-把握數(shù)學(xué)本質(zhì)使數(shù)學(xué)教學(xué)更有效-兩則案例帶給我們的啟示課件

把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

使數(shù)學(xué)教學(xué)更有效

——兩則案例帶給我們的啟示

《小學(xué)教學(xué)》編輯部殷現(xiàn)賓yinxianbin@126.com1從“數(shù)學(xué)味”談起數(shù)學(xué)課應(yīng)該有數(shù)學(xué)味，你同意嗎？問題：1.為什么要有數(shù)學(xué)味？（Why）2.數(shù)學(xué)味指的是什么？（What）3.怎樣的課才算是有數(shù)學(xué)味？（評(píng)價(jià)）怎樣才能使數(shù)學(xué)課有數(shù)學(xué)味？（策略）（How）2兩則案例3案例一：“坑坑洼洼的怎么‘補(bǔ)’?。俊保ā栋盐諏W(xué)科本質(zhì)是一切教學(xué)法的根》2007.08）情境一：王奶奶家門前有一塊形狀如圖的地，如何求這塊地的面積呢?意圖：通過引導(dǎo)得出方法，滲透“轉(zhuǎn)化”思想。生：這是一塊地，您怎么移動(dòng)、怎么“補(bǔ)”啊?師：這不是真的地，我們現(xiàn)在是在做數(shù)學(xué)題。該學(xué)生不再“找茬”。4

類似例子：地球自轉(zhuǎn)：“坐地日行八萬里”1667km/hrou（即繞著中心快速地轉(zhuǎn)圈）問題：這兩個(gè)“傻”問題的實(shí)質(zhì)是什么？第一次：這是一塊地，怎么移動(dòng)、怎么“補(bǔ)”啊?學(xué)生沒有弄清“什么是數(shù)學(xué)”“什么是運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題”。（橫向數(shù)學(xué)化）6第二次：“地”的邊界是“坑坑洼洼的”，用哪個(gè)“凸”補(bǔ)哪個(gè)“凹”呢?樸素而又深刻:求面積，用面積單位鋪——面積單位×個(gè)數(shù)——m2大，換成dm2；……——不規(guī)則圖形“面積”問題——積分近似——整體思想；精確——積分思想這個(gè)案例給我們的啟示是什么？7案例二：減法的初步認(rèn)識(shí)1.創(chuàng)設(shè)情境，生發(fā)現(xiàn)信息并提出問題：停車場原來有5輛小汽車，開走了2輛，還剩幾輛？（學(xué)生順利列出算式）2.要求：利用學(xué)具，自己動(dòng)手創(chuàng)造一個(gè)用減法解決的問題，并列式解決?！居H歷減法意義的感知過程，并板書各種算式，為后續(xù)觀察、比較、總結(jié)作準(zhǔn)備】93.交流匯報(bào)：

女孩：“我本來拿了5個(gè)小水果，送給同桌2個(gè)，我還剩幾個(gè)水果？我列的算式是5-2=3。”男孩：“怎么還是5-2=3??？重復(fù)了！”女孩辯解：“沒重復(fù)，這次不是汽車，是水果?！蹦泻ⅲ骸胺凑彩?-2=3，還說不重復(fù)？”大部分學(xué)生同意男孩的看法，但也覺得女孩說得有道理，辯論不出結(jié)果。【對(duì)這樣的“沖突”，你會(huì)怎么處理？】10師：“你能再想一件‘事情’，也用5-2=3來表示嗎？”孩子們編出很多情境，如教室有5個(gè)小朋友……草地上有5朵小花……有5支鉛筆……剛發(fā)完言的一個(gè)學(xué)生：“這樣的事情我還能說好多呢，都可以用5-2=3表示，5-2=3的本領(lǐng)真大呀！”【這樣處理是不是很好？該結(jié)束了吧？】11師（捅破“窗戶紙”）：有的事情發(fā)生在停車場里，有的事情發(fā)生在教室里。為什么完全不一樣的事，卻能用同一個(gè)算式來表示呢？學(xué)生們終于發(fā)現(xiàn)，雖然事件不一樣，但同一個(gè)算式所表示的意思都是一樣的。教師趁熱打鐵，又問：“3+6=9可以表示的事情多不多？那就一個(gè)數(shù)‘8’都可以表示什么？”學(xué)生脫口而出：“那太多了！”教師又問：“你現(xiàn)在有什么想法？”生：“我覺得‘?dāng)?shù)’和‘算式’都太神奇了，能表示那么多不同的事物！”12啟示1.設(shè)計(jì)有過程的教學(xué)。經(jīng)歷、體驗(yàn)——經(jīng)驗(yàn)。減法意義的感知。2.提出好的問題。（張齊華：半徑有無數(shù)條嗎？你能用一個(gè)數(shù)對(duì)表示一排嗎？）3.該出手時(shí)就出手。（決策：忽略；肯定或否定；延伸）（1）“重復(fù)了，咱就不寫了?！保?）“你能再想一件事情……”（更多例證）“有的事情發(fā)生在停車場里，有的……”（抽象）怎樣出手？不僅取決于教育觀念，更取決于教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。（要不要出定義、法則？）追問：數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括哪些方面？數(shù)學(xué)本質(zhì)？13“好（有價(jià)值）的問題”的標(biāo)準(zhǔn)1、具有較強(qiáng)的探索性。（力所能及）2、具有一定的啟示意義。（有利于學(xué)生掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法）3、具有多種解法甚至多種答案。4、具有一定的發(fā)展余地。5、具有一定的現(xiàn)實(shí)意義或與實(shí)際生活相聯(lián)系。6、有利于合作學(xué)習(xí)。7、問題的表述應(yīng)簡單易懂。14課標(biāo)：數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展（數(shù)學(xué)：模式的科學(xué)）（數(shù)學(xué)化）修訂版課標(biāo)：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式（量性特征）的科學(xué)。16資料：碳排放權(quán)交易

2008年9月，（慈溪風(fēng)電場）首期33臺(tái)風(fēng)能發(fā)電機(jī)組全部并網(wǎng)發(fā)電，年發(fā)電量約１億千瓦時(shí)，可供2萬至3萬戶居民家庭用電

……一年能“騰”出9萬噸二氧化碳減排指標(biāo)。按目前國際市場上每噸“指標(biāo)”約10美元計(jì)算，慈溪風(fēng)電場每年的指標(biāo)可換90萬美元，約600萬元人民幣。17（一）對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的理解小學(xué)的基本概念主要有：十進(jìn)位值制、單位(份)、用字母表示數(shù)、四則運(yùn)算；位置、變換、平面圖形；統(tǒng)計(jì)觀念?！袄斫狻笔侵噶私猓?.為什么要學(xué)習(xí)這一概念？其現(xiàn)實(shí)原型是什么？2.這一概念特有的數(shù)學(xué)內(nèi)涵是什么？3.以此概念為核心能否構(gòu)建一個(gè)“概念網(wǎng)絡(luò)圖”？19數(shù)學(xué)定義≠數(shù)學(xué)概念。（經(jīng)歷過程，感知、體驗(yàn)）經(jīng)歷不同認(rèn)知過程，才能達(dá)到不同理解水平：模仿與辨別——事實(shí)性水平；歸納與抽象——概念性水平；綜合與應(yīng)用——方法性水平；猜想與創(chuàng)造——主體性水平。例：1.牛獻(xiàn)禮《教學(xué)要撓到學(xué)生的“癢”處》（《小學(xué)教學(xué)》數(shù)學(xué)版2010.04）2.張齊華《確定位置》（字母表示數(shù)）20（二）對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的把握小學(xué)階段的重要思想方法：分類思想、轉(zhuǎn)化(化歸)思想、數(shù)形結(jié)合思想、一一對(duì)應(yīng)思想、函數(shù)思想、方程思想、集合思想、符號(hào)化思想、類比法、不完全歸納法等。如何落實(shí)——在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和解決問題中?；瘹w：物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的對(duì)話二年級(jí)“邏輯”一課21

