初中二次函數(shù)知識點詳解及典型例題

知識點一、二次函數(shù)的概念和圖像特別注意a不為零特別注意a不為零一般地，如果特y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a豐0）,那么y叫做x的二次函數(shù)。y二ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a豐0）叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像b二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于x=-丁對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。2a拋物線的主要特征：有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。3、二次函數(shù)圖像的畫法五點法：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M,并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線y二ax2+bx+c與坐標(biāo)軸的交點：當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C,再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B,然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。知識點二、二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式有三種形式：口訣一般兩根三頂點（1）一般一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a豐0）（2）兩根當(dāng)拋物線y二ax2+bx+c與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程ax2+bx+c=0有實根x和x存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式ax2+bx+c二a（x-x）（x-x），二次函數(shù)1212y二ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)二a（x-x）（x-x）。如果沒有交點，則不能這樣表示。12a的絕對值越大，拋物線的開口越小。（3）二頂點頂點式：y=a（x-h）2+k（a,h,k是常數(shù)，a豐0）知識點三、二次函數(shù)的最值

b如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=—時,2a4ac-b2y=—TOC\o"1-5"\h\z最值4ab如果自變量的取值范圍是x<x<x，那么，首先要看-丁是否在自變量取值范圍x<x<x內(nèi),122a12b4ac-b2若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=-時，y“=；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x<x<x范2a最值4a12圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x二x時，y二ax2+bx+c,當(dāng)x二x2最大221時，y二ax2+bx+c；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x二x時，y二ax2+bx+c，最小111最大11當(dāng)x=x時，y=ax2+bx+c。2最小22知識點、二次函數(shù)的性質(zhì)知識點、二次函數(shù)的性質(zhì)1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a豐0）a>0a<0圖像L丿.\■/x0x性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；b一b（2）對稱軸是x=——，頂點坐標(biāo)是（—一，2a2a4ac-b2）（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；b一b（2）對稱軸是x=——-，頂點坐標(biāo)是（—^—，2a2a4ac-b2）4a'b（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)xv-時，y隨x2a的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，即當(dāng)4a'b（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)xv-時，y隨2ax的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)

bx>時，y隨x的增大而增大，簡記左減2a右增；b（4）拋物線有取低點，當(dāng)x=時，y有取小2a4ac-b2值，y=最小值4ab、x>時，y隨x的增大而減小，簡記左2a增右減；b（4）拋物線有最咼點，當(dāng)x=時，y有最2a4ac-b2大值，y=/最大值4a2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)'a豐0）中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上a<0時，拋物線開口向下bb與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=--2aC表示拋物線與y軸的交點坐標(biāo)：（0,C）3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)。因此一元二次方程中的A=b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點。當(dāng)A>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)A=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)A<0時，圖像與x軸沒有交點。知識點五中考二次函數(shù)壓軸題?？脊剑ū赜洷貢斫庥洃洠﹜<A1y<A如圖：點A坐標(biāo)為（X],y1）點B坐標(biāo)為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長度為忑HP22，二次函數(shù)圖象的平移

①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k，確定其頂點坐標(biāo)(h,k)；保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到(h,k)處，具體平移方法如下:向右(h>0)【或左(h<0)】平移向右(h>0)【或左(h<0)】平移Ikl個單位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移Ikl個單位計y=ax2+ky=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移Ikl個單位向右(h>0)【或左(h<0)】平移Ikl個單位向上(k>0)【或下(k<0)】平移Ikl個單位向右(h>0)【或左(h<0)】平移Ikl個單位y=a(x-h)2+k平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”.函數(shù)平移圖像大致位置規(guī)律(中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大-大很大幫助，可以大-大-節(jié)同省做左題的上時間加)特別記憶異右下減(必須理解記憶)說明①函數(shù)中ab值同號，圖像頂點在y軸左側(cè)同左，ab值異號，圖像頂點必在Y軸右側(cè)異右②向左向上移動為加左上加，向右向下移動為減右下減3、直線斜率：y-yb為直線在y軸上的截距4、直線方程:k二tana二1x-x214、①兩點由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩式：y—y—kx+b—(tana)x+b——21x(x—x)此公式有多種變形牢記1x—x121點斜y—yx二kx(x—x,斜截直線的斜截式方程，簡稱斜截式：y=kx+b(kM0)截距由直線在x軸和y軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：于+T=1ab--兩點點斜斜截截距牢記口訣---兩點斜截距

