線性代數(shù) 線性方程組的基本概念

第四章線性方程組§4.1線性方程組的基本概念§4.2高斯(Gauss)消元法§4.3齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.4非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組的根本概念一、線性方程組的幾種表示形式二、線性方程組解的存在性與惟一性三、等價(jià)的線性方程組

下面將討論一般線性方程組。在第一章中，討論了方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等的而實(shí)際問題中，方程組的方程個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)不一定相等。一、線性方程組的幾種表示形式方程組，

需要探討的問題(1)方程組是否有解?(2)如果有解，是否惟一?(3)如何求解?其中為未知量，是第i個(gè)方程第j個(gè)未知量xj的系數(shù)，1.線性方程組的一般形式為常數(shù)項(xiàng)。若常數(shù)項(xiàng)不全為0，稱為非齊次線性方程組；定義否那么稱為齊次線性方程組(或者導(dǎo)出組)。一、線性方程組的幾種表示形式P109

P123

1.線性方程組的一般形式一、線性方程組的幾種表示形式稱為增廣矩陣。2.線性方程組的矩陣形式簡(jiǎn)記為A稱為系數(shù)矩陣，其中P1111.線性方程組的一般形式一、線性方程組的幾種表示形式2.線性方程組的矩陣形式3.線性方程組的向量形式令對(duì)于線性方程組則得到向量形式為即將右端項(xiàng)表示成系數(shù)陣的列向量的線性組合P1111.線性方程組解的存在性二、線性方程組解的存在性與惟一性線性方程組A

X=b有解的充要條件是定理證明必要性假設(shè)AX=b有解，則b可由線性表示，故向量組與等價(jià)，即得P112定理4.2(1)充分性1.線性方程組解的存在性二、線性方程組解的存在性與惟一性線性方程組A

X=b有解的充要條件是定理證明故b可由的線性表示，則的極大線性無關(guān)組也是若即得AX=b有解。的極大線性無關(guān)組，1.線性方程組解的存在性二、線性方程組解的存在性與惟一性2.線性方程組解的惟一性即AX=b的解是惟一的。設(shè)則A

X=b有惟一解。定理證明由知AX=b有解，即存在，使得(1)若則線性無關(guān)，故b只能由的惟一地線性表示，P112定理4.2(2)1.線性方程組解的存在性二、線性方程組解的存在性與惟一性2.線性方程組解的惟一性證明故AX=b的解不惟一。設(shè)則A

X=b有惟一解。定理(2)若線性相關(guān)，即存在不全為零的，使得可見也是AX=b的解，則1.線性方程組解的存在性二、線性方程組解的存在性與惟一性2.線性方程組解的惟一性對(duì)于線性方程組A

X=b，

有(線性方程組解的判定)綜合(2)當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解;(1)當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解;(3)當(dāng)時(shí)，方程組有無解。其中有非零解有非零解二、線性方程組解的存在性與惟一性3.關(guān)于齊次線性方程組的一些結(jié)論(3)假設(shè)m=n，即A為方陣，那么(1)一定有(零)解。那么必有非零解。(2)只有零解只有零解因?yàn)樘貏e，假設(shè)m＜n，即方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，補(bǔ)對(duì)于齊次線性方程組有如下結(jié)論：三、等價(jià)的線性方程組假設(shè)存在可逆矩陣P，使PA=B，那么線性方程組若兩個(gè)線性方程組同解，則稱它們等價(jià)。定義定理證明A

X=b與B

X=P

b等價(jià)(同解)。由由故線性方程組A

X=b與B

X=P

b等價(jià)。P111定義4.1P111定理4.1三、等價(jià)的線性方程組

定理