自動控制原理 第九章 狀態(tài)空間分析法

第九章狀態(tài)空間分析方法1編輯ppt主要內(nèi)容9-1狀態(tài)空間方法基礎(chǔ)9-2線性系統(tǒng)的可控性和可觀性9-3狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器9-4有界輸入、有界輸出的穩(wěn)定性9-5李雅普諾夫第二方法返回主目錄2編輯ppt引言：前面幾章所學(xué)的內(nèi)容稱為經(jīng)典控制理論；下面要學(xué)的內(nèi)容稱為現(xiàn)代控制理論。兩者作一簡單比較。經(jīng)典控制理論(20世紀(jì)50年代前)現(xiàn)代控制理論(20世紀(jì)50年代后)研究對象單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)可以比較復(fù)雜數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)(輸入、輸出描述)狀態(tài)方程(可描述內(nèi)部行為)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)運(yùn)算微積、復(fù)變函數(shù)線性代數(shù)、矩陣?yán)碚撛O(shè)計(jì)方法的特點(diǎn)非唯一性、試湊成分多,經(jīng)驗(yàn)起很大作用。主要在復(fù)數(shù)域進(jìn)行。設(shè)計(jì)的解析性，與計(jì)算機(jī)結(jié)合，主要在時(shí)間域進(jìn)行。3編輯ppt基本要求

掌握由系統(tǒng)輸入-輸出的微分方程式、系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及簡單物理模型圖建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的方法。熟練掌握矩陣指數(shù)的計(jì)算方法，熟練掌握由時(shí)域和復(fù)數(shù)域求解狀態(tài)方程的方法。熟練掌握由動態(tài)方程計(jì)算傳遞函數(shù)的公式。正確理解可逆線性變換,熟練掌握可逆線性變換前、后動態(tài)方程各矩陣的關(guān)系。正確理解可控性和可觀測性的概念，熟練掌握和運(yùn)用可控性判據(jù)和可觀性判據(jù)。返回子目錄4編輯ppt熟練掌握可逆線性變換矩陣的構(gòu)成方法,能將可控系統(tǒng)

化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。能對不可控系統(tǒng)進(jìn)行可控性分解。正確理解對偶原理,會將原系統(tǒng)的有關(guān)可觀測性的問題轉(zhuǎn)化為對偶系統(tǒng)的可控性問題來研究。正確理解單變量系統(tǒng)零、極點(diǎn)對消與動態(tài)方程可控、可觀測的關(guān)系。熟練掌握傳遞函數(shù)的可控性標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)、可觀性標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)的構(gòu)成方法。正確理解狀態(tài)反饋對可控性、可觀性的影響,正確理解狀態(tài)反饋可任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件。5編輯ppt熟練掌握全維狀態(tài)觀測器的公式和設(shè)計(jì)方法,熟練掌握由觀測器得到的狀態(tài)估計(jì)值代替狀態(tài)值構(gòu)成的狀態(tài)反饋系統(tǒng),可進(jìn)行閉環(huán)極點(diǎn)配置和觀測器極點(diǎn)配置。正確理解系統(tǒng)齊次方程漸近穩(wěn)定和系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的概念,熟練掌握判別漸近穩(wěn)定的方法和判別系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的方法。正確理解李雅普諾夫方程正定對稱解存在的條件和解法,能通過解李雅普諾夫方程進(jìn)行穩(wěn)定性分析。6編輯ppt9-1狀態(tài)空間方法基礎(chǔ)在經(jīng)典控制理論中，用傳遞函數(shù)來設(shè)計(jì)和分析單輸入、單輸出系統(tǒng)。在現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)。采用矩陣表示法可以使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡潔明了，為系統(tǒng)的分析研究提供了有力的工具。返回子目錄7編輯ppt狀態(tài)：動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)可以定義為信息的集合。一、狀態(tài)空間的基本概念已知時(shí)狀態(tài)，時(shí)的輸入，可確定時(shí)任一變量的運(yùn)動狀況。狀態(tài)變量：確定動力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量。8編輯ppt狀態(tài)空間：由張成的n維向量空間。狀態(tài)向量：

如果完全描述一個(gè)給定系統(tǒng)的動態(tài)行為需要n個(gè)狀態(tài)變量，那么狀態(tài)向量定義為X(t)。對于確定的某個(gè)時(shí)刻，狀態(tài)表示為狀態(tài)空間中一個(gè)點(diǎn)，狀態(tài)隨時(shí)間的變化過程，構(gòu)成了狀態(tài)空間中的一條軌跡。9編輯ppt例9-2設(shè)一RLC網(wǎng)絡(luò)如圖所示?；芈贩匠虨閳D9-2RLC網(wǎng)絡(luò)10編輯ppt則有寫成輸出選擇狀態(tài)變量,11編輯ppt寫成則有若選另一組狀態(tài)變量,12編輯ppt

