導數(shù)概念(平均變化率)

高中選修１-１高二數(shù)學備課組任小勇3.1.1平均變化率問題情境

某市2004年3月18日、4月18日、4月20日的最高氣溫分別為3.5℃、18.6℃、33.4℃,氣溫曲線如圖所示:18.63.5o1323433.4t(d)T(oC)A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)氣溫曲線問題1哪一段時間氣溫變化得更“大”？

問題2哪一段時間氣溫變化得更“快”？

時間3月18日4月18日4月20日日最高氣溫3.5℃18.6℃33.4℃溫差15.1℃溫差14.8℃18.63.5o1323433.4t(d)T(oC)A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)氣溫曲線

t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210以3月18日作為第一天，溫度隨時間變化的圖象如左圖.問題1’問題2’圖中哪一段圖像更“陡峭”？如何量化圖像的“陡峭”程度？時間3月18日4月18日4月20日日最高氣溫3.5℃18.6℃33.4℃[問題1]

你能用數(shù)學語言來解釋BC段曲線的陡峭程度嗎？

t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)21018.63.5o1323433.4t(d)T(oC)A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)氣溫曲線yC-yBxC-xB化曲為直（1）僅考察

的大小，能否精確量化BC段陡峭的程度？（2）還必須考察什么量？（3）曲線上BC之間的一段幾乎成了直線，由此聯(lián)想到如何量化直線的傾斜程度？[問題２]如果將上述氣溫曲線看成是函數(shù)y=f(x)的圖象,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1，34]上的平均變化率為ACy=f(x)o134xyf(1)f(34)f(34)-f(1)34-1[問題3]在區(qū)間[1,x1]上的平均變化率為o134xyACy=f(x)x1f(x1)f(1)f(34)[問題3]在區(qū)間[x2，34]上的平均變化率為o1x234xyACy=f(x)x1f(x1)f(x2)f(1)f(34)

你能否歸納出“函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率”的一般性定義嗎？一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為

x0y建構(gòu)數(shù)學理論注意：不能脫離區(qū)間而言(2)平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者說曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化”．建構(gòu)數(shù)學理論(1)平均變化率的實質(zhì)就是:兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))連線的斜率.（以直代曲思想）（數(shù)形結(jié)合思想）“數(shù)離形時難直觀，形離數(shù)時難入微”——華羅庚定義理解[問題解決]

如圖，請分別計算氣溫在區(qū)間[1，32]和區(qū)間[32，34]上的平均變化率.o13234t(d)T(℃)18.63.533.4A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)氣溫曲線氣溫在區(qū)間[1，32]上的平均變化率約為0.5；氣溫在區(qū)間[32，34]上的平均變化率為7.4。平均變化率的“大小”與圖像的“陡峭”程度有什么關(guān)系？思考:變式探究向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量y與水深x的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖所示，那么水瓶的形狀…………()OxHyB例１水經(jīng)過虹吸管從容器甲流向容器乙,t秒后容器甲中水的體積V(t)=10×5-0.1t(單位:cm3）平均變化率的絕對值越大,則變化越快.（1）求第一個10s內(nèi)容器甲中體積V的平均變化率.（2）求第二個10s內(nèi)容器甲中體積V的平均變化率.數(shù)學應用乙甲１.負值代表了什么?２.哪個１０秒內(nèi)變化快?(1)求函數(shù)的增量Δy=f(x2)-f(x1)；(2)計算平均變化率.題后反思求函數(shù)的平均變化率的步驟:例2已知函數(shù)f(x)=x2,分別計算f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率：

（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001].

432.12.001（5）[0.9，1]；（6）[0.99，1]；（7）[0.999，1].變題:1.991.91.999課后思考:為什么趨近于2呢？2的幾何意義是什么？數(shù)學應用xyp13例3已知函數(shù)f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分別計算在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均變化率.

數(shù)學應用思考:一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[m,n]