高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)的應(yīng)用 新人教B版

學(xué)案10函數(shù)的應(yīng)用名師伴你行SANPINBOOK1.填填知學(xué)情課內(nèi)考點(diǎn)突破規(guī)律探究考綱解讀考向預(yù)測(cè)考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4名師伴你行SANPINBOOK2.返回目錄

考綱解讀函數(shù)模型及其應(yīng)用(1)了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含義.(2)了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用.名師伴你行SANPINBOOK3.返回目錄

1.新課標(biāo)下,重視了應(yīng)用問(wèn)題的探究,因而本部分內(nèi)容將是高考的重點(diǎn)內(nèi)容.2.以解答題為主,考查數(shù)學(xué)建模能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于中、高檔題，偶爾也會(huì)在選擇、填空題中考查.3.幾種增長(zhǎng)型的函數(shù)模型的應(yīng)用可能會(huì)成為高考的又一生長(zhǎng)點(diǎn).考向預(yù)測(cè)名師伴你行SANPINBOOK4.返回目錄

1.構(gòu)建函數(shù)模型的基本步驟不同的函數(shù)模型能夠刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界不同的變化規(guī)律,函數(shù)模型可以處理生產(chǎn)、生活、科技中很多實(shí)際問(wèn)題.解決應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟:（1）審題:弄清題意,分析條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,恰當(dāng)選擇模型;（2）建模:將文字語(yǔ)言、圖形（或數(shù)表）等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；名師伴你行SANPINBOOK5.返回目錄

（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原：將利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問(wèn)題的意義.2.常見(jiàn)的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)型y=kx+b;(2)反比例函數(shù)型y=(k≠0);(3)二次函數(shù)型y=ax2+bx+c(a≠0);(4)指數(shù)函數(shù)型y=N(1+p)x(增長(zhǎng)率問(wèn)題)(x>0);(5)對(duì)數(shù)函數(shù)型y=AlogaN+B(a>0且a≠1,N>0);(6)分段函數(shù)型.名師伴你行SANPINBOOK6.返回目錄

考點(diǎn)1二次函數(shù)模型如圖所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分別截取AE,AH,CG,CF都等于x,當(dāng)x為何值時(shí),四邊形EFGH的面積最大?并求出最大面積.名師伴你行SANPINBOOK7.返回目錄

【解析】設(shè)四邊形EFGH的面積為S,則S△AEH=S△CFG=x2,S△BEF=S△DGH=(a-x)(b-x),

【分析】依據(jù)圖形建立起四邊形EFGH的面積S關(guān)于自變量x的目標(biāo)函數(shù),然后利用解決二次函數(shù)的最值問(wèn)題求出S的最大值.名師伴你行SANPINBOOK8.由圖形知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0<x≤b}.若≤b,即a≤3b時(shí),則當(dāng)x=時(shí),S有最大值;若>b,即a>3b時(shí)，S(x)在(0,b］上是增函數(shù).此時(shí)當(dāng)x=b時(shí)，S有最大值為-2b-()2+=ab-b2.綜上可知，當(dāng)a≤3b時(shí)，x=時(shí)，四邊形面積Smax=,當(dāng)a>3b時(shí)，x=b時(shí)，四邊形面積Smax=ab-b2.返回目錄

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二次函數(shù)是我們比較熟悉的基本函數(shù),建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的最值,解決實(shí)際中的最優(yōu)化問(wèn)題,值得注意的是:一定要注意自變量的取值范圍,根據(jù)圖象的對(duì)稱軸與定義域在數(shù)軸上表示的區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解.名師伴你行SANPINBOOK10.某人定制了一批地磚,每塊地磚(如圖中(1)所示)是邊長(zhǎng)為0.4米的正方形ABCD,點(diǎn)E,F分別在邊BC和CD上,△CFE,△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成,制成△CFE,△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格之比依次為3:2:1.若將此種地磚按圖中(2)所示的形式鋪設(shè),能使中間的深色陰影部分組成四邊形EFGH.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK11.(1)求證:四邊形EFGH是正方形;(2)E,F在什么位置時(shí),定制這批地磚所需的材料的費(fèi)用最省?返回目錄