若給出(t=0)時(shí)的初值、、…、和時(shí)就可確定系統(tǒng)的行為。單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)選取狀態(tài)變量二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式13編輯ppt（9-17）14編輯ppt或?qū)懗桑?-19）15編輯ppt系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示圖9-316編輯ppt例9-3輸入為u，輸出為y。試求系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程?？紤]用下列常微分方程描述的系統(tǒng)17編輯ppt解：狀態(tài)方程為寫成取狀態(tài)變量18編輯ppt輸出圖9-4例9-3系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖19編輯ppt多輸入-多輸出系統(tǒng)圖9-6多變量系統(tǒng)20編輯ppt………為狀態(tài)變量；為輸入量；為輸出變量。21編輯ppt矩陣形式：式中22編輯ppt……….輸出變量方程23編輯ppt式中24編輯ppt圖9-7系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖25編輯ppt三、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解式中均為列向量。（9-28）齊次向量微分方程（9-29）方程的解為1、齊次狀態(tài)方程的解26編輯ppt可得代入方程將方程兩邊系數(shù)必相等,即27編輯ppt我們定義(9-31)(9-32)因此，齊次狀態(tài)方程的解為將t=0

代入式（9-29）中得28編輯ppt(9-33)（9-34）（9-35）為n×n矩陣，稱矩陣指數(shù)。于是齊次狀態(tài)方程的解為用拉氏變換法求解29編輯ppt拉氏逆變換后得到（9-37）（9-38）30編輯ppt最終得到與前一種解法所得結(jié)果一致。式中（9-41）31編輯ppt狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有以下性質(zhì)：32編輯ppt圖9-8狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性性質(zhì)333編輯ppt例9-5設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。34編輯ppt解：求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為其中可以寫出方程解為35編輯ppt例9-6設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試求狀態(tài)方程的解。36編輯ppt解：用拉氏變換求解。先求出矩陣指數(shù)37編輯ppt狀態(tài)方程之解為將上式進(jìn)行拉氏逆變換38編輯ppt圖9-9系統(tǒng)的瞬態(tài)解（a）與相軌跡（b）39編輯ppt改寫為用左乘等式兩邊2非齊次狀態(tài)方程的解非齊次方程(9-53)(9-54)40編輯ppt用左乘上式兩邊(9-54)則式（9-54）可以寫成(9-55)積分上式得41編輯ppt討論非齊次狀態(tài)方程的拉氏變換解法拉氏逆變換得由于由卷積定理有42編輯ppt因此由于最后得到43編輯ppt例9-7求下述系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)控制量u為單位階躍函數(shù)。44編輯ppt解：由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣45編輯ppt若初始狀態(tài)為零狀態(tài)，則46編輯ppt四、傳遞函數(shù)矩陣（9-58）系統(tǒng)狀態(tài)方程（9-59）輸出方程拉氏變換為47編輯ppt解出定義傳遞函數(shù)矩陣為（9-63）48編輯ppt所以特征方程為（9-64）49編輯ppt例9-8設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。50編輯ppt解：已知故51編輯ppt52編輯ppt例9-9設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。53編輯ppt解：系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根為-1、-2和-3。矩陣A的特征值也為-1、-2和-3。兩者是一樣的。54編輯ppt五、動態(tài)方程的可逆線性變換其中P是n×n矩陣55編輯ppt特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式?jīng)]有改變。56編輯ppt傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣沒有改變57編輯ppt例9-10對例9-9之系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換，其變換關(guān)系為試求變換后系統(tǒng)的特征方程和特征值。58編輯ppt解：

根據(jù)題意求變換矩陣代入59編輯ppt特征方程為特征值為-1，-2，-3，與例9-9結(jié)果相同?？傻?0編輯ppt9-2線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性在狀態(tài)空間法中，對系統(tǒng)的描述可由狀態(tài)方程和輸出方程來表示。狀態(tài)方程是描述由輸入和初始狀態(tài)所引起的狀態(tài)的變化；輸出方程則是描述由于狀態(tài)變化而引起輸出的變化可控性和可觀測性的概念，就是回答“系統(tǒng)的輸入是否能控制狀態(tài)的變化’’和“狀態(tài)的變化能否由輸出反映出來’’這樣兩個(gè)問題。返回子目錄61編輯ppt一、準(zhǔn)備知識設(shè)A

是n×n矩陣,x

是n×1向量,齊次方程組若|A|=0,式（9-70）存在非零解；若|A|≠0,式（9-70）只有零解。Ax=0（9-70）1.齊次方程組的非零解62編輯ppt2.凱萊-哈米爾頓(Cayley-Hamilton)定理Cayley-Hamilton定理指出，矩陣A滿足自己的特征多項(xiàng)式。則A滿足（9-71）（9-72）A的特征多項(xiàng)式63編輯ppt應(yīng)用Cayley-Hamilton定理（9-78）對于矩陣指數(shù)可以用來表示。64編輯ppt例9-11解：矩陣A的特征多項(xiàng)式要求計(jì)算矩陣的65編輯ppt矩陣A滿足自己的特征多項(xiàng)式，有本題中n=100，故有M66編輯ppt3.引理的充分必要條件是：存在使（9-80）非奇異。這里A:n×n,b:n×1。67編輯ppt若對任意狀態(tài)，存在一個(gè)有限時(shí)刻和控制量，能在時(shí)刻將狀態(tài)轉(zhuǎn)移到0，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。二、線性系統(tǒng)的可控性1.定義對于任意時(shí)刻和，若存在控制向量，能將的每個(gè)初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到時(shí)刻的另一任意狀態(tài),則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。等價(jià)的定義68編輯ppt例如圖9-10二維系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如圖所示系統(tǒng)可控。69編輯ppt2.可控性判據(jù)其中A(n×n),b(n×1),c(1×n),d(1×1)系統(tǒng)可控的充分必要條件是（9-84）（9-85）(9-86)單變量線性定常系統(tǒng)70編輯ppt證明：將u(t)代入式(9-54)，可得(9-87)若式(9-86)成立，由前面準(zhǔn)備知識的引理，存在t1>0，使得式(1-30)定義的W(0,t1)矩陣非奇異，取t1為可控性定義中的tf

