線性代數(shù) 線性方程組的基本概念

第四章線性方程組§4.1線性方程組的基本概念§4.2高斯(Gauss)消元法§4.3齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.4非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組的根本概念一、線性方程組的幾種表示形式二、線性方程組解的存在性與惟一性三、等價的線性方程組

下面將討論一般線性方程組。在第一章中，討論了方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相等的而實際問題中，方程組的方程個數(shù)與未知量的個數(shù)不一定相等。一、線性方程組的幾種表示形式方程組，

需要探討的問題(1)方程組是否有解?(2)如果有解，是否惟一?(3)如何求解?其中為未知量，是第i個方程第j個未知量xj的系數(shù)，1.線性方程組的一般形式為常數(shù)項。若常數(shù)項不全為0，稱為非齊次線性方程組；定義否那么稱為齊次線性方程組(或者導(dǎo)出組)。一、線性方程組的幾種表示形式P109

P123

1.線性方程組的一般形式一、線性方程組的幾種表示形式稱為增廣矩陣。2.線性方程組的矩陣形式簡記為A稱為系數(shù)矩陣，其中P1111.線性方程組的一般形式一、線性方程組的幾種表示形式2.線性方程組的矩陣形式3.線性方程組的向量形式令對于線性方程組則得到向量形式為即將右端項表示成系數(shù)陣的列向量的線性組合P1111.線性方程組解的存在性二、線性方程組解的存在性與惟一性線性方程組A

X=b有解的充要條件是定理證明必要性假設(shè)AX=b有解，則b可由線性表示，故向量組與等價，即得P112定理4.2(1)充分性1.線性方程組解的存在性二、線性方程組解的存在性與惟一性線性方程組A

X=b有解的充要條件是定理證明故b可由的線性表示，則的極大線性無關(guān)組也是若即得AX=b有解。的極大線性無關(guān)組，1.線性方程組解的存在性二、線性方程組解的存在性與惟一性2.線性方程組解的惟一性即AX=b的解是惟一的。設(shè)則A

X=b有惟一解。定理證明由知AX=b有解，即存在，使得(1)若則線性無關(guān)，故b只能由的惟一地線性表示，P112定理4.2(2)1.線性方程組解的存在性二、線性方程組解的存在性與惟一性2.線性方程組解的惟一性證明故AX=b的解不惟一。設(shè)則A

X=b有惟一解。定理(2)若線性相關(guān)，即存在不全為零的，使得可見也是AX=b的解，則1.線性方程組解的存在性二、線性方程組解的存在性與惟一性2.線性方程組解的惟一性對于線性方程組A

X=b，

有(線性方程組解的判定)綜合(2)當時，方程組有唯一解;(1)當時，方程組有無窮多解;(3)當時，方程組有無解。其中有非零解有非零解二、線性方程組解的存在性與惟一性3.關(guān)于齊次線性方程組的一些結(jié)論(3)假設(shè)m=n，即A為方陣，那么(1)一定有(零)解。那么必有非零解。(2)只有零解只有零解因為特別，假設(shè)m＜n，即方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)，補對于齊次線性方程組有如下結(jié)論：三、等價的線性方程組假設(shè)存在可逆矩陣P，使PA=B，那么線性方程組若兩個線性方程組同解，則稱它們等價。定義定理證明A

X=b與B

X=P

b等價(同解)。由由故線性方程組A

X=b與B

X=P

b等價。P111定義4.1P111定理4.1三、等價的線性方程組

定理