計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)-z平面根軌跡法講解學(xué)習(xí)

計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)-Z平面根軌跡法Z平面根軌跡定義為：當(dāng)系統(tǒng)的某個(gè)參數(shù)（如開環(huán)增益)）由零到無窮大變化時(shí)，其閉環(huán)特征根的集合。該系統(tǒng)的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為

（1.1）將系統(tǒng)的開環(huán)Z傳遞函數(shù)寫成零極點(diǎn)形式

(1.2)式中和分別為開環(huán)零極點(diǎn)數(shù)，m為零點(diǎn)數(shù)，n為極點(diǎn)數(shù)，K為根軌跡增益。根據(jù)（1.1）特征方程式，根軌跡特征方程為即

上式可表示為模值方程和相角方程：

（1.3）

及

（1.4）其中（1.4）式?jīng)Q定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充分必要條件,而(1.3)式主要是確定根軌跡上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益值.根軌跡法是一種圖解法,在已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)分布的情況下,研究系統(tǒng)的某個(gè)參數(shù)變化時(shí),對(duì)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)分布的影響(閉環(huán)極點(diǎn)能決定系統(tǒng)的穩(wěn)定與否。)Z平面上根軌跡的特點(diǎn)：（1）Z平面極點(diǎn)的密集度很高（因?yàn)闊o限大的S左半平面映射到有限的單位圓內(nèi)），Z平面上2個(gè)很接近的極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)性能卻有較大的差別，因此，要求根軌跡的計(jì)算精度較高，如表1.1所示。（2）在S平面中，臨界放大系數(shù)是由根軌跡與虛軸的交點(diǎn)求得，Z平面的臨界放大系數(shù)則由根軌跡與單位圓的交點(diǎn)求得。（3）在離散系統(tǒng)中，只考慮閉環(huán)極點(diǎn)位置對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響是不夠的，還需考慮零點(diǎn)對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。S平面極點(diǎn)位置Z平面極點(diǎn)位置T=1T=0.1T=0.01T=0.0010.360.0000450.000045∠±139.5o0∠±45o0.9050.3680.368∠±86o0.000045∠±139.5o0.990.9050.905∠±8.6o0.368∠±85o0.9990.990.99∠±0.86o0.905∠±8.6o表1.1Z平面極點(diǎn)的密集度、

2.系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)和Z域極點(diǎn)位置的關(guān)系以二階系統(tǒng)為例（高階系統(tǒng)可近似二階系統(tǒng)）

(1.5)其特征根為其實(shí)部和虛部的絕對(duì)值分別為：

(1.6)

（1.7）動(dòng)態(tài)指標(biāo)單位階躍響應(yīng)：超調(diào)量：上升時(shí)間：峰值時(shí)間：調(diào)節(jié)時(shí)間（5%誤差帶）：(1.8)(1.9)(1.10)(1.11)(1.12)設(shè)計(jì)方法根據(jù)性能指標(biāo)（即、n等）完全可以確定S平面上主導(dǎo)極點(diǎn)位置范圍，進(jìn)而根據(jù)

確定Z平面極點(diǎn)位置的范圍。在Z平面上，有3條典型軌跡：等ξ線——對(duì)數(shù)螺旋線，等Re(s)線——同心圓，等Im(s)線——射線所包圍的區(qū)域，則應(yīng)滿足給定的動(dòng)態(tài)指標(biāo)要求。（1.13）等ξ線根據(jù)超調(diào)量σ%指標(biāo)要求，由式（1.9）式，可確定阻尼比ξ的值。在S平面，阻尼比相同的特征根軌跡是從原點(diǎn)出發(fā)的射線，且與負(fù)實(shí)軸的夾角為等ξ線映射至Z平面，則為對(duì)數(shù)螺旋線。（1.14）等Re(s)線根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間指標(biāo)要求，由式（1.12）,可得平面實(shí)部絕對(duì)值，映射至Z平面,其特征根的模應(yīng)為：