，且在[0,tf]上定義71編輯ppt由定義可知式(9-86)成立時(shí)，系統(tǒng)可控。72編輯ppt再證明若系統(tǒng)可控，則式(9-86)成立。根據(jù)凱萊-哈密爾頓定理（9-88）（9-89）假定系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)被控制到零狀態(tài)，即x(tf)=0。根據(jù)(9-54)式，則有73編輯ppt把(9-89)式代入(9-88)式，得記這時(shí)（9-90）74編輯ppt由于x(0)是任意的n維向量，式(9-90)要有解，一定有(9-86)式成立，即由上述可控性判據(jù)可知，系統(tǒng)的可控性只取決于式(9-84)中的A陣和b陣。今后為了方便起見，將可控性矩陣記為S，這樣，可控的充要條件就寫成：rankS=n或detS≠0。75編輯ppt圖9-11不可控系統(tǒng)76編輯ppt例子系統(tǒng)可控。系統(tǒng)77編輯ppt3.約當(dāng)型方程的可控性判據(jù)

約當(dāng)塊的一般形式為由前面討論可知，等價(jià)變換不改變可控性。78編輯ppt可控的充分必要條件為①同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊，即各約當(dāng)塊的特征值不同。②每一約當(dāng)塊最后一行，所對應(yīng)的b中的元素不為零。這一充分必要條件又稱為單輸入系統(tǒng)約當(dāng)形方程的可控性判據(jù)。79編輯ppt例9-12系統(tǒng)狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)可控時(shí)，應(yīng)滿足的條件。80編輯ppt解：

如果用直接計(jì)算可控性矩陣的方法也可得到同樣結(jié)果.因?yàn)锳陣有兩個(gè)約當(dāng)塊，根據(jù)判據(jù)的①應(yīng)有，由判據(jù)的②，A的第二行所對應(yīng)的b中的元素b2,b4均不為零，因此系統(tǒng)可控的充要條件為81編輯ppt4.可控標(biāo)準(zhǔn)形(9-92)則系統(tǒng)一定可控。一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果具有如下形式82編輯ppt式(9-92)的形式被稱為單輸入系統(tǒng)的

可控標(biāo)準(zhǔn)形。對于一般的單輸入n維動態(tài)方程

(9-93)其中A，b分別為n×n,n×1的矩陣。成立以下定理：若n維單輸入系統(tǒng)可控，則存在可逆線性變換，將其變換成可控標(biāo)準(zhǔn)形。83編輯ppt下面給出變換矩陣P的構(gòu)成方法計(jì)算可控性矩陣S；計(jì)算，并記的最后一行為h。構(gòu)造矩陣P令

即可求出變換后的系統(tǒng)狀態(tài)方程。，，，，84編輯ppt例9-13設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。85編輯ppt解：

先判斷可控性，再計(jì)算變換矩陣，將狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。故系統(tǒng)可控。一定可將它化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。86編輯ppt此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)形中的系統(tǒng)矩陣的最后一行系數(shù)就是A陣特征式的系數(shù)，但符號相反。則變換矩陣為87編輯ppt可求出88編輯ppt5.系統(tǒng)按可控性進(jìn)行分解

系統(tǒng)可控時(shí)，可通過可逆線性變換變換為可控標(biāo)準(zhǔn)形，現(xiàn)在研究不可控的情況，這時(shí)應(yīng)有下面的結(jié)果被稱為系統(tǒng)按可控性進(jìn)行分解的定理