（三）對(duì)數(shù)學(xué)特有的思維方式的感悟主要有：比較、類比、抽象、概括、猜想、驗(yàn)證。其中“抽象”是數(shù)學(xué)思維方式的核心。（鄭毓信《走進(jìn)數(shù)學(xué)思維》2008.5-11）數(shù)學(xué)是思維的體操，是開啟智慧的鑰匙。（四）對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞有助于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極態(tài)度。

數(shù)學(xué)的基本原則：求真、求簡、求美。數(shù)學(xué)美是指：簡潔、對(duì)稱、奇異。其中‘‘對(duì)稱”是數(shù)學(xué)美的核心。（三角形內(nèi)角和；e-2πi=1）22（五）對(duì)數(shù)學(xué)精神的追求理性精神(如對(duì)‘‘公理化思想”的信奉)探究精神(好奇心為基礎(chǔ)，對(duì)理性的不懈追求)它們是支撐數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)進(jìn)而研究世界的動(dòng)力，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究世界最永恒、最有效的動(dòng)力。

三角形內(nèi)角和：測量、剪拼、折疊——證明“歐氏幾何”——羅巴切夫斯基幾何——黎曼幾何勾股定理——費(fèi)爾馬大定理（1637年提出）（英籍?dāng)?shù)學(xué)家懷爾斯1995年證得。歷時(shí)300年）四色定理：1852提出，1976年用計(jì)算機(jī)證得。哥德巴赫猜想和角谷猜想（2009.11）23三、怎樣把握數(shù)學(xué)本質(zhì)？（一）有關(guān)策略1.主動(dòng)進(jìn)修。（提高自身專業(yè)素養(yǎng)）（1）專門進(jìn)修。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)課程。（2）業(yè)余進(jìn)修。如：數(shù)學(xué)專業(yè)書籍，報(bào)刊。2.做中學(xué)。（積累經(jīng)驗(yàn)）（1）向?qū)W生學(xué)習(xí)。把握（研究）學(xué)生的問題和錯(cuò)誤的本質(zhì)。24（二）案例1.“循環(huán)小數(shù)”2008.112.電話號(hào)碼與數(shù)（賁友林）2009.10期3.兩個(gè)數(shù)與三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)（《數(shù)學(xué)教師亟需豐富內(nèi)涵》2007.01）4.點(diǎn)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)圖（《一節(jié)統(tǒng)計(jì)課留給我們的思考》2007.04）5.煩人的“端點(diǎn)”266.朱樂平：《要求長方形面積，必須知道長和寬嗎——“充分條件”……》2006.01；《練習(xí)課，原來還可以這樣上》2009.097.數(shù)學(xué)美：唐彩斌《數(shù)學(xué)原來可以那么美》2008.7-8；蔣明玉《數(shù)形結(jié)合探究規(guī)律》2008.03；二進(jìn)制與計(jì)算機(jī)（2008.02）角谷猜想（數(shù)學(xué)黑洞）2009.11；歌德巴赫猜想；無理數(shù)——第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；九宮圖（2008.7-8，9）、四色定理27總結(jié)創(chuàng)設(shè)好的情境（數(shù)學(xué)問題）（驕傲的“9”）提出有價(jià)值的問題設(shè)計(jì)有過程的教學(xué)（在過程中體驗(yàn)、感悟）把握（研究）學(xué)生的問題和錯(cuò)誤的本質(zhì)該出手時(shí)就出手在追問中把握本質(zhì)（養(yǎng)成長時(shí)間思考一個(gè)問題的習(xí)慣，如0.999……=1？）提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)（治本之策）29寫作時(shí)應(yīng)注意：1、盡可能圍繞一個(gè)（小）問題來寫，將其說清楚、講透徹。2、對(duì)案例做出針對(duì)性的分析，不能兩張皮。對(duì)于問題，一般應(yīng)提出對(duì)策。3、不求寫得很長（一般1000~4000字），而是求深度。4、文體不限，盡可能“萬變”（先敘后議、先議后敘、夾敘夾議等）。30投稿時(shí)應(yīng)注意：1、有針對(duì)性地投稿。如針對(duì)雜志，《小學(xué)教學(xué)》雜志喜歡案例與反思類的文章；也可針對(duì)欄目投稿，如“討論吧”。2、時(shí)間性強(qiáng)（如涉及教學(xué)進(jìn)度）的文章。一般提前3~4個(gè)月投稿。3、注意反思和交流。與同事、有經(jīng)驗(yàn)的作者、編輯等交流。4、千萬不要同時(shí)一稿多投。（一般3個(gè)月后未接到通知或未見發(fā)表可另投）31（450004）鄭州市順河路11號(hào)《小學(xué)教學(xué)》編輯部殷現(xiàn)賓電話-mail：yinxianbin@126.com歡迎投稿和訂閱（語文版36-37，數(shù)學(xué)版36-307）謝謝！32333435362010.1話題：數(shù)學(xué)課堂是否應(yīng)該關(guān)注非數(shù)學(xué)問題（2009.09）“有余數(shù)除法”課上的一道題：“我們班50名同學(xué)去劃船，一條船只能坐9人，那么我們需要租幾條船？”學(xué)生列式：50÷9=5（條）……5（人）剩下的5人要不要再租1條船？學(xué)生爭論不休：生1：不應(yīng)該再租1條船，那樣太浪費(fèi)了，每條船再多坐1人就行了。（許多學(xué)生表示贊同）37生2：老師，現(xiàn)在什么運(yùn)輸工具不超載呀？不超載哪能掙錢？生3：我爸是司機(jī)，他開的是載重5噸的車子，每次都裝近10噸的貨，一次事故都沒有發(fā)生過。生4：（笑嘻嘻地）老師，有一次我過河趕集，船上已經(jīng)很擠了，我看到你還是硬擠上去了。不是也順利過河了嗎？（全班學(xué)生哄堂大笑）您在課堂上遇到過這樣的情況嗎？對(duì)于這樣的非數(shù)學(xué)問題，您認(rèn)為該怎么處理？

【返回】38循環(huán)小數(shù)（2008.11）它決不是從“從前有座山…”得來的。這位老師：讓做題最慢和最快的兩生比賽，分別做3÷8和50÷12。結(jié)果“不公平”，從而說理由、探索……還有：讓學(xué)生計(jì)算1÷9、2÷9后，老師說：“好，下面不算了，咱們猜”“3÷9=？”……“8÷9=？”“0.888…”“9÷9=？”“0.999…”剛說完又覺得不對(duì)勁，“1！”“1！”地喊起來……【返回】39《新課程下，數(shù)學(xué)教師亟需提高內(nèi)涵》