即為同心圓。等Im(s)線根據(jù)峰值時(shí)間或上升時(shí)間要求，均可求到S平面特征根的虛部（式(1.10)或式（1.11），映射至Z平面，其特征根相角則是通過原點(diǎn)的射線。設(shè)計(jì)思路根軌跡法實(shí)質(zhì)上是一種閉環(huán)極點(diǎn)的配置技術(shù)，也即通過反復(fù)試湊的辦法，設(shè)計(jì)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，使整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)配置在期望的位置上。設(shè)計(jì)步驟第1步根據(jù)給定的時(shí)域指標(biāo)，在Z平面畫出期望極點(diǎn)的允許范圍第2步設(shè)計(jì)數(shù)字控制器D(z)第3步進(jìn)行數(shù)字仿真驗(yàn)證，檢驗(yàn)閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)第4步在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)D(z)的算法第1步期望極點(diǎn)的允許范圍如前分析二階主導(dǎo)極點(diǎn)范圍的方法第2步設(shè)計(jì)數(shù)字控制器D(z)（a）求出組合對(duì)象脈沖傳遞函數(shù)，即（b）試探法確定控制器D(z)的結(jié)構(gòu)形式，常用的控制器有相位超前及相位滯后的一階形式，其脈沖傳遞函數(shù)為其中，zc為實(shí)零點(diǎn)

、pc為實(shí)極點(diǎn)

（1.15）（1.16）Kc選取若要求數(shù)字控制器不影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，則即零、極點(diǎn)關(guān)系z(mì)c>pc：相位超前控制器,又可稱為高通濾波器，這時(shí)Kc>1Zc<pc：是相位滯后控制器，又可稱為低通濾器，這時(shí)Kc<1它們與相應(yīng)的連續(xù)控制器的零、極點(diǎn)相對(duì)位置是一致的?？刂破髁?、極點(diǎn)分布圖示控制器的設(shè)計(jì)常用方法——零極點(diǎn)對(duì)消法用控制器的零極點(diǎn)對(duì)消控制對(duì)象不希望的極零點(diǎn)，從而使整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)具有滿意的品質(zhì)注意：不能用D(z)去對(duì)消對(duì)象在單位圓外、圓上以及接近單位圓的零極點(diǎn)，否則可能產(chǎn)生不穩(wěn)定現(xiàn)象。第3步進(jìn)行數(shù)字仿真驗(yàn)證即使將希望的閉環(huán)極點(diǎn)配置在允許域之內(nèi)，仍有可能出現(xiàn)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能不滿足指標(biāo)要求。這是因?yàn)殡x散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)多于對(duì)應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)，因?yàn)橄到y(tǒng)的性能還受零點(diǎn)的影響；所得極點(diǎn)范圍是按二階系統(tǒng)的品質(zhì)指標(biāo)近似繪制的。而實(shí)際系統(tǒng)經(jīng)常是高于二階的，高階系統(tǒng)的響應(yīng)盡管主要取決于它的一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)，但其他非主導(dǎo)極點(diǎn)也有一定的影響。設(shè)計(jì)例子某數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)，被控對(duì)象的傳遞函數(shù)是采樣周期T=0.2s,試設(shè)計(jì)一數(shù)字控制器,使系統(tǒng)滿足下列品質(zhì)指標(biāo):(a)超調(diào)量(b)上升時(shí)間(c)調(diào)節(jié)時(shí)間(d)靜態(tài)速度誤差系數(shù)（1.17）（1）期望的閉環(huán)極點(diǎn)允許范圍（2）設(shè)計(jì)數(shù)字控制器D(z)（1.18）

令D(z)=1，此時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中，根軌跡增益

畫出閉環(huán)根軌跡，系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡不能穿過允許域，因而不可能滿足動(dòng)態(tài)品質(zhì)要求。

第1次試探第