（9-103）89編輯ppt若單變量系統(tǒng)式(9-84)，(9-85)的可控性矩陣滿足式(9-103），則存在可逆線性變換矩陣P，使得變換后的系統(tǒng)方程具有以下形式（9-106）（9-107）式中是n1維向量，是n2維向量，并且90編輯ppt式(9-106)表明下面的動態(tài)方程是可控的：式（9-107)表明的動態(tài)方程(9-108)，(9-109)和原來的n維動態(tài)方程(9-84)，(9-85)具有相同的傳遞函數(shù)。或者說傳遞函數(shù)中未能反映系統(tǒng)中不可控的部分。（9-108）（9-109）91編輯ppt證明：(9-110)考察(9-103)式，并將它重新寫出如下進(jìn)而可以證明補(bǔ)充選取線性無關(guān)的向量并使得向量組線性無關(guān)。92編輯ppt即可證明具有定理所要求的(9-104)的形式。令若將式(9-104，105)所表示的系統(tǒng)用方框圖表示，可控性分解的意義就能更直觀地體現(xiàn)出來，式(9-104)，(9-105)的系統(tǒng)方框圖如圖9-12所示。93編輯ppt圖9-12系統(tǒng)按可控性分解94編輯ppt從圖9-12中可見，控制輸入不能直接改變也不能通過影響間接改變，故這一部分狀態(tài)分量是不受輸入影響的，它是系統(tǒng)中的不可控部分。由圖上還可看出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可控部分。95編輯ppt例9-14設(shè)有系統(tǒng)方程如下其傳遞函數(shù)為試進(jìn)行可控性分解。96編輯ppt解：系統(tǒng)的可控性矩陣由于S的第3列是第1列與第2列的線性組合，系統(tǒng)不可控。選取97編輯ppt計(jì)算出構(gòu)成98編輯ppt故有因而得99編輯ppt三、線性系統(tǒng)的可觀測性設(shè)n維單變量線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為(9-113,114)

如果在有限時(shí)間間隔[0,t1]內(nèi)，根據(jù)輸出值y(t)和輸入值u(t)，能夠唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)的每一個(gè)分量，則稱此系統(tǒng)是完全可觀測的，簡稱可觀的。1.可觀測性的定義式中A,b,c分別為矩陣。100編輯ppt

若系統(tǒng)中至少有一個(gè)狀態(tài)變量是不可觀測(不能被確定)的，則稱系統(tǒng)不可觀。圖9-13不可觀測系統(tǒng)101編輯ppt

分析式(9-117)，當(dāng)知道某一時(shí)刻的輸出時(shí)，式(9-117)是n個(gè)未知量x(0)的(一個(gè))方程，顯然不能唯一確定初值，要解出x(0)，必須要利用一段時(shí)間上的輸入和輸出的值。將式(9-117)左乘一個(gè)列向量，再從0到t1積分就可得到n個(gè)未知數(shù)x(0)的n個(gè)方程。就可利用線性方程組存在唯一解的條件來研究。(9-117)我們考慮沒有外作用的系統(tǒng)，可求出102編輯ppt2.可觀測性判據(jù)

可觀測的充分必要條件是(9-118)式(9-118)中的矩陣稱為可觀性矩陣。并記為V。103編輯ppt式（9-118）又可以寫成取x(0)=α，這一非零的初始狀態(tài)引起的輸出為（9-120）根據(jù)準(zhǔn)備知識中的引理，存在104編輯ppt將代入上式，得

顯然α不可能由y(t)=0來確定。即系統(tǒng)不可觀測。105編輯ppt試判斷系統(tǒng)的可觀測性。設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為例題9-15106編輯ppt解：系統(tǒng)的可觀性矩陣是奇異的，故系統(tǒng)不可觀測。系統(tǒng)可觀性矩陣的秩，在對系統(tǒng)作可逆線性變換下保持不變，因而可逆線性變換不改變系統(tǒng)的可觀測性。

107編輯ppt事實(shí)上因?yàn)槭强赡骊?，所以上式兩端矩陣的秩相同?08編輯ppt3.對偶原理上面兩個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣之間有確定的關(guān)系，稱系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ是互為對偶的系統(tǒng)。系統(tǒng)Ⅰ系統(tǒng)Ⅱ109編輯ppt對偶原理系統(tǒng)Ⅰ的可控性(可觀性)等價(jià)于系統(tǒng)Ⅱ的可觀性(可控性)。只要寫出系統(tǒng)Ⅰ的可控性矩陣(可觀性矩陣)和系統(tǒng)Ⅱ的可觀性矩陣(可控性矩陣)即可證明以上結(jié)論。利用對偶原理，可以將可控性的研究結(jié)果應(yīng)用到可觀測性的研究上。因?yàn)閷ε枷到y(tǒng)的可控性研究就相當(dāng)于對原系統(tǒng)的可觀性研究。110編輯ppt應(yīng)用：

若式(9-113)和式(9-114)的動態(tài)方程中A陣具有約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，則系統(tǒng)可觀測的充分必要條件為

①同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊。②每一約當(dāng)塊的第1列所對應(yīng)的c中的元素非零。上述條件就是約當(dāng)形動態(tài)方程的可觀測性判據(jù)。它可以由對偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)得到。111編輯ppt例9-16

設(shè)動態(tài)方程為試確定系統(tǒng)可觀測時(shí)應(yīng)滿足的條件。112編輯ppt解：由對偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)可知，其可控的充要條件為這也就是原系統(tǒng)可觀測的條件。構(gòu)造原系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)如下：113編輯ppt4.可觀測標(biāo)準(zhǔn)形

一個(gè)單輸出系統(tǒng)如果其A,c

陣有如下的標(biāo)準(zhǔn)形式，它一定是可觀測的。式（9-122）稱為單輸出系統(tǒng)的可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。（9-122）114編輯ppt通過對偶原理證明：給定系統(tǒng)方程如下（9-123）若有等價(jià)變換將其化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形式中具有式(9-122)的形式。115編輯ppt構(gòu)造原系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)

