I與時間t之間的關(guān)系.

解:電路的Kirchhoff第二定律:

在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.

設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中在時刻t的電流強(qiáng)度為I(t),則電流經(jīng)過電感L,電阻R和電容的電壓降分別為

其中Q為電量,于是由Kirchhoff第二定律,得到

因?yàn)?/p>

于是得到這就是電流強(qiáng)度I與時間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式.

返回例5.

數(shù)學(xué)擺模型

數(shù)學(xué)擺是系于一根長度為

的線上而質(zhì)量為

的質(zhì)點(diǎn)M.在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圓周運(yùn)動.如圖所示.試確定擺的運(yùn)動方程.

解:Newton第二定律:

取反時針運(yùn)動方向?yàn)橛嬃繑[與鉛垂線所成的角

的正方向.則由Newton第二定律,得到擺的運(yùn)動方程為

附注1:如果研究擺的微小振動,即當(dāng)

比較小時,可以取

的近似值

代入上式,這樣就得到微小振動時擺的運(yùn)動方程:

為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。本節(jié)將建立幾個簡單的單種群增長模型，以簡略分析一下這方面的問題。一般生態(tài)系統(tǒng)的分析可以通過一些簡單模型的復(fù)合來研究，大家若有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自行建立相應(yīng)的模型。

美麗的大自然

種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量，甚至允許它為可微變量，由此引起的誤差將是十分微小的。

離散化為連續(xù)，方便研究Malthus模型與Logistic模型例.馬爾薩斯（Malthus）模型

馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率r基本上是一常數(shù)，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率），即：

或（3.5）

（3.6）

（3.1）的解為：其中N0=N(t0)為初始時刻t0時的種群數(shù)。

馬爾薩斯模型的一個顯著特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需的時間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時間為T，則有：故模型檢驗(yàn)

比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實(shí)際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6（即3.06×109），人口增長率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實(shí)際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。模型預(yù)測假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到2510年，人口達(dá)2×1014個，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動范圍，而到2670年，人口達(dá)36×1015個，只好一個人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級數(shù)的增長Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，到總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。返回例.Logistic模型

人口凈增長率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即：r=r(N)

從而有：（3.7）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無法用擬合方法來求。為了得出一個有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型時，總是采用盡可能簡單的方法。r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項（競爭項）對馬爾薩斯模型引入一次項（競爭項），令r(N)=r-aN

此時得到微分方程：

或（3.8）

（3.8）被稱為Logistic模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群數(shù)量很大時，會對自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項又被稱為競爭項。（3.8）可改寫成：

（3.9）

(3.9)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個體，當(dāng)種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3.9）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（3.9）也被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。圖3-5對（3.9）分離變量：兩邊積分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3.9）的滿足初始條件N(0)=N0的解為：（3.10）易見：

N(0)=N0

，N(t)的圖形請看圖3.5模型檢驗(yàn)

用Logistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（E·F·Gauss）也做了一個原生物草履蟲