中國振動工程學會模態(tài)分析高級研修班講課資料模態(tài)分析理論基礎

會計學1中國振動工程學會模態(tài)分析高級研修班講課資料模態(tài)分析理論基礎

模態(tài)分析理論基礎是20世紀30年代機械阻抗與導納的概念上發(fā)展起來。吸取了振動理論、信號分析、數(shù)據(jù)處理、數(shù)理統(tǒng)計、自動控制理論的有關營養(yǎng)，形成一套獨特的理論。

模態(tài)分析的最終目標是識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動分析、振動故障診斷和預報、結(jié)構(gòu)動力特性的優(yōu)化設計提供依據(jù)。第1頁/共60頁

解析模態(tài)分析可用有限元計算實現(xiàn)，而試驗模態(tài)分析則是對結(jié)構(gòu)進行可測可控的動力學激勵，由激振力和響應的信號求得系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，再在頻域或轉(zhuǎn)到時域采用多種識別方法求出模態(tài)參數(shù)，得到結(jié)構(gòu)固有的動態(tài)特性，這些特性包括固有頻率、振型和阻尼比等。

模態(tài)分析定義為：將線性時不變系統(tǒng)振動微分方程組中的物理坐標變換為模態(tài)坐標，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標及模態(tài)參數(shù)描述的獨立方程，坐標變換的變換矩陣為振型矩陣，其每列即為各階振型。第2頁/共60頁

有限元分析軟件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在結(jié)構(gòu)設計中被普遍采用,但在設計中,由于計算模型和實際結(jié)構(gòu)的誤差,而且受到邊界條件很難準確確定的影響,特別是結(jié)構(gòu)的形狀和動態(tài)特性很復雜時，有限元簡化模型和計算的誤差較大。通過對結(jié)構(gòu)進行實驗模態(tài)分析，可以正確確定其動態(tài)特性，并利用動態(tài)實驗結(jié)果修改有限元模型，從而保證了在結(jié)構(gòu)響應、壽命預計、可靠性分析、振動與噪聲控制分析與預估以及優(yōu)化設計時獲得有效而正確的結(jié)果。第3頁/共60頁a.獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率,可避免共振現(xiàn)象的發(fā)生當外界激勵力的頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)發(fā)生共振現(xiàn)象。此時系統(tǒng)最大限度地從外界吸收能量，導致結(jié)構(gòu)過大有害振動。結(jié)構(gòu)設計人員要設法使結(jié)構(gòu)不工作在固有頻率環(huán)境中。相反，共振現(xiàn)象并非總是有害的：振動篩、粉末碾磨機、打夯機和滅蟲聲發(fā)射裝置等等就是共振現(xiàn)象的利用。結(jié)構(gòu)設計人員此時要設法使這種器械工作在固有頻率環(huán)境中，可以獲得最大能量利用率。試驗模態(tài)分析的典型應用第4頁/共60頁b.為了應用模態(tài)疊加法求結(jié)構(gòu)響應，確定動強度,和疲勞壽命

分析告訴我們?nèi)魏尉€性結(jié)構(gòu)在已知外激勵作用下他的響應是可以通過每個模態(tài)的響應迭加而成的。所以模態(tài)分析另一主要的應用是建立結(jié)構(gòu)動態(tài)響應的預測模型，為結(jié)構(gòu)的動強度設計及疲勞壽命的估計服務。c.載荷(外激勵)識別由激勵和模態(tài)參數(shù)預測響應的問題稱為動力學正問題，反之由響應和模態(tài)參數(shù)求激勵稱為反問題。原則上只要全部的各階模態(tài)參數(shù)都求得,由響應就可以求出外激勵（稱為載荷識別）。第5頁/共60頁d.振動與噪聲控制

既然結(jié)構(gòu)振動是各階振型響應的迭加，只要設法控制相關頻率附近的優(yōu)勢模態(tài)（改設計和加阻尼材料等或使用智能材料）就可以達到控制結(jié)構(gòu)振動的目的。對汽車車廂內(nèi)或室內(nèi)輻射噪聲的控制，道理也一樣。車廂座艙或室內(nèi)輻射噪聲與其結(jié)構(gòu)的振動特性（模態(tài)）關系密切，由于輻射噪聲是由結(jié)構(gòu)振動“輻射”出來的?？刂屏私Y(jié)構(gòu)的振動，也就是實現(xiàn)了輻射噪聲的控制。第6頁/共60頁e.為結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化設計提供目標函數(shù)或約束條件