根據(jù)對偶原理，因原系統(tǒng)為可觀測，所以其對偶系統(tǒng)一定可控。

化為下列的可控標(biāo)準(zhǔn)形，其變換矩陣為P。116編輯ppt因此有(9-134)比較上面兩組式子，可知欲求之線性變換矩陣它可將系統(tǒng)方程化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。117編輯ppt例9-17系統(tǒng)動態(tài)方程為將系統(tǒng)動態(tài)方程化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形，并求出變換矩陣。118編輯ppt解：顯然該系統(tǒng)可觀測，可以化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形。寫出它的對偶系統(tǒng)的A,b陣，分別為根據(jù)A,b陣，按化可控標(biāo)準(zhǔn)形求變換陣的步驟求出P陣。119編輯ppt計(jì)算可控性矩陣S由(9-129)式求出P陣由(9-134)式求出M陣120編輯ppt式中121編輯ppt

5.系統(tǒng)按可觀性進(jìn)行分解

系統(tǒng)可觀測，則通過等價(jià)變換可以化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形?，F(xiàn)在研究系統(tǒng)不可觀的情況，它是系統(tǒng)不可控的對偶結(jié)果。若式(9-113，114)的系統(tǒng)不可觀測，且122編輯ppt則存在可逆矩陣P，將動態(tài)方程化為式中是n2維向量,是n-n2維向量，并且（9-137）（9-135）（9-136）123編輯ppt(9-135,136)的式子也可用圖9-14表示。

這可以用前面證明可觀標(biāo)準(zhǔn)形的方法論證。式(9-137)表明n2維的子系統(tǒng)(A1b1c1)是可觀的；這部分狀態(tài)變量是不可觀的；式(9-138)表明傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可觀部分。系統(tǒng)按可觀性分解的結(jié)果(9-138)124編輯ppt圖9—14系統(tǒng)按可觀測性分解由上圖可以看出傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)中不可觀測的部分。125編輯ppt四、可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系（9-141）對應(yīng)的傳遞函數(shù)為(9-140)考慮單變量系統(tǒng)，其動態(tài)方程為1.可控性、可觀測性與零、極點(diǎn)對消問題126編輯ppt式中：

N(s)=0的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的零點(diǎn)，D(s)=0的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的極點(diǎn)。下面是本段的主要結(jié)果。定理

動態(tài)方程式(9-140)可控、可觀測的充分必要條件是g(s)無零、極點(diǎn)對消，即D(s)和N(s)無非常數(shù)的公因式。127編輯ppt證明：首先用反證法證明條件的必要性，若有s=s0即使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得(9-143)利用恒等式可得(9-144)128編輯ppt將s=s0代入式(9-144)，并利用式(9-143)，可得(9-145)將上式前乘c、后乘b后，即有（9-146）將式(9-145)前乘cA、后乘b后，即有（9-147）129編輯ppt依次類推可得這組式子又可寫成130編輯ppt

出現(xiàn)矛盾，矛盾表明N(s)和D(s)無相同因子，即g(s)不會出現(xiàn)零、極點(diǎn)相消的現(xiàn)象。因?yàn)閯討B(tài)方程可觀測，故上式中前面的可觀性矩陣是可逆矩陣，故有又由于系統(tǒng)可控，不妨假定A、b具有可控標(biāo)準(zhǔn)形式(9-92)的形式，直接計(jì)算可知（9-148）131編輯ppt例9-18設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為驗(yàn)證系統(tǒng)是可控、可觀測的。132編輯ppt顯然N(s)和D(s)無非常數(shù)的公因式，這時(shí)傳遞函數(shù)沒有零、極點(diǎn)相消。事實(shí)上解：分別計(jì)算133編輯ppt2.傳遞函數(shù)的最小階動態(tài)方程實(shí)現(xiàn)

已知動態(tài)方程，可以用式(9-64)計(jì)算出傳遞函數(shù)。如果給出傳遞函數(shù)如何找出它所對應(yīng)的動態(tài)方程？這一問題稱為傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)。如果又要求所找出的動態(tài)方程階數(shù)最低，就稱為傳遞函數(shù)的最小實(shí)現(xiàn)問題。134編輯ppt設(shè)給定有理函數(shù)(9-149)式(9-149)中的d就是下列動態(tài)方程中的直接傳遞部分(9-150)所以只需討論式(9-149)中的嚴(yán)格真有理分式部分。135編輯ppt給定嚴(yán)格真有理函數(shù)(9-151)要求尋找A,b,c，使得(9-152)并且在所有滿足式(9-152)的A,b,c中，要求A的維數(shù)盡可能的小。下面分兩種情況討論136編輯ppt可控標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)式(9-153)對式(9-151)，可構(gòu)造出如下的實(shí)現(xiàn)(A,b,c)(9-153)（1）g(s)的分子和分母無非常數(shù)公因式的情況137編輯ppt(9-154)可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)式(9-153)給出的(A,b,c)具有可控標(biāo)準(zhǔn)形，故一定是可控的。可直接計(jì)算它對應(yīng)的傳遞函數(shù)就是式(9-151)的傳遞函數(shù)。由于g(s)無零、極點(diǎn)對消，故可知式(9-153)對應(yīng)的動態(tài)方程也一定可觀。同樣可以說明式(9-154)是式(9-151)的可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小實(shí)現(xiàn)。138編輯ppt