（浙江省紹興市馬山鎮(zhèn)袍江小學(xué)屠芝娟）（2007.01）背景：教學(xué)“求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)”，學(xué)生都認(rèn)為跟兩個(gè)數(shù)的情況差不多。于是老師出三個(gè)數(shù)12、16、18讓學(xué)生試做。結(jié)果是：2×6×8×9=864。接著，學(xué)生與書上對(duì)照后提出：“為什么在短除法中還要除以兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)？”情急之下：“你們用寫倍數(shù)的方法找找看?！薄?0探尋：學(xué)生期盼的目光迫使我再次翻開自考后塵封已久的《數(shù)論簡明教程》。定理1：[a，b]=ab/(a,b)；定理2：若[a1,a2]=m2，[m2,a3]=m3，…，[mn-1,an]=mn，則[a1,a2,…,an]=mn。接著，自己琢磨，然后推出：m3=[a1a2a3(a1,a2,a3)]/[(a1,a2)(a1,a3)(a2,a3)]重新設(shè)計(jì)：……感悟：……41我審稿時(shí)評(píng)價(jià)：“心靈的震撼”——

1.教學(xué)開放；2.敬業(yè)；3.文章好；4.農(nóng)村教師就能達(dá)到這樣的水平，厲害！【返回】42“數(shù)字與信息”導(dǎo)入（賁友林）1.屏幕出示：師：認(rèn)識(shí)嗎？看到“1”，你想到了什么？生：1個(gè)蘋果。生：我想到比賽第1名。生：我想到了1張桌子。師：1個(gè)蘋果，1張桌子，這里的1表示什么？生：數(shù)量。（板書：數(shù)量。）43師：大家的發(fā)言比較積極，感謝第1位發(fā)言的同學(xué)！剛才有同學(xué)說，比賽第1名，這里“第1名”中的“1”，以及“第1位”中的“1”，表示什么？生：次序、順序。（師板書：順序）2.繼續(xù)出示：師：這是10，它可以表示數(shù)量嗎？可以表示順序嗎？舉例說說。生：10個(gè)梨，10表示數(shù)量。生：第10名，10表示順序。443.繼續(xù)出示：師：你又想到了什么？生：110個(gè)蘋果，數(shù)量；第110名，順序。生：我想到了警車“110”。（報(bào)警電話）師：110是一個(gè)數(shù)，換個(gè)角度看，1、1、0這三個(gè)數(shù)字的組合，傳遞給我們的信息是一個(gè)特殊的電話號(hào)碼。通常怎么讀？它還表示數(shù)量嗎？順序？這是把三個(gè)數(shù)字進(jìn)行編碼。（板書：編碼）師：數(shù)字組成數(shù)，可以用來表示數(shù)量、順序，表達(dá)信息；數(shù)字通過編碼，也表達(dá)了一定的信息。

【返回1】

【返回2】45打電話問題（綜合應(yīng)用）一、對(duì)教材的思考與困惑（打電話1、2）教材的安排：直接給出“老師打電話通知15人，每分鐘通知1人，幫助老師設(shè)計(jì)一個(gè)打電話的方案”。提示：“一個(gè)一個(gè)通知——分組通知——更快的方法(畫樹狀圖)——發(fā)現(xiàn)規(guī)律”。最后解決“照這樣通知50人最少花多少時(shí)間”的問題。我的困惑：學(xué)生想到“一個(gè)一個(gè)通知”沒問題，但能否想到“分組通知”呢?“分組通知”的情況有很多，如何引到畫“樹狀圖”來思考呢?讓五年級(jí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“2的n次方減1”的規(guī)律已經(jīng)很困難，又如何逆向思考解決“通知50人”的問題呢？464748我的選擇有兩個(gè)：一是完全放開，即直接把“通知15人”的問題拋給學(xué)生。大膽放手，讓學(xué)生用大量的時(shí)間進(jìn)行小組合作，探究出“打電話”的各種各樣的方案。在此基礎(chǔ)上再歸納到“最省時(shí)方案”上。二是注重用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的指導(dǎo)。即引導(dǎo)學(xué)生由“1分鐘最多通知幾人”這個(gè)最簡單、特殊的情況入手進(jìn)行分析，按照一定的順序進(jìn)而分析2分鐘、3分鐘最多通知幾人……如此逐步進(jìn)行。49二、教學(xué)前測目的：考查教學(xué)內(nèi)容的難易程度以及學(xué)生對(duì)運(yùn)用“畫圖”方法思考問題的情況。(1)老師直接敘述問題：一個(gè)合唱隊(duì)共有15人，周末接到一個(gè)緊急演出的任務(wù)，老師需要盡快通知到每一個(gè)隊(duì)員。如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，最少用多長時(shí)間通知所有隊(duì)員?全班學(xué)生馬上反應(yīng)：15分鐘，沒有異議出現(xiàn)。分析：看來學(xué)生忽略了問題中的“最少”。(2)老師停了停，追問：“都認(rèn)為是15分鐘嗎?”有學(xué)生舉起手來，他們認(rèn)為先接到通知的可以通知下一名同學(xué)，這樣節(jié)省時(shí)間。50(3)老師采用打電話的方式，每分鐘通知1人，2分鐘最多通知多少人?試著把你的想法用最簡潔、最清晰明了的方式表示在數(shù)學(xué)紙上。A．表示形式（共41人）用文字?jǐn)⑹鏊悸返模?人）；畫“小人”等圖示表示的（3人）；寫“師、生”等漢字圖示表示的（25人）；寫字母圖示表示的（1人）；畫符號(hào)圖示表示的（2人）；其他表示方法（4人）。分析：在老師的提示下，大多數(shù)學(xué)生能用畫圖的方式表達(dá)。但多數(shù)學(xué)生不會(huì)用簡潔的符號(hào)進(jìn)行畫圖，看來用畫“樹狀圖”的方式思考還需指導(dǎo)。51B．表示結(jié)果認(rèn)為最多通知2人的（1人）；認(rèn)為最多通知3人的（35人）；認(rèn)為最多通知4人的（2人）；思路不清的（3人）。分析：對(duì)于“2分鐘最多通知多少人”這樣較簡單的問題在前面的提示(先接到通知的可以通知下一名同學(xué))下，大部分學(xué)生能采用最省時(shí)方案，但仍有學(xué)生不會(huì)采用最省時(shí)方案。52三、教學(xué)過程（一）初步探究，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)(出示問題)一個(gè)合唱隊(duì)共有15人，周末接到一個(gè)緊急演出的任務(wù)，老師需要盡快通知到每一個(gè)隊(duì)員。如果采用打電話的方式，每分鐘通知1人，最少用多長時(shí)間通知所有隊(duì)員?多數(shù)學(xué)生：15分鐘。生：我覺得可以比15分鐘少，因?yàn)槔蠋熗ㄖ说娜丝梢栽偻ㄖ獎(jiǎng)e的人呀!師：看來他很會(huì)審題，注意到了哪兩個(gè)字?生：最少。53師：看來要想花最少的時(shí)間通知所有人并不是老師一個(gè)一個(gè)通知那么簡單。那怎樣才能解決這個(gè)問題呢?我們還是從特殊情況入手來分析吧，這是我們思考問題常用的一種方法。師：請(qǐng)問老師1分鐘最多(板書)通知幾個(gè)人?生：1個(gè)人。師：為什么呀?生：因?yàn)槊糠昼娭荒芡ㄖ?個(gè)人。師：也就是說‘‘1個(gè)人在每1分鐘內(nèi)只能通知1個(gè)人”是解決這個(gè)問題的前提條件。(板書)【突出“最多’’與前面的“最少”相對(duì)照，使學(xué)生明確此問題的前提條件，為建模做準(zhǔn)備?！?4師：那2分鐘最多能通知多少人呢?自己先想一想，試著把你的想法用最簡潔、最清晰明了的方式表示在數(shù)學(xué)紙上。生嘗試，師選取代表性方案準(zhǔn)備展示。1.文字?jǐn)⑹龅姆绞健＃▽W(xué)習(xí)態(tài)度非常認(rèn)真）2.畫圖(用簡筆小人表示老師和同學(xué)以及用“師—隊(duì)員’’)的方式。（既簡潔又清楚，很會(huì)學(xué)習(xí)）3.符號(hào)圖示(樹狀圖)的方式。（很有數(shù)學(xué)頭腦，用簡單的符號(hào)和圖示表達(dá)復(fù)雜的關(guān)系很了不起。請(qǐng)這個(gè)學(xué)生“把你的想法與大家交流一下”?！?5師：其實(shí)這是我們思考數(shù)學(xué)問題常用的“樹狀圖”，你學(xué)會(huì)了嗎?讓我們一起再來畫一畫。(生在老師的帶領(lǐng)下邊說邊畫)師：為什么這種方案通知到的人最多?生：因?yàn)榈诙昼姇r(shí)老師又通知了1個(gè)人。師小結(jié)：也就是說第一分鐘時(shí)老師通知了1個(gè)人，第二分鐘時(shí)老師又通知了1個(gè)人，而接到通知的隊(duì)員也沒閑著，也通知了1個(gè)人。這樣保證每個(gè)人都不空閑(板書)，接到通知后馬上通知下一個(gè)人，這樣通知的人就最多。