動力學設計，即對主要承受動載荷而動特性又至關重要的結(jié)構(gòu)，以動態(tài)特性指標作為設計準則，對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設計。它既可在常規(guī)靜力設計的結(jié)構(gòu)上，運用優(yōu)化技術，對結(jié)構(gòu)的元件進行結(jié)構(gòu)動力修改；也可從滿足結(jié)構(gòu)動態(tài)性能指標出發(fā)，綜合考慮其它因素來確定結(jié)構(gòu)的形狀，乃至結(jié)構(gòu)的拓撲（布局設計、開孔、增刪元件）。動力學優(yōu)化設計就是在結(jié)構(gòu)總體設計階段就應對結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)提出要求，避免事后修補影響全局。f.有限元模性修正與確認

當今工程結(jié)構(gòu)計算采用最廣泛的計算模型就是有限元模型。再好的算法和軟件都是建立在理想的結(jié)構(gòu)物理參數(shù)和邊界條件假設上的。結(jié)構(gòu)有限元計算結(jié)果和試驗往往存在不小差距。此時在模態(tài)試驗可信的前提下，一般是以試驗結(jié)果來對有限元模型進行修正和確認。經(jīng)過修正和確認的有限元模型具有優(yōu)化概念下的與試驗結(jié)果最大的接近?？梢赃M一步用于后繼的響應、載荷和強度計算。第7頁/共60頁單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)分析粘性阻尼系統(tǒng)阻尼力（與振動速度成正比）：強迫振動方程及其解解的形式（s為復數(shù)）及拉氏變換：第8頁/共60頁自由振動阻尼比范圍（0－1）內(nèi)為欠阻尼無阻尼固有頻率實部：衰減因子，反映系統(tǒng)阻尼虛部：有阻尼系統(tǒng)的固有頻率

第9頁/共60頁第10頁/共60頁結(jié)構(gòu)阻尼（滯后阻尼）系統(tǒng)阻尼力：與位移成正比，相位比位移超前90度結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)運動方程及拉氏變換g—

為結(jié)構(gòu)阻尼比或結(jié)構(gòu)損耗因子第11頁/共60頁傳遞函數(shù)和頻率響應函數(shù)用實部和虛部表示與粘性阻尼系統(tǒng)相比頻響函數(shù)形式相同和相互置換即可得各自表達式（1＋jg）k—

復剛度第12頁/共60頁位移、速度和加速度傳遞函數(shù)位移、速度和加速度頻率響應函數(shù)三者之間的關系動剛度（位移阻抗）動柔度（位移導納）第13頁/共60頁質(zhì)量阻抗、阻尼阻抗、剛度阻抗（位移、速度、加速度）質(zhì)量導納、阻尼導納、剛度導納（位移、速度、加速度）左至右阻抗除，導納乘第14頁/共60頁單自由度頻響函數(shù)的特性曲線Bode圖(幅頻圖和相頻圖)幅頻圖:頻響函數(shù)的幅值與頻率的關系相頻圖:相位與頻率的關系第15頁/共60頁阻尼愈大，在固有頻率附近相位曲線的陡度越小

