高三數(shù)學第一輪復習 向量的線性運算 新人教B版

學案1向量的線性運算名師伴你行SANPINBOOK1.考點1考點2填填知學情課內(nèi)考點突破規(guī)律探究考綱解讀考向預測考點3考點4知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建名師伴你行SANPINBOOK2.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK3.考綱解讀

平面向量的實際背景及基本概念(1)了解向量的實際背景(2)理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義.(3)理解向量的幾何表示.向量的線性運算(1)掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.(2)掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義,理解兩個向量共線的含義.(3)了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK4.考向預測

主要考查向量的有關(guān)概念、運算法則、線線平行的條件和基本定理，以選擇題和填空題出現(xiàn)的可能性較大.對用向量解平面幾何問題涉及的可能性也較大.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK5.返回目錄

1.向量的基本概念(1)具有

和

的量稱為向量.(2)向量的表示方法:

、

.(3)相等向量:

且

的有向線段表示

,或相等向量.大小方向幾何表示法字母表示法同向等長同一向量6.返回目錄

(4)如果AB=a,那么AB的長度,叫做a的

,記作

或|AB|.(5)長度為

的向量,叫做零向量,記作

,零向量的方向

.(6)與

向量a同方向且長度等于

的向量,叫做a的單位向量,若a的單位向量為a0,則a0與a的關(guān)系是a0=

.(7)通過有向線段AB的直線,叫做向量AB的

.(8)如果向量的基線互相平行或重合,則稱這些向量

或

.模|a|零0不確定非零1基線平行共線7.返回目錄

2.向量的運算(1)向量的加法①已知向量a,b,在平面上任取一點A,作AB=a,BC=b,再作向量AC,則向量AC叫做

,記作

.②向量加法滿足交換律:a+b=

.結(jié)合律:(a+b)+c=

.③向量加法可以使用

法則、

法則(即首尾相接,連首尾).(2)向量的減法①相反向量:與a方向

且

的向量叫做a的相反向量,記作

.a與b的和(或和向量)a+bb+aa+(b+c)平行四邊形三角形相反等長-a8.返回目錄

②把兩個向量的起點放在一起,則兩向量的差是以

的終點為起點,

的終點為終點的向量.若共同起點是坐標原點,則差可簡記為:

向量減

向量.如圖.(3)向量數(shù)乘實數(shù)λ和向量a的乘積是個

向量,記作

,

的長|λa|=

.λa(a≠0)的方向當λ

0時,與a同方向當λ

0時,與a反方向;當λ=0或a=0時,0a=0或λ0=0(如圖).減向量被減向量終點起點一λaλa|λ||a|><9.λa中的實數(shù)λ,叫做

.向量數(shù)乘的幾何意義就是

.實數(shù)與向量的積的運算律:設(shè)λ,μ∈R,a,b是向量,則①(λ+μ)a=

;②λ(μa)=

;③λ(a+b)=

.提醒:(1)兩個向量的和仍是向量.(2)實數(shù)與向量不能進行加減法運算,如λ±a無法運算.返回目錄

向量a的系數(shù)把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小λa+μa(λμ)aλa+λb10.返回目錄

3.向量共線的條件平行向量基本定理:如果

,則a∥b;反之,如果a∥b,且b≠0,則一定存在唯一一個實數(shù)λ,使

.ba=λba=λ11.下列命題中：①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量AB與向量CD共線，則A,B,C,D四點共線；④如果a∥b,b∥c，那么a∥c.正確的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.0考點1向量的有關(guān)概念返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK12.【分析】正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵.注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反例即可.【解析】①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段；②不正確，若a與b中有一個為零向量時，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；④不正確，如b=0時，則a與c不一定共線.故應(yīng)選D.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK13.（1）向量是區(qū)別于數(shù)量的一種量，既有大小，又有方向，任意兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小.（2）由向量相等的定義可知，對于一個向量，只要不改變它的大小和方向，它是可以任意平行移動的，因此用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點，由此也可得到：任意一組平行向量都可以移到同一條直線上.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK14.判斷下列命題是否正確，并說明理由.（1）若向量a與b同向，且|a|>|b|,則a>b;（2）若向量|a|=|b|,則a與b的長度相等且方向相同或相反；（3）對于任意向量|a|=|b|,且a與b的方向相同，則a=b;（4）由于0方向不確定，故0不能與任意向量平行；（5）起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK15.【解析】（1）不正確.因為向量是不同于數(shù)量的一種量，它由兩個因素來確定，即大小與方向，所以兩個向量不能比較大小，故（1）不正確.（2）不正確.由|a|=|b|只能判斷兩向量長度相等，不能判斷方向.（3）正確.∵|a|=|b|,且a與b同向，由兩向量相等的條件可得a=b.（4）不正確.由零向量性質(zhì)可得0與任一向量平行，可知（4）不正確.（5）正確.對于一個向量只要不改變其大小與方向,是可以任意平行移動的.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK16.【分析】利用角平分線的性質(zhì)可解出AD與DB的關(guān)系，再利用向量的線性運算求解.考點2向量的線性表示［2010年高考大綱全國卷Ⅱ］在△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,則CD=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK17.【解析】如圖所示,∠1=∠2,∴∴∴CD=CB+BD=a+(b-a)=a+b.故應(yīng)選B.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK18.