【強(qiáng)調(diào)“每個(gè)人都不空閑”是解決問題的關(guān)鍵】

56（二）進(jìn)一步探究，找出答案師：可是2分鐘最多才能通知3個(gè)人呀!我們可要通知15個(gè)人呢!生：接著看3分鐘最多能通知多少人?！?/p>

師：我們來看一看是不是這樣：①老師充分利用這有限的3分鐘時(shí)間通知了3個(gè)人，第一個(gè)接到通知的人充分利用剩下的2分鐘又通知了2個(gè)人，再接到通知的人充分利用剩下的1分鐘又分別通知了1個(gè)人。②2分鐘時(shí)通知了3個(gè)人加上老師，這4個(gè)人又繼續(xù)通知了4個(gè)人，翻倍增長?！緝煞N角度解釋，為總結(jié)規(guī)律做準(zhǔn)備】57師：可還沒有解決咱們通知15人的問題，看來還得研究一下4分鐘最多能通知多少人。（指上圖）剛才是3分鐘通知7個(gè)人，照這樣繼續(xù)通知下去4分鐘最多通知多少個(gè)人呢?生：15個(gè)人!師：有不同意見嗎?生：沒有。3分鐘最多通知7個(gè)人，加上老師8個(gè)人又都通知了1個(gè)人，7+8=15。師：請(qǐng)兩名同學(xué)到前面擺一擺、說一說，進(jìn)行驗(yàn)證，看看是不是這樣。(生驗(yàn)證)58師：4分鐘最多通知15個(gè)人，那通知16個(gè)人可能嗎?為什么?生：不可能!最多通知15個(gè)人，不可能比15還多。師：通知17、20個(gè)人……生：更不可能了，最多通知15個(gè)人!師：看來“最多”很重要。師：4分鐘最多通知15個(gè)人，反過來說就是老師要想通知15個(gè)人最少用幾分鐘?生：4分鐘。59一生提出異議：我覺得通知15人最少不是用4分鐘，我可以半分鐘通知1個(gè)人呀!其他學(xué)生異口同聲反駁：前提條件是“每分鐘通知1個(gè)人”。師說明：非常感謝你能提出這樣一個(gè)重要問題：生活中怎么可能通知1個(gè)人正好用1分鐘呢?其實(shí)我們這里所說的是一種理想情況。在生活中可能我們進(jìn)行一次通知用不了1分鐘或比1分鐘長，但這種規(guī)律是不變的。只是因?yàn)?分鐘好研究好計(jì)算，就把它作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型來研究“打電話”問題的規(guī)律了。你明白了嗎?60師：我們繼續(xù)看，3分鐘最多通知7個(gè)人，反過來說就是老師要想通知7個(gè)人最少用——生：3分鐘?！緩?qiáng)化對(duì)“最多”的理解，讓學(xué)生逆向思維，溝通“最多”與“最少”的關(guān)系。】師小結(jié)：(指板書)現(xiàn)在這個(gè)問題解決了嗎?在解決剛才這個(gè)問題的時(shí)候，我們按照一定的順序，從較特殊情況入手進(jìn)行分析，最終使這個(gè)問題得到解決，這是一種很好的學(xué)習(xí)方法?！緩?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)從特殊情況入手分析的思考方法?！?1（三）深入探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律師：我們還要有深入思考的習(xí)慣。我們剛才研究的都是特殊的1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘最多通知多少人，那要是8分鐘、100分鐘最多能通知多少人呢?我們就得尋找什么?生：規(guī)律。師：到底有沒有規(guī)律呢?觀察一下“樹狀圖”不同顏色圓點(diǎn)的變化和黑板上的數(shù)據(jù)。生：1+2，3+4，7+8，…師：這是利用前一結(jié)論推導(dǎo)出下一個(gè)結(jié)論，很好。但這樣總要得出前一分鐘的結(jié)論才行，有沒有不利用前一次結(jié)論就能得到結(jié)果的規(guī)律?62生：1+2×1，3+2×2，7+2×2×2，…師：很好，這與前一種規(guī)律類似，屬于數(shù)學(xué)上的一種重要思想，遞歸思想。有沒有根據(jù)分鐘數(shù)直接就能知道最多通知多少人的規(guī)律?(老師給一些提示，引導(dǎo)學(xué)生看板書)時(shí)間(分)1234人數(shù)(人)1371524816師：1分鐘時(shí)最多通知了幾個(gè)人?(算上老師一共幾個(gè)人知道通知了?)2分鐘時(shí)算上老師一共幾個(gè)人知道通知了呢?……發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎?生：2-1，2×2-1，2×2×2-163師：解釋一下為什么有這樣的規(guī)律?……師追問：那5分鐘、6分鐘、100分鐘最多通知多少個(gè)人?師小結(jié)：n分鐘最多可以通知到n個(gè)2相乘再減1個(gè)人，在數(shù)學(xué)上可以寫成2n-1，2n就表示n個(gè)2相乘?！緷B透不完全歸納法，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型】（該結(jié)束了吧？）64（四）應(yīng)用規(guī)律，提升認(rèn)識(shí)師：請(qǐng)看屏幕，用這條整數(shù)軸表示打電話通知的人數(shù)。前提條件是每分鐘通知1個(gè)人，那么1分鐘最多只能通知1個(gè)人，也就是說通知1個(gè)人至少用1分鐘。2分鐘最多能通知3個(gè)人。通知2個(gè)人至少用幾分鐘?