--兩點點斜斜截截距1，則有l(wèi)//1ok=k212125、設(shè)兩條直線分別為，［：y二kix+bil2:y=1，則有l(wèi)//1ok=k21212若l丄lok-k=-1=肛=肛o-yo+bvk2+16、點Pk-y（x0,y0）到直線y=kx+b（即：kx-y+b=O）的距離：d6、點Pk2+（-1）27、拋物線y二ax2+bx+c中，abc,的作用1)a決定開口方向及開口大小，這與y二ax2中的a完全一樣.1)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線bbx=—，故：①b=0時，對稱軸為y軸；②一>0(即a、b同號)時，對稱軸在y軸左側(cè);2aa③-<0(即a、b異號)時，對稱軸在y軸右側(cè).口訣同左異右ac的大小決定拋物線y=ax2+bx+c與y軸交點的位置.當(dāng)x=0時，y=c,??.拋物線y=ax2+bx+c與y軸有且只有一個交點(0,c)：c=0，拋物線經(jīng)過原點；c>0，與y軸交于正半軸;③c<0，與y軸交于負(fù)半軸.b以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則一<0.a二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣：二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵；開口、頂點和交點，它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關(guān)聯(lián)；頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標(biāo)最重要，一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸，縱標(biāo)函數(shù)最值見。若求對稱軸位置,符號反,一般、頂點、交點式，不同表達(dá)能互換。二次函數(shù)拋物線，選定需要三個點，a的正負(fù)開口判，c的大小y軸看，△的符號最簡便，x軸上數(shù)交點，a、b同號軸左邊拋物線平移a不變，頂點牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。關(guān)于x軸對稱y=ax2+bx+c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c；y=a(x-h)2+k關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=-a(x-h匕-k；關(guān)于y軸對稱y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；y=a(x-h)2+k關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k;關(guān)于原點對稱y=ax2+bx+c關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c；y=a(x-h)2+k關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y=-a(x+h)2-k關(guān)于頂點對稱b2y=ax2+bx+c關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx+c;2ay=a(x-h)2+k關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y=-a(x—h)2+k.關(guān)于點(m,n)對稱y=a(x—h)2+k關(guān)于點(m,n)對稱后，得到的解析式是y=—a(x+h—2m)2+2n—k根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此|a|永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式．二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵；開口、頂點和交點,它們確定圖象限；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關(guān)聯(lián)；頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標(biāo)最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸,縱標(biāo)函數(shù)最值見。若求對稱軸位置,符號反,一般、頂點、交點式，不同表達(dá)能互換。解一元二次不等式:首先化成一般式，構(gòu)造函數(shù)第二站。判別式值若非負(fù)，曲線橫軸有交點。a正開口它向上，大于零則取兩邊。代數(shù)式若小于零，解集交點數(shù)之間。方程若無實數(shù)根，口上大零解為全。小于零將沒有解，開口向下正相反。13.1用公式法解一元二次方程要用公式解方程，首先化成一般式。調(diào)整系數(shù)隨其后，使其成為最簡比。確定參數(shù)abc，計算方程判別式。判別式值與零比，有無實根便得知。有實根可套公式，沒有實根要告之。用常規(guī)配方法解一元二次方程：左未右已先分離，二系化“1”是其次。一系折半再平方，兩邊同加沒問題。左邊分解右合并，直接開方去解題。該種解法叫配方，解方程時多練習(xí)。用間接配方法解一元二次方程：已知未知先分離，因式分解是其次。調(diào)整系數(shù)等互反，和差積套恒等式。完全平方等常數(shù)，間接配方顯優(yōu)勢【注】恒等式解一元二次方程:方程沒有一次項，直接開方最理想。如果缺少常數(shù)項，因式分解沒商量。b、c相等都為零，等根是零不要忘。b、c同時不為零，因式分解或配方，也可直接套公式，因題而異擇良方。二次函數(shù):二次方程零換y,二次函數(shù)便出現(xiàn)。全體實數(shù)定義域，圖像叫做拋物線。拋物線有對稱軸，兩邊單調(diào)正相反。A定開口及大小，線軸交點叫頂點。頂點非高即最低。上低下高很顯眼。如果要畫拋物線，平移也可去描