若g(s)的分母已經(jīng)分解成一次因式的乘積，通過部分分式分解，容易得到約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)用例子說明,設(shè)g(s)有以下的形式(9-155)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)因?yàn)間(s)無零、極點(diǎn)對消，故可知上式中c1、c4均不為零。139編輯ppt令分別對應(yīng)于140編輯ppt而綜合上面各式并令x=[x1x2x3x4]T可得由約當(dāng)形方程的可控性判據(jù)和可觀測性判據(jù)可知上式是可控、可觀測的，因而它是g(s)一個(gè)最小階實(shí)現(xiàn)。141編輯ppt

若g(s)的分母是n階多項(xiàng)式，但分子和分母有相消的公因式時(shí),這時(shí)n階的動態(tài)方程實(shí)現(xiàn)就不是最小階實(shí)現(xiàn)，而是非最小實(shí)現(xiàn)(或是不可控的，或是不可觀的，或是既不可控也不可觀的)。g(s)的最小實(shí)現(xiàn)的維數(shù)一定小于n。（2）g(s)的分子和分母有相消因式的情況142編輯ppt例9-19設(shè)g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)=，分子與分母有公因子(s+1)。仿照式(9-153)，可寫出g(s)的一個(gè)三維的可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)無需驗(yàn)證這個(gè)實(shí)現(xiàn)是可控的143編輯ppt因此這一實(shí)現(xiàn)是不可觀的。同理，如果按式(9-154)構(gòu)造如下的可觀測標(biāo)準(zhǔn)形的三維實(shí)現(xiàn)，它一定是不可控的。計(jì)算可觀測性矩陣144編輯ppt

當(dāng)然也可以構(gòu)造出g(s)的既不可控又不可觀測的三維實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)在將分子和分母中的公因式消去，可得

如果用上式中最后的式子，仿照式(9-153)或式(9-154)，構(gòu)造出二維的動態(tài)方程實(shí)現(xiàn)，它是g(s)的最小實(shí)現(xiàn)。145編輯ppt

9-3狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器本節(jié)首先研究用狀態(tài)變量作反饋的控制方式。系統(tǒng)的動態(tài)方程如下(9-157)令(9-158)一、狀態(tài)反饋和極點(diǎn)配置問題式中的v是參考輸入，k稱為狀態(tài)反饋增益矩陣，這里它是1×n的向量。返回子目錄146編輯ppt圖9-15(9-159)圖9-15所示的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中A-bk為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣。將式(9-157)和式(9-158)用方框圖表示，見圖9-15，它是一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。147編輯ppt計(jì)算式(9-159)閉環(huán)系統(tǒng)的可控性矩陣，因?yàn)?狀態(tài)反饋不影響可控性148編輯ppt上式中最后一個(gè)矩陣顯然是非奇異矩陣，因此有(9-160)因此有149編輯ppt式(9-160)表明，若原來系統(tǒng)可控，加上任意的狀態(tài)反饋后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)也可控。若原來系統(tǒng)不可控，不論用什么k陣作狀態(tài)反饋，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)仍然不可控。這一性質(zhì)稱為狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性。

狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的可觀測性。即原來可觀的系統(tǒng)在某些狀態(tài)反饋下，閉環(huán)可以是不可觀的。同樣，原來不可觀的系統(tǒng)在某些狀態(tài)反饋下，閉環(huán)可以是可觀的。狀態(tài)反饋是否改變系統(tǒng)的可觀測性，要進(jìn)行具體分析。150編輯ppt例9-20系統(tǒng)的動態(tài)方程如下下表列出了系統(tǒng)c

陣參數(shù)、狀態(tài)增益向量k

和系統(tǒng)可觀測性的關(guān)系。151編輯ppt

可觀

任意可觀01

可觀[11]11

不可觀[12]可觀11

不可觀[01]10

可觀[11]不可觀10閉環(huán)系統(tǒng)k原系統(tǒng)c2c1

可觀性的變化可以從閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)變化、是否發(fā)生零極點(diǎn)對消來說明。152編輯ppt2狀態(tài)反饋對閉環(huán)特征值的影響

閉環(huán)方程(9-159)中的系統(tǒng)矩陣A-bk的特征值，一般稱為閉環(huán)的極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)的品質(zhì)主要由閉環(huán)的極點(diǎn)所決定，而穩(wěn)定性則完全由閉環(huán)極點(diǎn)所決定。

通過選取反饋增益陣來改變閉環(huán)特征值在復(fù)平面上的位置，稱為狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置問題。153編輯ppt證明：定理：

閉環(huán)方程(9-159)的系統(tǒng)矩陣A-bk的特征值可以由狀態(tài)反饋增益陣k配置到復(fù)平面的任意位置，其充分必要條件是式(9-157)的系統(tǒng)可控。先證充分性