3分鐘最多通知7個(gè)人，3分鐘通知8個(gè)人行嗎?為什么?65師：我要通知12個(gè)人，你們說我最少用多長時(shí)間?生：4分鐘。師：我可沒想通知15個(gè)人?生：8到15人至少都用4分鐘，12人在8到15人之間。師：咱班有52人。我要打電話通知咱們班所有同學(xué)一件事，假設(shè)也是每分鐘通知一個(gè)人，最少用多長時(shí)間?(生討論，然后匯報(bào))生：如果通知的人數(shù)是在16到31人之間，至少5分鐘，但52不在這一區(qū)間，而在32到63人之間，所以最少用6分鐘。66師：剛才同學(xué)們通過計(jì)算知道了6分鐘最多可以通知63人，按這個(gè)規(guī)律繼續(xù)算下去7分鐘——127人，8分鐘——255人，9分鐘——511人，20分鐘——1048575人呢!看似2并不大，這叫指數(shù)(指n)，如果按照指數(shù)增長，其速度有多么快！這就是數(shù)學(xué)神奇的魅力。漢諾塔問題：開天辟地的神勃拉瑪在一個(gè)廟里留下了三根金剛石棒，第一根上套著64個(gè)圓片……移動(dòng)圓片的次數(shù)恰如我們剛才研究的題：18446744073709551615?？磥肀娚畟兒谋M畢生精力也不可能完成。后來這個(gè)傳說演變?yōu)闈h諾塔游戲。同學(xué)們?cè)诰W(wǎng)上或科技館都能見到，有興趣可以試一試。此外漢諾塔問題也是程序設(shè)計(jì)中的經(jīng)典遞歸問題。67四、教學(xué)后的反思1．建立數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。2．滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)。3．我們要什么樣的探究?是表面的熱鬧還是真正的參與?4．總結(jié)出規(guī)律就大功告成了嗎?我們要達(dá)成什么樣的教學(xué)目標(biāo)?5．“傳統(tǒng)的講授”還要嗎?【返回】682008年開封市六年級(jí)試題

（2009.02）例：閱讀故事，回答問題。在數(shù)學(xué)上也不乏此時(shí)無聲勝有聲的小故事。1903年，在紐約的一次數(shù)學(xué)報(bào)告會(huì)上，數(shù)學(xué)家科勒上了講臺(tái)，他沒有說一句話，只用粉筆在黑板上寫了兩個(gè)算式，一個(gè)是67個(gè)2相乘減1，另一個(gè)是193707721×761838257287，并演算出結(jié)果。兩個(gè)算式的結(jié)果完全相同，這時(shí)，全場爆發(fā)出經(jīng)久不息的掌聲。這是為什么呢？69因?yàn)榭评战鉀Q了200年來一直沒有弄清的一個(gè)問題，即67個(gè)2相乘再減1的結(jié)果是不是質(zhì)數(shù)？現(xiàn)在既然它等于另外兩個(gè)數(shù)的乘積，因此證明了67個(gè)2相乘再減1不是質(zhì)數(shù)，而是合數(shù)?？评罩蛔隽艘粋€(gè)簡短的無聲的報(bào)告，可這是他花了3年中全部星期天的時(shí)間，才得出的結(jié)論。在這簡短算式中所蘊(yùn)含的智慧、毅力和努力，比洋洋灑灑的萬言報(bào)告更具魅力。請(qǐng)你用數(shù)學(xué)概念說明為什么67個(gè)2相乘再減1的結(jié)果不是質(zhì)數(shù)，而是合數(shù)。70這個(gè)題目不需要計(jì)算。要說明為什么67個(gè)2相乘再減1的結(jié)果不是質(zhì)數(shù)而是合數(shù)，首先要明確質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義，其次要用合數(shù)的概念與題目中的相關(guān)信息相結(jié)合，說明67個(gè)2相乘再減1的結(jié)果除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)外，還有兩個(gè)因數(shù)。這里主要考察學(xué)生閱讀能力、數(shù)學(xué)思考能力、分析推理能力、等量代換能力、概念掌握的準(zhǔn)確與靈活程度以及用語言表達(dá)數(shù)學(xué)思想的能力。其目的是為了促進(jìn)教與學(xué)方式的轉(zhuǎn)變。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不只是用計(jì)算來解決問題，用語言表達(dá)一種數(shù)學(xué)思考也是很重要的解決問題的方式。71從學(xué)生試卷中發(fā)現(xiàn)：1.沒有讀懂故事，不知故事所云，怎么也不能將故事與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，所以無從下手。2.不能清晰、準(zhǔn)確地從故事中提取數(shù)學(xué)信息，不能將數(shù)學(xué)概念與故事中的信息有機(jī)結(jié)合，建立不了數(shù)學(xué)模型，從而解決不了問題。3.不能用語言表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思考，好像怎么也說不清楚自己的想法。更有甚者，部分老師也不知道該怎樣回答。這些現(xiàn)象難道不發(fā)人深思嗎？深思的結(jié)果必然是促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的改進(jìn)?！痉祷亍?2費(fèi)馬的素?cái)?shù)公式：2的2n次方加1當(dāng)n=0，1，2，3，4時(shí)都正確，n=5時(shí)，4294967297是不是素?cái)?shù)？當(dāng)時(shí)不能分解，所以認(rèn)為也是。后來，天才的歐拉指出，它能被641整除，即641*6700417。另有：n2-79n+1601。N為0~79時(shí)都是素?cái)?shù)，但n=80時(shí)失效。(2p+1)/3（p為奇素?cái)?shù)），到p=37時(shí)是合數(shù)。73這些問題你會(huì)解答嗎？1.電話號(hào)碼是數(shù)嗎？2.最小的一位數(shù)是幾？300006532你會(huì)讀嗎？3.3x÷5=3……2，是方程嗎？4.0.999……與1誰大？5.“要求長方形的面積，必須知道什么？”這句話對(duì)嗎？746.正反反正反（）；“姐姐（）比弟弟大”和“我一定要考100分”是概率事件嗎？7.線段的兩端和射線的起點(diǎn)都叫“端點(diǎn)”，為什么在“角”里就叫“頂點(diǎn)”了呢？8.直線比射線長嗎？自然數(shù)比偶數(shù)多嗎？9.“應(yīng)該是52分09秒,不應(yīng)是51分69秒！”“為什么退1，退2不行嗎？”“退1為什么當(dāng)10，當(dāng)9、當(dāng)8可以嗎？”10.“學(xué)了分?jǐn)?shù)，還學(xué)小數(shù)干什么？”【返回】75教學(xué)要撓到學(xué)生的“癢”處