時曲線始點約為1/k，為彈簧的導納線；低頻時外力主要由彈簧力來平衡；時，產(chǎn)生共振，幅值為此時慣性力與彈簧力平衡，激勵力與阻尼力平衡時幅值下降，最后趨向于漸近線極值為0，高頻時系統(tǒng)激勵力主要由慣性力來平衡第16頁/共60頁實頻圖（結(jié)構(gòu)阻尼和粘滯阻尼）兩個極值點半功率帶寬半功率帶寬反映阻尼大小阻尼越大，半功率帶寬越大，反之亦然第17頁/共60頁虛頻圖以結(jié)構(gòu)阻尼為例：系統(tǒng)共振時虛部達到最大值系統(tǒng)共振時實部為零半功率點處的值半功率的概念是針對功率（而非幅值）而言，在半功率點處，虛部正好為其最大值的一半，但幅值卻為最大幅值的有效值。第18頁/共60頁Nyquist圖－頻響函數(shù)矢端軌跡圖結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)Nyquist圓（導納圓）》特點起始點(頻率為零)非原點，約在(1/k,-g/k)處，圓心坐標（0，-1/2kg）初相角為arctan(-g)圓的直徑為虛部最大值1/(kg)半徑為實部最大值1/(2kg)直徑處對應半功率帶寬兩個頻率點共振頻率點第19頁/共60頁粘滯阻尼系統(tǒng)Nyquist圖特點桃子形，阻尼比越小軌跡圓越大在固有頻率附近，曲線接近圓，仍可利用圓的特性第20頁/共60頁速度與加速度頻響函數(shù)特性曲線關系回顧幅頻圖第21頁/共60頁實頻圖與虛頻圖第22頁/共60頁Nyquist圖第23頁/共60頁不同激勵下頻響函數(shù)的表達式要點頻響函數(shù)反映系統(tǒng)輸入輸出之間的關系表示系統(tǒng)的固有特性線性范圍內(nèi)它與激勵的型式與大小無關在不同類型激勵力的作用下其表達形式常不相同簡諧激勵激勵力響應位移頻響函數(shù)第24頁/共60頁

周期激勵非正弦周期力，如方波、鋸齒波，周期為T響應的傅氏展開頻響函數(shù)（定義為各頻率點上的值）均包含幅值與相位兩個量第25頁/共60頁瞬態(tài)激勵一般瞬態(tài)輸入傅氏變換相應輸出傅氏變換相應頻響函數(shù)單位脈沖激勵頻響函數(shù)第26頁/共60頁隨機激勵輸入自相關函數(shù)輸入自功率譜密度輸入輸出互相關函數(shù)互功率譜密度函數(shù)頻響函數(shù)第27頁/共60頁多自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)分析兩類系統(tǒng)約束系統(tǒng)自由系統(tǒng)約束系統(tǒng)2自由度運動方程（無阻尼）傅氏變換第28頁/共60頁頻響函數(shù)矩陣原點頻響函數(shù)第i點的響應與第i點的激勵之間的頻響函數(shù)跨點頻響函數(shù)第i點的響應與第j點的激勵之間的頻響函數(shù)原點頻響函數(shù)特性原點頻響函數(shù)第29頁/共60頁曲線及特性兩個共振頻率點（對應于分母為零）一個反共振點（分子為零）

反共振是局部現(xiàn)象（僅僅振幅為零，因為此時頻響函數(shù)的其他項均不為零）。機架線第30頁/共60頁一般多自由度約束系統(tǒng)N自由度約束系統(tǒng)有N個共振頻率,（N－1）個反共振頻率對原點函數(shù)共振反共振交替出現(xiàn)對跨點頻響函數(shù)無此規(guī)律一般兩個距離遠的跨點出現(xiàn)反共振的機會比較近的跨點少機架線第31頁/共60頁自由系統(tǒng)兩自由度系統(tǒng)運動方程（無阻尼）頻響函數(shù)矩陣第32頁/共60頁曲線及特性時系統(tǒng)產(chǎn)生剛體運動零頻為剛體模態(tài)反共振點一個共振點高頻時以高階質(zhì)量線為漸進線，趨向于零零階等效質(zhì)量機架線第33頁/共60頁一般多自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線一般總結(jié)共振于反共振頻率滿足以下關系（如果有零頻則算第一階）機架線第34頁/共60頁多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析與模態(tài)參數(shù)（基本理論及方法）比例阻尼線定常系統(tǒng)物理坐標下的運動方程M、C、K均為N×N矩陣方程包含物理坐標為耦合方程第35頁/共60頁