用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧是:①觀察各向量的位置;②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形;③運用法則找關(guān)系;④化簡結(jié)果.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK19.如圖4-1-2，以向量OA=a,OB=b為邊作OADB,BM=BC,CN=CD,用a,b表示OM,ON,MN.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK20.∵BA=OA-OB=a-b,∴BM=BA=a-b.∴OM=OB+BM=b+a-b=a+b.又OD=a+b,∴ON=OC+CD=OD+OD=OD=a+b.∴MN=ON-OM=a+b-a-b=a-b.即有OM=a+b,ON=a+b,MN=a-b.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK21.設(shè)兩個非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求證:A,B,D三點共線;(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.

【分析】解決點共線或向量共線問題,就要根據(jù)兩向量共線的條件a=λb(b≠0).考點3向量的共線問題返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK22.【解析】(1)證明:∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.∴AB,BD共線,又∵它們有公共點B,∴A,B,D三點共線.(2)∵ka+b與a+kb共線,∴存在實數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共線的兩個非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK23.(1)由向量數(shù)乘運算的幾何意義知非零向量共線是指存在實數(shù)λ使兩向量能互相表示.(2)向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線時,通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,要注意待定系數(shù)法的運用和方程思想.(3)證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系,當兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK24.設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線.(1)如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求證:A,C,D三點共線;(2)如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且A,C,D三點共線,求k的值.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK25.(1)AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,AC=AB+BC=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-CD,∴AC與CD共線.又∵AC與CD有公共點C,∴A,C,D三點共線.(2)AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,∵A,C,D三點共線,∴AC與CD共線,從而存在實數(shù)λ使得AC=λCD,即3e1-2e2=λ(2e1-ke2),由平面向量基本定理,得3=2λ-2=-λk,解得λ=,k=.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK26.如圖4-1-3所示,在△ABO中,OC=OA,OD=OB,AD與BC相交于點M,設(shè)OA=a,OB=b.試用a和b表示向量OM.【分析】從題設(shè)及圖中可以看出,直接尋找OM與a,b之間的關(guān)系是很難行得通的.因此可先設(shè)OM=ma+nb,利用共線向量的知識及待定系數(shù)法求出m,n即可.考點4向量知識的綜合應(yīng)用返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK27.【解析】設(shè)OM=ma+nb,則AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.AD=OD-OA=OB-OA=-a+b.又∵A,M,D三點共線,∴AM與AD共線.∴存在實數(shù)t,使得AM=tAD,即(m-1)a+nb=t(-a+)b.∴(m-1)a+nb=-ta+tb.m-1=-tn=,消去t得m-1=-2n.∴返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK28.即m+2n=1.①又∵CM=OM-OC=ma+nb-a=(m-)a+nb,CB=OB-OC=b-a=-a+b.又∵C,M,B三點共線,∴CM與CB共線.∴存在實數(shù)t1,使得CM=t1CB,∴(m-)a+nb=t1(-a+b),m-=-t1n=t1,消去t1得4m+n=1.②由①②得m=,n=,∴OM=a+b.∴返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK29.在求一個向量用另外兩個向量線性表示時,一般有以下幾種方法:(1)根據(jù)圖形,由加減法的定義,可直接得出結(jié)論;(2)如果不易找出它們間的關(guān)系,可先設(shè)該向量可用另外兩個向量來線性表示,再利用共線向量定理,用待定系數(shù)法求出它們的系數(shù),即可得出結(jié)論.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK30.由①②，可得AP③O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足λ∈［0,+∞),則P點的軌跡一定通過△ABC的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心B(如圖，作向量AP.由向量加法知OP=OA+AP①由已知可得