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(1)證明:圖(2)是由四塊圖(1)所示地磚繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的,△CFE為等腰直角三角形,∴四邊形EFGH是正方形.(2)設(shè)CE=x,則BE=0.4-x,每塊地磚的費(fèi)用為W,制成△CFE,△ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價(jià)格依次為3a,2a,a(元),W=x2·3a+×0.4×(0.4-x)×2a+〔0.16-x2-×0.4×(0.4-x)〕a=a(x2-0.2x+0.24)=a［(x-0.1)2+0.3］(0<x<0.4).由a>0,當(dāng)x=0.1時(shí),W有最小值,即總費(fèi)用最省.答:當(dāng)CE=CF=0.1米時(shí),總費(fèi)用最省.名師伴你行SANPINBOOK13.返回目錄

考點(diǎn)2分段函數(shù)型某市居民自來(lái)水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:每戶每月用水不超過(guò)4噸時(shí),每噸為1.80元,當(dāng)用水超過(guò)4噸時(shí),超過(guò)部分每噸3.00元.某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x（噸）.(1)求y關(guān)于x的函數(shù);(2)若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi).名師伴你行SANPINBOOK14.返回目錄

【分析】用水量的不同,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不同,甲、乙兩戶的用水量分別為5x,3x，需分段列函數(shù)式，根據(jù)所列的分段函數(shù)分析判斷共交水費(fèi)26.4元，甲、乙應(yīng)分別為多少.【解析】(1)當(dāng)甲的用水量不超過(guò)4噸時(shí),即5x≤4,乙的用水量也不超過(guò)4噸,y=1.8(5x+3x)=14.4x;當(dāng)甲的用水量超過(guò)4噸,乙的用水量不超過(guò)4噸,即3x≤4,且5x>4時(shí),y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.當(dāng)乙的用水量超過(guò)4噸,即3x>4時(shí),y=2×4×1.8+3×［(3x-4)+(5x-4)］=24x-9.6.名師伴你行SANPINBOOK15.返回目錄

14.4x,0≤x≤20.4x-4.8,<x≤24x-9.6,x>.(2)由于y=f(x)在各段區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)x∈[0,]時(shí),y≤f()<26.4;當(dāng)x∈(,]時(shí),y≤f()<26.4;當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲戶用水量為5x=7.5噸,付費(fèi)S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元);乙戶用水量為3x=4.5噸,付費(fèi)S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).所以y=名師伴你行SANPINBOOK16.

本題主要考查運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,考查分析問(wèn)題能力和數(shù)學(xué)思維能力.本題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想,在解題思維中蘊(yùn)含著分類(lèi)討論思想.返回目錄

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某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬(wàn)元,但每生產(chǎn)100臺(tái),需要加可變成本(即另增加投入)0.25萬(wàn)元.市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái),銷(xiāo)售的收入函數(shù)為R(x)=5x-(萬(wàn)元)(0≤x≤5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百臺(tái)).(1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù);(2)年產(chǎn)量是多少時(shí),工廠所得利潤(rùn)最大?(3)年產(chǎn)量是多少時(shí),工廠才不虧本?名師伴你行SANPINBOOK18.返回目錄

【解析】(1)當(dāng)x≤5時(shí),產(chǎn)品能售出x百臺(tái);當(dāng)x>5時(shí),只能售出5百臺(tái),故利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)=R(x)-C(x)(5x-)-(0.5+0.25x)(5×5)-(0.5+0.25x)4.75x--0.5(0≤x≤5)12-0.25x(x>5).【分析】對(duì)于一些較復(fù)雜的應(yīng)用題,有時(shí)僅構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型還不能解決根本問(wèn)題,需先后或同時(shí)構(gòu)造、利用幾個(gè)數(shù)學(xué)模型才可.==名師伴你行SANPINBOOK19.(2)當(dāng)0≤x≤5時(shí),L(x)=4.75x--0.5,當(dāng)x=4.75時(shí),L(x)max=10.78125萬(wàn)元.當(dāng)x>5時(shí),L(x)=12-0.25x為減函數(shù).此時(shí)L(x)<10.75(萬(wàn)元).∴生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)利潤(rùn)最大.0≤x≤5x>54.75x--0.5≥012-0.25x≥0,得x≥4.75-=0.1（百臺(tái))或5<x≤48(百臺(tái)).∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺(tái)至4800臺(tái)時(shí),工廠不虧本.返回目錄

