單變量函數(shù)積分學1

第六章單變量函數(shù)積分學微分法:積分法:互逆運算不定積分

二、基本積分表三、不定積分的性質一、原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)不定積分的概念與性質一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1.

若在區(qū)間I

上定義的兩個函數(shù)F(x)及f(x)滿足在區(qū)間

I

上的一個原函數(shù).則稱F(x)為f(x)如引例中,的原函數(shù)有問題:1.在什么條件下,一個函數(shù)的原函數(shù)存在?2.若原函數(shù)存在,它如何表示?

定理1.

存在原函數(shù).初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)定理2.原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內.證:1)又知故它屬于函數(shù)族即定義2.在區(qū)間

I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中—積分號;—被積函數(shù);—被積表達式.—積分變量;若則(C為任意常數(shù))C

稱為積分常數(shù),不可丟!例如,記作不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線

.例1.

設曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(1,2),故有因此所求曲線為二、基本積分表從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k

為常數(shù))或或例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=三、不定積分的性質推論:

若則例5.求解:

原式例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=內容小結1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質?基本積分表2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法換元積分法第二類換元法第一類換元法基本思路設可導,則有一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)例1.

求解:

令則故原式

=注:

當時注意換回原變量例2.

求解:令則想到公式例3.

求想到解:(直接配元)常用的幾種配元形式:萬能湊冪法例4.

求解:

原式=例5.

求解:二、第二類換元法第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，例6.

求解:

令則∴原式例7.

求解:

令則∴原式說明:1.被積函數(shù)含有除采用三角采用雙曲代換消去根式,所得結果一致.或代換外,還可利用公式2.再補充兩個常用雙曲函數(shù)積分公式原式例8.

求解:

令則原式當

x<0時,類似可得同樣結果.小結:1.第二類換元法常見類型:令令令或令或令或2.常用基本積分公式的補充7)

分母中因子次數(shù)較高時,可試用倒代換

令第三節(jié)由導數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計算.分部積分法例1.

求解:

令則∴原式思考:

如何求提示:

令則原式例2.

求解:

令則原式=例3.

求解:

令則∴原式解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”的順序,前者為后者為例4.

求解:

令,則原式=反:反三角函數(shù)對:對數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)例5.

求解:

令,則原式=第四節(jié)

基本積分法:換元積分法;分部積分法

初等函數(shù)求導初等函數(shù)積分一、有理函數(shù)的積分二、三角函數(shù)有理式的積分舉例有理函數(shù)的積分本節(jié)內容:

直接積分法;一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時,為假分式;時,為真分式有理函數(shù)相除多項式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和例1.

將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法(2)用賦值法故(3)混合法原式=四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項積分例2.

求解:

已知例1(3)