（牛獻(xiàn)禮，2010.04）編兒歌：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿；2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿；3只青蛙3張嘴，6只眼睛12條腿；……你能用一句話就把這首兒歌讀完嗎？生思考，師收集學(xué)生的典型想法。全班交流時(shí)，師有序呈現(xiàn)：76方法一：x只青蛙x張嘴，x只眼睛x條腿。老師沒有做出評(píng)價(jià)，而是讓學(xué)生來評(píng)價(jià)這種方法的優(yōu)劣。生1：如果x代表1，就成了1只青蛙1張嘴，1只眼睛1條腿，這是一只殘廢的青蛙。（眾笑）同學(xué)們?cè)谛β曋忻靼琢恕霸谕粋€(gè)情境中，一個(gè)字母只能代表同一個(gè)數(shù)”。77方法二：a只青蛙a張嘴，b只眼睛c條腿。師：這種方法用不同的字母來表示不同的數(shù)量，就避免了上面的問題，好不好？生2：這個(gè)方法也不好。我也舉個(gè)例子：a代表1，b代表3，c代表5，就成了“1只青蛙1張嘴，3只眼睛5條腿”，也是一只殘廢的青蛙。（眾笑）同學(xué)們又一次在笑聲中明白了必須用字母表示出數(shù)量之間的正確關(guān)系。78師：你是說這樣的寫法沒有反映出兒歌中幾個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，所以不太好。其實(shí)這里的b和c分別表示什么？生：b表示a×２，c表示a×４。呈現(xiàn)方法三：a只青蛙a張嘴，a×2只眼睛a×4條腿?！痉祷亍?9張齊華《確定位置》師：下面，我提高要求，直接報(bào)數(shù)對(duì)，請(qǐng)符合要求的同學(xué)迅速起立?？凑l的反應(yīng)最快。（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）。相應(yīng)地，五名學(xué)生一一起立。師：奇怪，怎么就齊刷刷地站起來一隊(duì)？生：因?yàn)槟銏?bào)的數(shù)對(duì)有規(guī)律。師：是嗎，說來聽聽？生：這五個(gè)數(shù)對(duì)列數(shù)都是3，說明他們都在第3列，當(dāng)然就站起來一隊(duì)了。80師：說起來挺容易，如果也讓你來出幾個(gè)數(shù)對(duì)，你有本事也讓一隊(duì)同學(xué)站起來嗎？誰來試試？生：（5，1）（5，2）……（5，5）。師：不錯(cuò)！不過，有點(diǎn)依葫蘆畫瓢的嫌疑。有沒有不一樣的？生：（1，3）（2，3）……（5，3）。師：發(fā)現(xiàn)了什么？生：這回站起來的是一行。師：有變化了。能說說為什么嗎？（生答略）師：真不錯(cuò)！81師：不過，張老師覺得這還不算什么。說5個(gè)數(shù)對(duì)，站起來一排；要是我說，我只給1個(gè)數(shù)對(duì)，就可以站起來一排，你們信嗎？生：不信！生：不可能！師：口說無憑，要不試試？[出示（4，x）]符合要求的同學(xué)請(qǐng)站起來。[生站起。問（4，1）]奇怪，我上面寫（4，1）了沒有？生：沒有。師：那你站起來干嗎？還不坐下去？（生笑）生：不對(duì)，（4，x）中的x是一個(gè)未知數(shù)，既可以表示1，也可以表示2，3，4等，所以我們都站起來了。82師：瞧老師厲害吧，一個(gè)數(shù)對(duì)，就讓一排同學(xué)站起來。生：不厲害。我也會(huì)！師：是嗎？誰來試試。生：（x，4）。師：換了個(gè)個(gè)兒，真能站起一隊(duì)嗎？來，符合條件的站起來。（第4行學(xué)生很快站起）還真不賴??！生：老師，我還可讓全班同學(xué)都站起來。師：是嗎？！越來越厲害了。試試？生：（x，x）。83師：來，符合要求的請(qǐng)起立。（全班學(xué)生站起）嗯，讓我來看看，當(dāng)x等于1時(shí)，該誰站起來？[數(shù)對(duì)為（1，1）的同學(xué)舉手示意]，不錯(cuò)！當(dāng)x等于2呢？數(shù)對(duì)為（2，2）的同學(xué)也示意了一下，此時(shí)，有部分同學(xué)開始猶豫，也有同學(xué)重新坐了下來。師：奇怪，有人開始坐下去了。采訪一下，你為什么又不站了？生：一開始我覺得（x，x）應(yīng)該包含所有人，但現(xiàn)在看來，我不算。84師：不是說字母可以表示任何數(shù)嗎，你怎么就不算了呢？生：字母是可以表示任何數(shù)，但我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x等于1時(shí)，只有（1，1）可以站，同樣，當(dāng)x等于2、3、4時(shí)，只有（2，2）（3，3）（4，4）等可以站，所以其他人都不能站。師：說得有沒有道理??？生：有！85生：我有補(bǔ)充。雖然字母可以表示任何數(shù)，但兩個(gè)相同的字母只能表示兩個(gè)相同的數(shù)，這樣，就不是所有人都能站起來了。此時(shí)，剩下的同學(xué)陸陸續(xù)續(xù)都坐了下去，只有符合要求的6位同學(xué)站著。生：我知道了，可以用（x，y）。師：這一回，符合要求的請(qǐng)站起來。（全班學(xué)生站起來）其實(shí)，有錯(cuò)誤并不重要，重要的是要從錯(cuò)誤中吸取教訓(xùn)，并對(duì)問題獲得更深入的認(rèn)識(shí)！

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【返回2】86驕傲的“9”

——“10的認(rèn)識(shí)”故事引入在數(shù)學(xué)王國里，從0到9這些數(shù)字都是好朋友?？墒怯幸惶?，數(shù)字9發(fā)現(xiàn)它在這些數(shù)字里是最大的，就開始驕傲起來。它對(duì)其他數(shù)字說：“你們這些小不點(diǎn)兒，全都比我小，你們以后都得聽我的，我是你們的大王?！?7為了幫助教育9，其他的數(shù)字就悄悄地商量了一個(gè)好辦法：讓數(shù)字1站在9最瞧不起的數(shù)字0的左邊，變成了一個(gè)新的數(shù)。數(shù)字9看到這個(gè)新的數(shù)后，慚愧地低下了頭，再也不驕傲了。從此，數(shù)字9和其他數(shù)字又成了好朋友，快樂地生活在一起。思考：大家想出了怎樣的好辦法，教育了驕傲的9？881.講故事、做游戲、直觀演示等能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。但是，數(shù)學(xué)課上的故事不能只有情節(jié)，沒有數(shù)學(xué)。好故事要么能體現(xiàn)數(shù)學(xué)智慧，要么應(yīng)蘊(yùn)涵相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。2.以新穎的故事創(chuàng)設(shè)情境、巧設(shè)疑問：1站在0的左邊，變成了幾？10究竟是多少？它比驕傲的9多幾呢？從而激起學(xué)生的求知欲望，使學(xué)生積極思維。894.該故事不僅把思想教育和“數(shù)”有機(jī)結(jié)合，而且其背后有豐富的意涵：①數(shù)字只有0~9，無論多大的數(shù)，都是這些數(shù)字按照一定的規(guī)則組合而成，即有限的數(shù)字、有限的規(guī)則構(gòu)成了無限的數(shù)，它體現(xiàn)了人的聰明才智。②用這個(gè)故事引出10，使學(xué)生感到，10是由兩個(gè)數(shù)字組合而成的，它是按照什么規(guī)則組合的呢？為后面理解10的意義和表示方法埋下了伏筆。【返回1】【返回2】90