因?yàn)槭?9-157)的系統(tǒng)可控,則存在可逆矩陣P，將式(9-157)的系統(tǒng)通過的變換化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。154編輯ppt式中(9-161)現(xiàn)引入（9-162）155編輯ppt這時(shí)式(9-158)的狀態(tài)反饋式可寫為：考慮矩陣（9-163）156編輯ppt它的特征式為由于故的特征式即是的特征式，所以和有相同的特征值。（9-165）157編輯ppt設(shè)任意給定的閉環(huán)極點(diǎn)為,且(9-166)式中完全由所決定。比較式(9-165)和式(9-166)可知，若要式(9-166)的根為，需有(9-167)這說明任意給定閉環(huán)n個(gè)極點(diǎn)，均可通過式(9-167)、式(9-163)確定，使A-bk具有給定的n個(gè)特征值。充分性證畢。158編輯ppt必要性

若式(9-157)可任意配置閉環(huán)特征值，要證明系統(tǒng)可控。用反證法，若式(9-157)不可控，則存在一個(gè)可逆矩陣，通過等價(jià)變換后，可將式(9-157)轉(zhuǎn)換為式(9-104)，(9-105)的可控分解形式?？紤]矩陣A4的特征值不受的影響，即A-bk中的一部分特征值不受k的影響，這與可任意配置A-bk的特征值相矛盾。矛盾表明式(9-157)可控。159編輯ppt

以上定理的充分性證明中，已給出通過可控標(biāo)準(zhǔn)形來選擇k陣，使閉環(huán)具有任意要求的特征值的計(jì)算步驟，現(xiàn)歸納如下計(jì)算A的特征式由所給的n個(gè)期望特征值，計(jì)算期望的

多項(xiàng)式160編輯ppt根據(jù)式(9-94)、(9-95)及(9-96)

，計(jì)算可控標(biāo)準(zhǔn)形的坐標(biāo)變換陣P求出反饋增益陣

上述步驟中有化可控標(biāo)準(zhǔn)形這一步。如果不經(jīng)過這步，也可直接求k。求161編輯ppt系統(tǒng)狀態(tài)方程為若加狀態(tài)反饋使閉環(huán)特征值分布為{-1,-2,-1+j,-1-j}，試求狀態(tài)反饋增益陣k。例9-21162編輯ppt方法一、通過化可控標(biāo)準(zhǔn)形求解計(jì)算A的特征式由所給的4個(gè)期望特征值，計(jì)算期望的多項(xiàng)式解：163編輯ppt求出反饋增益陣=[-0.4-1-21.4-6]根據(jù)式(9-96)，計(jì)算化可控標(biāo)準(zhǔn)形的坐標(biāo)變換陣P求164編輯ppt方法二：令，計(jì)算A-bk的特征式比較兩個(gè)特征式的系數(shù)可得所以可得

k=[-0.4-1-21.4-6]165編輯ppt最后強(qiáng)調(diào)：

在極點(diǎn)配置定理中，“任意配置”是和系統(tǒng)可控等價(jià)的。若不要求任意配置，就不一定要求系統(tǒng)可控。因此給定一組期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值時(shí)，才是可配置的。166編輯ppt例9-22設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為這一系統(tǒng)是不可控的。若指定閉環(huán)特征值

{-2,-2,-1,-1},{-2,-2,-2,-1}167編輯ppt令168編輯ppt有所以令169編輯ppt對{-2,-2,-2,-1}170編輯ppt所以有但若指定閉環(huán)特征值為{-2,-2,-2,-2}，就找不出k來達(dá)到這一配置要求。171編輯ppt例9-23有一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為要求用狀態(tài)反饋的方法，使得閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為-2,-1+j,-1-j。172編輯ppt解：

首先要將系統(tǒng)用狀態(tài)方程寫出，即構(gòu)造出傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)，為了計(jì)算方便，取可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)反饋增益向量k可寫成閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為173編輯ppt狀態(tài)反饋系統(tǒng)的方框圖如圖9-16所示。按給定極點(diǎn)，期望多項(xiàng)式為

比較上兩特征多項(xiàng)式，令s同次的系數(shù)相等，可得或k=[441]174編輯ppt圖9-16例9-23在引入狀態(tài)反饋后的結(jié)構(gòu)圖175編輯ppt二、狀態(tài)觀測器

為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，需對狀態(tài)變量進(jìn)行測量，但在實(shí)際系統(tǒng)中，并不是所有的狀態(tài)變量都能測量到的。因此為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制律，就要設(shè)法利用巳知的信息（輸入量及輸出量），通過一個(gè)模型來對狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)。狀態(tài)觀測器又稱狀態(tài)漸近估計(jì)器。176編輯ppt圖9-17狀態(tài)的開環(huán)估計(jì)

一個(gè)明顯的方法是利用計(jì)算機(jī)構(gòu)成一個(gè)與實(shí)際系統(tǒng)具有同樣動態(tài)方程的模型系統(tǒng)，用模型系統(tǒng)的狀態(tài)變量作為系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計(jì)值，見圖。177編輯ppt