(3)由或名師伴你行SANPINBOOK20.返回目錄

考點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)型1999年10月12日“世界60億人口日”，提出了“人類(lèi)對(duì)生育的選擇將決定世界未來(lái)”的主題，控制人口急劇增長(zhǎng)的緊迫任務(wù)擺在我們的面前.(1)世界人口在過(guò)去40年內(nèi)翻了一番,問(wèn)每年人口平均增長(zhǎng)率是多少?(2)我國(guó)人口在1998年底達(dá)到12.48億,若將人口平均增長(zhǎng)率控制在1%以內(nèi),我國(guó)人口在2008年底至多有多少億?名師伴你行SANPINBOOK21.以下數(shù)據(jù)供計(jì)算時(shí)使用:真數(shù)N1.0101.0151.0171.3102.000對(duì)數(shù)lgN0.00430.00650.00730.11730.3010真數(shù)N3.0005.00012.4813.1113.78對(duì)數(shù)lgN0.47710.69901.09621.11761.1392返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK22.返回目錄

【分析】增長(zhǎng)率問(wèn)題是指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)問(wèn)題，利用已知條件，列出函數(shù)模型.【解析】(1)設(shè)每年人口平均增長(zhǎng)率為x,n年前的人口數(shù)為y,則y·(1+x)n=60,則當(dāng)n=40時(shí),y=30,即30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2,兩邊取對(duì)數(shù),則40lg(1+x)=lg2,則lg(1+x)==0.007525,∴1+x≈1.017,得x=1.7%.名師伴你行SANPINBOOK23.(2)依題意,y≤12.48(1+1%)10,得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392,∴y≤13.78,故人口至多有13.78億.答:每年人口平均增長(zhǎng)率為1.7%,2008年底人口至多有13.78億.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK24.

此類(lèi)增長(zhǎng)率問(wèn)題,在實(shí)際問(wèn)題中常可以用指數(shù)函數(shù)模型y=N(1+p)x(其中N是基礎(chǔ)數(shù),p為增長(zhǎng)率,x為時(shí)間)和冪函數(shù)模型y=a(1+x)n(其中a為基礎(chǔ)數(shù),x為增長(zhǎng)率,n為時(shí)間)的形式.解題時(shí),往往用到對(duì)數(shù)運(yùn)算,要注意與已知表格中給定的值對(duì)應(yīng)求解.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK25.返回目錄

某工廠2006年生產(chǎn)某種產(chǎn)品2萬(wàn)件，計(jì)劃從2007年開(kāi)始每年比上一年增產(chǎn)20%，問(wèn)從哪年開(kāi)始這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過(guò)12萬(wàn)件（lg2=0.3010,lg3=0.4771）?名師伴你行SANPINBOOK26.設(shè)從2006年開(kāi)始x年后,這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過(guò)12萬(wàn)件，依題意，得2(1+20%)x-1>12,即1.2x-1>6.x>1+log1.26=1+=1+=1+=1+=1+=10.8,∴x≥11.故從2018年開(kāi)始,這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過(guò)12萬(wàn)件.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK27.［2010年高考湖北卷］為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式;(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,并求最小值.考點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)型返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK28.【分析】根據(jù)題意,利用C(0)=8求出k,利用導(dǎo)數(shù)求出最值.【解析】（1）設(shè)隔熱層厚度為xcm,由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)=，再由C(0)=8得k=40,因此C(x)=.而建造費(fèi)用為C1(x)=6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10).返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK29.(2)f′(x)=6-.令f′(x)=0,即=6,解得x=5或x=(舍去).當(dāng)0<x<5時(shí),f′(x)<0;當(dāng)5<x<10時(shí),f′(x)>0.故x=5是f(x)的最小值點(diǎn),對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)=6×5+=70.當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí),總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK30.返回目錄

求出k后,確定目標(biāo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出最值.名師伴你行SANPINBOOK31.某分公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為３元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（３≤a≤５）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（９≤x≤１１）時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為（１２－x）２萬(wàn)件.（1）求分公司一年的利潤(rùn)Ｌ（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出Ｌ的最大值Ｑ（a）.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK32.【解析】（１）分公司一年的利潤(rùn)Ｌ（萬(wàn)元）與售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為Ｌ＝（x-3-a）(12-x)2,x∈［９，１１］.（２）Ｌ′(x)＝（12－x）２－2（x-3－a）（12－x）＝（12－x）(18+2a-3x).令Ｌ′(x)＝０得x1＝６＋a或x2＝12（不合題意，舍去）.∵３≤a≤５，∴８≤６＋a≤.在x＝６＋a兩側(cè)Ｌ′(x)的值由正變負(fù)，∴（１）當(dāng)８≤６＋a＜９，即３≤a＜時(shí)，返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK33.Ｌmax＝Ｌ（9）＝（9-3-a）（12-9）2＝９（６－a）.（２）當(dāng)９≤６＋