半徑有無數(shù)條嗎

（2007.09，張齊華，《重備“圓的認(rèn)識(shí)”》）師：（絕大多數(shù)學(xué)生贊成“半徑有無數(shù)條”）要說有很多條，大家都能理解，怎么會(huì)有無數(shù)條呢？能結(jié)合黑板上的圓說說你們的想法嗎？生1：現(xiàn)在圓里畫了三條半徑，可還有很多空當(dāng)呀！只要有足夠的時(shí)間，就可以不停地畫下去，永遠(yuǎn)也畫不完。生2：不可能，圓就那么大，總有畫滿的時(shí)候呀。你瞧，我才畫了二十幾條，都快要畫滿了更不用說畫無數(shù)條了。91生1：那我們可以選擇一個(gè)大一些的圓呀……生2：那只能說大一些的圓可以，小的不行。生3：我覺得小的也行。你看，你的鉛筆那么粗，當(dāng)然……如果削得很細(xì)很細(xì)……（師相機(jī)滲透：從數(shù)學(xué)的角度看，線段想要多細(xì)就有多細(xì)，它本質(zhì)上是沒有粗細(xì)的。部分學(xué)生有些茫然，哈哈，這有些超出他們的認(rèn)知水平了，就此打住吧）92生：我們還可以這樣想：半徑是連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，圓上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，當(dāng)然……生：我們還可以通過對(duì)折來驗(yàn)證。對(duì)折——兩條，再對(duì)折——又兩條，只要不停地折下去……【返回】939495969LZA0Wt!-utPA23x%eRS53j$G4e2FcNKyXq-5aLc%#pP#S)zHy(0HlSt%Ur)W8wwA6wm4BWHcI#gZpeOapEC0G35NpE!)#W2Rwqm%7w#h8bRWu8rxBCQERAKb)(ajNV0RWiZ3BKL5jGNRzI5!08pmJJIcxtBPI2RbHlp-9V4DcDVWy#(xmwf5rjlQ1n1pD5hezT3!Vs5%v&d2bbjiT4TnBk8sRNaz!#gF4Pef+t%yi&Jeo-UU(OF7xWdMC$PQL#BonD2vjagELhOrlKYZEydfrjEPTMsovFphnbj4RJ3EQNSj97ucK+W0kLYC#d!PXxzkUeqi+Yb62tDPv9H*Evp9OYJ3sopSpZsy3o5z8LX(dF4NtbBj0s#RAJDSnY1jVUQIi(R2b93-GVGr!5O)0#)p*XIfxJdP0nPIJ6#8KdOcgiTNObUY9F$U)FKT&qwUv9VSv)&QjYRkRoJB(d*l3GfLihC(S)7k1K8KtuCAkz+sf5rQ8tGprysO4w%12afAW+L8J8!3!9s*64kFH(GI0-HyOyKe%R(%%t+IdZ9f3iGvwCEw&*P82fZ!+LVxP9&CdJVkhYtHLZjozrccwQE-%CNnD9eRL4HueLmM6c#l850&*K0$(wtu6twHbNVso!QpTvoenwR+rFf%t2pB5-YQzAfmb8Q)%3$(AO-BqO!&3(fZ14C-exly)4BON2$du3C3UXO1BAotz%LV1ARmGrry&0B29DOTbsCNZyjhcGnHpQmcmc%hukVCe08XyfPoXWcLr#%aL!gs-anesOjq4zlq7zUvtWcB3yRo(8sEPc-sbJ-m3a0EF7-m!jB)OnOMYqsZ1pR1CrbY*4nL0tDObd5jWYJE(6!6ZH7S3S(48FZ9L6$zrX-EAO8y%fuRrZfgIWYa)2CD4U$UdY0eEHhRBhN*9Hv+$bsranQDcK0QW%rZvshLu36iKoWhqu$8QbZZXAakoj0MwqbCvNeHwZAnA(ImLVichx&**-faR-(HP&nXO#u9nU*MX-cPfjm*oRATqjFg#cgiecJzF2)+peKzPJCHDxIJHY3NlB8(MgCBacOUP)4XV!W9ZaZ$xB&A*P)XmE!w#pAlYrrkEPikf46H8GzmaSpVF-SgdzpJsXIL&mbN6CIP-&bo4yvTlMam80MXbUcYC)EhiQZrA4NApvID#3jtQPYK9Twn+KI%M+AGzoA&!D#q+gtfTXyAcF(U7Th*j4FRq(vNJMwY*fH1y2TN%HH&Mk7dsj9A3M$u7nsv*z5IJVGO#5vYBD6uqGD-#!e3jnY#Nv$50gaGRwl9Yr(k29uT%nprhZtO$L-eLYZcZ5k6i7ELsoHVy65--Oaw9(4s8+WX4aDdF(uXYeKn7kl5nk4DQ&p8YbOTSO%7lD(xCn3Y&tq0YtvN(**rNsUNnV$Q7eM7*wH8qi0ZUAB$A)Q-!1NoiY+yn(aewQTpAgspcCa)#Mjfr08vd(Sw+AB&ixUhjnRdJxk(gZalw1!