2022-2023學(xué)年甘肅省慶陽(yáng)市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)

2022-2023學(xué)年甘肅省慶陽(yáng)市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________

一、單選題(20題)1.

2.

3.下列關(guān)系式中正確的有()。A.

B.

C.

D.

4.設(shè)y=e-5x，則dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx

5.

有()個(gè)間斷點(diǎn)。

A.1B.2C.3D.4

6.A.A.

B.

C.

D.

7.A.A.

B.

C.

D.

8.下列反常積分收斂的是（）。

A.

B.

C.

D.

9.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是

A.橢圓面B.圓錐面C.旋轉(zhuǎn)拋物面D.柱面

10.設(shè)區(qū)域D={(x，y)|-1≤x≤1，0≤y≤2}，（）.A.1B.2C.3D.4

11.

12.下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是（）

A.

B.

C.

D.

13.A.-1

B.1

C.

D.2

14.A.A.1/3B.3/4C.4/3D.3

15.交換二次積分次序等于()．A.A.

B.

C.

D.

16.微分方程y"-y=ex的一個(gè)特解應(yīng)具有的形式為(下列各式中α、b為常數(shù))。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

17.

18.A.

B.

C.

D.

19.A.A.3yx3y-1

B.yx3y-1

C.x3ylnx

D.3x3ylnx

20.A.1B.0C.2D.1/2

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.設(shè)區(qū)域D由y軸，y=x，y=1所圍成，則．

29.

30.

31.設(shè)f(x)在x=1處連續(xù)，=2，則=________。

32.

33.

34.

35.

36.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。

37.

38.設(shè)是收斂的，則后的取值范圍為_(kāi)_____．

39.設(shè)曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)平行于x軸，則該切線(xiàn)方程為．

40.

三、計(jì)算題(20題)41.

42.證明：

43.

44.將f(x)=e-2X展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)．

45.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無(wú)窮小量，則

46.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．

47.求微分方程的通解．

48.

49.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂，何時(shí)條件收斂，何時(shí)發(fā)散，其中常數(shù)a>0．

50.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

51.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當(dāng)p=10時(shí)，若價(jià)格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

52.

53.設(shè)拋物線(xiàn)Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B，在拋物線(xiàn)與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線(xiàn)段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x，面積為

S(x)．

(1)寫(xiě)出S(x)的表達(dá)式；

(2)求S(x)的最大值．

54.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線(xiàn)在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)l的方程．

55.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．

56.

57.

58.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．

59.求曲線(xiàn)在點(diǎn)(1，3)處的切線(xiàn)方程．

60.

四、解答題(10題)61.將f(x)=sin3x展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。

62.

63.

64.將周長(zhǎng)為12的矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)得一圓柱體，問(wèn)繞邊長(zhǎng)為多少的邊旋轉(zhuǎn)才能使圓柱體的體積最大?

65.

66.

67.

68.求∫xlnxdx。

69.

70.

五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.

的極大值是_________；極小值是________。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D

2.C

3.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的性質(zhì)．

由于x，x2都為連續(xù)函數(shù)，因此與都存在。又由于0＜x＜1時(shí)，x＞x2，因此

可知應(yīng)選B。

4.A

5.C

∵x=0，1，2，是f(x)的三個(gè)孤立間斷∴有3個(gè)間斷點(diǎn)。

6.C

7.Dy=cos3x，則y'=-sin3x*(3x)'=-3sin3x。因此選D。

8.D

9.C

10.D的值等于區(qū)域D的面積，D為邊長(zhǎng)為2的正方形面積為4，因此選D。

11.B

12.D

13.A

14.B

15.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為交換二次積分次序．

由所給二次積分可知積分區(qū)域D可以表示為

1≤y≤2，y≤x≤2，

交換積分次序后，D可以表示為

1≤x≤2，1≤y≤x，

故應(yīng)選B．

16.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根為r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由項(xiàng)f1(x)=ex，α=1是特征單根，故應(yīng)設(shè)定y*=αxex，因此選B。

17.D解析：

18.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為牛頓一萊布尼茨公式和定積分的換元法。因此選D。

19.D

20.C

21.e-1/2

22.1/(1-x)2

23.

24.

解析：

25.6．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為無(wú)窮小量階的比較．

26.

27.

28.1/2本題考查的知識(shí)點(diǎn)為計(jì)算二重積分．其積分區(qū)域如圖1-2陰影區(qū)域所示．

可利用二重積分的幾何意義或?qū)⒍胤e分化為二次積分解之．

解法1由二重積分的幾何意義可知表示積分區(qū)域D的面積，而區(qū)域D為等腰直角三角形，面積為1/2，因此．

解法2化為先對(duì)y積分，后對(duì)x積分的二次積分．

作平行于y軸的直線(xiàn)與區(qū)域D相交，沿y軸正向看，入口曲線(xiàn)為y=x，作為積分下限；出口曲線(xiàn)為y=1，作為積分上限，因此

x≤y≤1．

區(qū)域D在x軸上的投影最小值為x=0，最大值為x=1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化為先對(duì)x積分，后對(duì)Y積分的二次積分．

作平行于x軸的直線(xiàn)與區(qū)域D相交，沿x軸正向看，入口曲線(xiàn)為x=0，作為積分下限；出口曲線(xiàn)為x=y，作為積分上限，因此

0≤x≤y．

區(qū)域D在y軸上投影的最小值為y=0，最大值為y=1，因此

0≤y≤1．

可得知

29.

解析：

30.1本題考查了一階導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)。

31.由連續(xù)函數(shù)的充要條件知f(x)在x0處連續(xù)，則。

32.11解析：

33.2本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限的運(yùn)算．

34.

35.1/3

36.

37.

38.k＞1本題考查的知識(shí)點(diǎn)為廣義積分的收斂性．

由于存在，可知k＞1．

39.y＝f(1)．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)：－是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，二是求切線(xiàn)方程．

設(shè)切點(diǎn)為(x0，f(x0))，則曲線(xiàn)y＝f(x)過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)方程為

y－f(x0)＝f(x0)(x－x0)．

由題意可知x0＝1，且在(1，f(1))處曲線(xiàn)y＝f(x)的切線(xiàn)平行于x軸，因此應(yīng)有f(x0)＝0，故所求切線(xiàn)方程為

y—f(1)＝0．

本題中考生最常見(jiàn)的錯(cuò)誤為：將曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線(xiàn)方程寫(xiě)為

y－f(x0)＝f(x)(x－x0)

而導(dǎo)致錯(cuò)誤．本例中錯(cuò)誤地寫(xiě)為

y－f(1)＝f(x)(x－1)．

本例中由于f(x)為抽象函數(shù)，－些考生不習(xí)慣于寫(xiě)f(1)，有些人誤寫(xiě)切線(xiàn)方程為

y－1＝0．

40.0

41.

則

42.

43.

44.

45.由等價(jià)無(wú)窮小量的定義可知

46.

列表：

說(shuō)明

47.

48.

49.

50.解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

51.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％

52.

53.

54.

55.由二重積分物理意義知

56.

57.

58.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

注意

59.曲線(xiàn)方程為，點(diǎn)(1，3)在曲線(xiàn)上．

因此所求曲線(xiàn)方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)

(x0，fx0))處存在切線(xiàn)，且