傳遞函數(shù)和頻響函數(shù)矩陣

拉氏變換第36頁/共60頁

模態(tài)坐標下的運動方程-任意l點的響應為各階模態(tài)響應的線性組合振型矩陣（模態(tài)矩陣）第r階振型（模態(tài)向量)模態(tài)坐標-模態(tài)坐標下的運動方程第37頁/共60頁無阻尼自由振動特征方程全部模態(tài)第r階模態(tài)模態(tài)正交性主模態(tài)：各階模態(tài)主空間：各階模態(tài)向量所組成的空間主坐標：相應的模態(tài)坐標第r階模態(tài)的慣性力對第s階模態(tài)位移所做的功為零；或第r階模態(tài)的彈性力對第s階模態(tài)位移所做的功為零第38頁/共60頁

模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度-模態(tài)剛度

特定歸一化情況（模態(tài)質(zhì)量歸一)它們的具體值沒有太大的意義，取決于振型歸一化，這是因為振型只是振動形態(tài)，沒有振幅的意思。這三個振型（模態(tài)向量）是等價的

-模態(tài)質(zhì)量第39頁/共60頁0000

解偶后的運動方程第40頁/共60頁--比例阻尼系統(tǒng)運動方程比例阻尼模態(tài)阻尼M、K對稱，所以C也對稱，也具有正交性第41頁/共60頁解偶運動方程（模態(tài)坐標下）對第r階模態(tài)模態(tài)頻率、模態(tài)向量、模態(tài)質(zhì)量模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼總稱模態(tài)參數(shù)第42頁/共60頁多自由度系統(tǒng)實模態(tài)分析實模態(tài)條件各點振動相位差為零，或為180度與無阻尼和比例阻尼系統(tǒng)等價實模態(tài)下響應模態(tài)坐標物理坐標測點l的響應第43頁/共60頁單點激勵頻響函數(shù)單點p激勵l點響應測量l點與激勵點p之間的頻響函數(shù)頻響函數(shù)與激勵力大小無關第44頁/共60頁幾個概念等效剛度等效質(zhì)量等效質(zhì)量與等效剛度的關系等效剛度與測點與激勵點有關第45頁/共60頁計及剛體位移下的頻響函數(shù)剛體運動的頻響函數(shù)考慮剛體位移下的頻響函數(shù)第46頁/共60頁剩余柔度認為是與頻率無關的常數(shù)也可認為是頻率的線性函數(shù)模態(tài)截斷頻響函數(shù)的合成頻響函數(shù)為單個模態(tài)之疊加模態(tài)截斷只關心前幾階和十幾階模態(tài)忽略高階模態(tài)的影響所截模態(tài)數(shù)一般大于被分析模態(tài)數(shù)的兩倍頻響函數(shù)第47頁/共60頁多自由度系統(tǒng)復模態(tài)分析特點各點相位差不一定是0度或180度（與實模態(tài)不同）振型系數(shù)為復數(shù)結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼材料內(nèi)部阻尼滑移阻尼（接頭、螺釘、鉚釘、襯墊等）運動方程及拉氏變換R為結(jié)構(gòu)阻尼矩陣第48頁/共60頁傳遞函數(shù)和頻響函數(shù)矩陣一般表達特征解的正交性G為結(jié)構(gòu)損耗因子矩陣GK＝R(I＋jG)K為復剛度矩陣模態(tài)矩陣（振型矩陣）模態(tài)質(zhì)量矩陣、模態(tài)剛度矩陣都是復數(shù)第49頁/共60頁振型向量正則化頻響函數(shù)矩陣具體表達第50頁/共60頁一般粘性阻尼系統(tǒng)運動方程狀態(tài)向量和狀態(tài)方程阻尼矩陣不能在N維主空間解偶，需采用狀態(tài)空間法引入狀態(tài)向量狀態(tài)方程擴展為2N空間第51頁/共60頁自由振動特征方程方程特征值(2N個）特征向量2N維空間系統(tǒng)的復模態(tài)頻率和復振型向量，共軛成對第52頁/共60頁模態(tài)正交性矩陣表示第53頁/共60頁正交性矩陣表達第54頁/共60頁模態(tài)坐標下的解利用正交性解偶后的方程振型疊加解模態(tài)坐標t＝0時的模態(tài)坐標向量第55頁/共60頁l點的瞬時位移

第56頁/共60頁復模態(tài)特性復共軛特性特征值與特征向量均為復數(shù)，共軛成對，共2N個復模態(tài)的正交性復特征向量在2N維空間中正交；而實