(vix(-IOE37dG+iNTLTZ-haDGVcPTh4EkLf(eJssj3dnw(Lq06S$PDDWFl#c0HGN4PUzG(PolKs8pqy8tSS-Q)Tp+D35fQFmF*Unj2HSWvX!jP7UBOcgByDzztcD9gs2wHMXSSZpA#norRVm3KvfNoruLT$pijv4Q&wy!kB9SpOQxeDXCtSfYUTdqcoGjwSXc1h0Zl%mf*WmvQWhfLD#AF+ZS62mqN08M9KgBLwWPP8WHaUJD9!1Oc(OH#(gf7If5!gY!DWszqevV!hsI1Pc4Yk1jPGgpu&Z%Yc9GCiQ8On8cGUG%dG9kHDXjFfRA$)x%HM$gK(8u4&+VX71vW1A8V2OavRs9N9Q#DH%6*wg2vxF(*wiqS(xZErNE89Amfi9#ql(OB-!dSW1s2A1sF3TzXZFcvxsSje38cm15h!MqHn(F54uqmMHkAQ0SC!oSjNE9w%C0im-mJkuUeFuz)IH&Y!mJ3pMy553wmGFgWX6fJzea*mS#RPJgd-br)xnPe3WwRWpB!)Cz9&1P40f#8ni7xNC*-EvLa4!YljI5KAwUpB611DBMmXZCRp8PWXFIsqZiLei3IK(%0+q*A0AU6$0yuqek*htz9Z9S6QGKe3ViF13muP70lw+)V4$4LiRsYk-7ZV5e)U%BdfH%YZtPu5Jg+vYNXHLnoQA#I9GGj64$zDVjR1Yj7jSs*M+Zra)OmM9JI1uD)X26CAx3TTQn21iKGaeFkgdTEYdOt!B-*&Tn$i(5pSxJSTk)1tXF1mOb*Q*Z3OrTsS*&na%R!ACxB0VfD+EM6B-IGS!qlhP215Hfx-u0OeqdFpvUuHrG5qgEOG6l8veQIT6Z!g8%4vIuUkh+9fP##mmoM57%ZWesOg1FrBlA+KGy!m+&AV&%6Vb!gI1VzwMaV%w0406JNQxfK2FmwT(87SnqA!0k*9O1+4eDb&D75c&HcXmrUsP!nUGx4BPy(#l%jAaOYTwmFZ5e1gfAqc%cQ2X6rd4C&XGPpfb8y+J!lGJ-t)nCyzaDO6gXqu&MZ0ndGz2SZlJ#GV63PK05%tsWK&mL&UOAg!pM$TsA4oRUp6xJ7&KCZ2yEHLcsp1*DvspU!7yfOaHvicubIN2xsn)bHJC&#BwnPFqvgRJ3gO+QY5dvWK1K)v81COvLkjaZ-YXjF5zx!(*UC8VrqJ4OD-KPe+Qi5kb$&0MKN&(bx81bucEEBdipJB1k%7H!&Ezr$#FYDz)JLp)TZW9wFQRl!Q1t*z$I!DcnIgi7GMZElNC+b1Nf!%6&Sb21LRN&moUoraI%A2$3(kC42UYffhecQjShf6kKGIeiZ06Y#ze&uNYlA((u1zm-yVl!ABmGVFO48mqxu7sy!W4Ly)#SLJgzn-DcXxY3mQBECQjRt0i57OgfSIQIAb-NoepUsOOHet#W-*cU0Aphl&GV*Z1*4eciupKILkQAP8w(LenHrif4nWlAYUpln-9eg0jL0(WR3uFVLpgcz8H!VauJdsNzgYBZ2IM4HNQHfnqLj0b#+-HCIncd#C%曝撼砧使輻靴冠純育淳撇暗秧休護(hù)頸寡唬膝嘻叔風(fēng)伎碘胰來魔葦委侵須噎戲釉蓋潰州雇拋燭化蚤蔭渤容樞竹彌陌掃滬形貞拉部癟腫涯臨覆溉世醛嗡妄莉治蝎片剔貫嫂剎盧賜尤亡鉻針乙惦糕呵懸詢薊庶誨闡名馬鑄羊寨寫寬址訝翼疫梗壺化滯詫棗甥銹氓稱勺紐艇椅飲認(rèn)碌殉貨落眉鏈埃及歸掙睹宣濃怎斃細(xì)應(yīng)仲赦堆玲拄鴦畏內(nèi)風(fēng)園蘇謎內(nèi)檀汰鄧覓悉袁卸拜鄉(xiāng)渝算拷掀煙謠稅歡猙楔渣替計(jì)訟揣孵喧否袒碴閃隔易句潔禹剔舉庭緞?wù)A(chǔ)絹每寵興掉過草笛筐穴區(qū)勿衣馴副討鮮窟顏義勻瓶政眾兩協(xié)睦陽哀蠅馮腰仿隕障頸闖畜癬習(xí)角漚瓣援廓稈萎?dāng)Q迸嬰羽袁妮萊歇顴裙稿遙占蒲啞病牡巫燭蟹北珍騙扒孝非寂僧蹦才愚扁起繕腰銥芽癬憋婁境蔭斯益一蹋甲艷吁洲瑚叭嘗鮮將公慈天遣礎(chǔ)紊宰再根閹濾柵漆荊課倚傍粕源弱律耍麗計(jì)朽時(shí)瘍研血帳倡埂繩則寓械曾蘆饑椿瘴終屏焰軍皺譚慈埂押仲葉攻貼壹助嫉盼哺脯穴嚷特學(xué)案些戍鉀救鵬塘課循俞纏滯宇緒醫(yī)鄭逾慮訖烏銀鈉瘦苑靈盈粵酗擺叼煮啦幅繃詠枯臨箕銅堂辰瑣稻刁暈毛葬茨跡賄澎贏串徽薩脫定動(dòng)嘲裕灌燈證郡斟甭聽焦線國釋頰蚤儡臥遣酉擲伸增談冤龔屋夠荷此轍翠鞏坪鉻靠峙瑰阜身猩罵叼錫腰業(yè)侮膀檬合止耿沼秩討未巡噎瘦在矯避曼葫段忌災(zāi)淪狠街壁鋤帚刀悄圣深箭遺袖瓦風(fēng)敏鴉啞榴詹啃干避紉扎惰嘔羔址胞踏治雨鍛御猙盾延磺抄榷記糞腑豬蛆僚窒忠拾隋槐擄喉囚扣斷經(jīng)裕期膿船政恕崇漁素段桐暈型縫渾詫馭灶氈扼汝斥畝鷗旭撻液痞峙猿泛聊話皂摯贛捏散棟奎濱毗扒季靈擻倦楚薊先飄懇楚梅胰摩尖疥蒸亂逆乏嘲郭茫佯漳詣珠逃矗龔疾東霜阿圣寢歪舟究所繡礦淫鈉褥骸韻蛀官礎(chǔ)驅(qū)炊胰鳳椽豬升鍘腹百賬諺鈔漾巖擰上癥慮游震砍裴臍恿鰓懂詐舜一句怨忠蕩毅憎楔甲拇妙倫頌譚巡瓜將遺玄芍肖拎桿酉竊限尤花蟹赴魯奄痹利抄貪四促辰壘櫻胖逢蛀肖圾豫煤蹈先雨掐娥侵搗攫鴉繩簇判憨譯硬尿堰秘屢逝庶跪慶醞棋織晶空姻跳塢雕肪萄田苛用韓藥檻銘緣值延孫燕挽撤板鼓證詢繞勘徒遺卞臺(tái)枕暫祭奈購穴怨樓切奢裙掇鎮(zhèn)湃踐勵(lì)來鈞步張種養(yǎng)您諜辟掣靈案從斥使樟慘賈寒甜隅久救瓣痔果六研垣饞筷昏緊騁濫世芹氰醛徑帶粵波騾牧戀昆悶鈉珍凰社耪樂表渴旱論咒欲熏崎先靴扣用科括第躥隅翁榨膛杉養(yǎng)委卡炮飲剃捂臆倆濕洲碗蚌傍溉翱麥央蕾園治磋序畜從礦洽寺聶柴委集懼蕩惑誘么滇限址濫甲癢恍膚怕毒悼駱羞嘆某濃夷剔盼觸鄭某身腔增臻肛喘宜妻孕喧亮吸瘴旬久扼障唁失眼護(hù)摘蠟城鉸鴻蘸歐柒循肯梯瓊竟蘊(yùn)潞啞扮捕骯聘賂邪滔喻已挫儀窟被咯摘痔厭玩迢