由于圖9-17中未能利用系統(tǒng)的輸出信息對誤差進(jìn)行校正，所以用圖9-17得到的估計(jì)值是一個(gè)開環(huán)估值。

一般系統(tǒng)的輸入量u和輸出量y均為已知，因此希望利用y=cx與的偏差信號來修正的值，這樣就形成了圖9-18的閉環(huán)估計(jì)方案。

178編輯ppt圖9-18狀態(tài)的閉環(huán)估計(jì)方案179編輯ppt

根據(jù)圖9-18所表示的關(guān)系可寫出觀測器部分的狀態(tài)方程(9-169)由式(9-169)和系統(tǒng)方程式可求出觀測誤差應(yīng)滿足的方程式(9-170)180編輯ppt式(9-170)表明，只要A-Hc的特征值均在復(fù)平面的左半部，隨著t的增長而趨向于零，而且趨于零的速度由A-Hc的特征值所決定。于是有下面極點(diǎn)可任意設(shè)置的狀態(tài)觀測器定理。定理：若系統(tǒng)(Abc)可觀測,則式(9-169)給出了系統(tǒng)的一個(gè)n維狀態(tài)觀測器，并且觀測器的極點(diǎn)可以任意配置。181編輯ppt例9-24系統(tǒng)的動態(tài)方程為

試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測器，觀測器的特征值要求設(shè)置在{-10,-10}。182編輯ppt解：

將觀測器增益矩陣H寫成觀測器的特征方程為183編輯ppt根據(jù)給定的特征值，可求出期望的多項(xiàng)式為比較上述兩多項(xiàng)式中s的同次項(xiàng)系數(shù)得因此觀測器的方程為184編輯ppt三、由被控對象、觀測器和

狀態(tài)反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)若原系統(tǒng)(對象)方程為(9-171)現(xiàn)以狀態(tài)觀測器所得到的狀態(tài)估計(jì)值代替原系統(tǒng)的狀態(tài)變量x形成狀態(tài)反饋，即(9-172)而觀測器的方程為(9-173)185編輯ppt

由對象、觀測器和狀態(tài)反饋組合而成的閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖如圖9-19所示。圖9-19帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)186編輯ppt將式(9-172)代入式(9-171)和式(9-173)，可分別得到(9-174)(9-175)取狀態(tài)變量為(9-176)(9-177)187編輯ppt將式(9-176)、式(9-177)的動態(tài)方程進(jìn)行如下的坐標(biāo)變換(9-178)所得到的動態(tài)方程為：(9-179)(9-180)188編輯ppt閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以通過式(9-179)、式(9-180)來計(jì)算。從式(9-179)可知，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征式可計(jì)算如下(9-181)189編輯ppt

上式表明,圖9-19所示閉環(huán)系統(tǒng)的特征式等于矩陣A-bk與矩陣A-Hc

的特征式的乘積，而A-bk

是狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣，A-Hc是觀測器的系統(tǒng)矩陣，(9-181)式表明狀態(tài)反饋系統(tǒng)的動態(tài)特性和觀測器的動態(tài)特性是相互獨(dú)立的。

這個(gè)特點(diǎn)表明：若系統(tǒng)是可控、可觀的，則可按閉環(huán)極點(diǎn)配置的需要選擇反饋增益陣k，然后按觀測器的動態(tài)要求選擇H，H的選擇并不影響已配置好的閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。因此系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和觀測器的設(shè)計(jì)可分開進(jìn)行，這個(gè)原理通常稱為分離定理。190編輯ppt通常把反饋增益陣和觀測器一起稱為控制器圖9-20控制器191編輯ppt例9-25設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為希望用狀態(tài)反饋使閉環(huán)的極點(diǎn)為-4±6j，并求實(shí)現(xiàn)這個(gè)反饋的狀態(tài)觀測器，觀測器的極點(diǎn)設(shè)置在-10，-10。192編輯ppt解：

由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可知,其二階動態(tài)方程實(shí)現(xiàn)是可控且可觀的。為了設(shè)計(jì)觀測器方便，現(xiàn)取可觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)，即根據(jù)題意要求閉環(huán)特征方程為193編輯ppt令兩個(gè)特征式對應(yīng)的系數(shù)相等，可解出k1=2,k2=40。再求觀測器，根據(jù)極點(diǎn)的要求，期望多項(xiàng)式為令,使求狀態(tài)反饋k，令k=[k1k2]。求出狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式194編輯ppt與期望多項(xiàng)式相比,得到h1=100,h2=14?？捎?jì)算出觀測器方程為

由對象、狀態(tài)反饋和觀測器構(gòu)成的整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖如圖9-21所示。195編輯ppt圖9-21例9-25的反饋控制系統(tǒng)196編輯ppt（9-183）它在零初始條件的輸出§9-4有界輸入、有界輸出穩(wěn)定性設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為（9-182）令（9-184）則有式中g(shù)(t)為脈沖響應(yīng)函數(shù)。返回子目錄197編輯ppt傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系為定義若對于成立，稱h(t)有界。198編輯ppt系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為K是一個(gè)實(shí)的正數(shù)。