初中二次函數知識點詳解及典型例題

知識點一、二次函數的概念和圖像特別注意a不為零特別注意a不為零一般地，如果特y=ax2+bx+c（a,b,c是常數，a豐0）,那么y叫做x的二次函數。y二ax2+bx+c（a,b,c是常數，a豐0）叫做二次函數的一般式。2、二次函數的圖像b二次函數的圖像是一條關于x=-丁對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。2a拋物線的主要特征：有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。3、二次函數圖像的畫法五點法：（1）先根據函數解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M,并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線y二ax2+bx+c與坐標軸的交點：當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C,再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數的圖像。當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B,然后順次連接五點，畫出二次函數的圖像。知識點二、二次函數的解析式二次函數的解析式有三種形式：口訣一般兩根三頂點（1）一般一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常數，a豐0）（2）兩根當拋物線y二ax2+bx+c與x軸有交點時，即對應二次好方程ax2+bx+c=0有實根x和x存在時，根據二次三項式的分解因式ax2+bx+c二a（x-x）（x-x），二次函數1212y二ax2+bx+c可轉化為兩根式y(tǒng)二a（x-x）（x-x）。如果沒有交點，則不能這樣表示。12a的絕對值越大，拋物線的開口越小。（3）二頂點頂點式：y=a（x-h）2+k（a,h,k是常數，a豐0）知識點三、二次函數的最值

b如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=—時,2a4ac-b2y=—TOC\o"1-5"\h\z最值4ab如果自變量的取值范圍是x<x<x，那么，首先要看-丁是否在自變量取值范圍x<x<x內,122a12b4ac-b2若在此范圍內，則當x=-時，y“=；若不在此范圍內，則需要考慮函數在x<x<x范2a最值4a12圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當x二x時，y二ax2+bx+c,當x二x2最大221時，y二ax2+bx+c；如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當x二x時，y二ax2+bx+c，最小111最大11當x=x時，y=ax2+bx+c。2最小22知識點、二次函數的性質知識點、二次函數的性質1、二次函數的性質函數二次函數y=ax2+bx+c（a,b,c是常數，a豐0）a>0a<0圖像L丿.\■/x0x性質（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；b一b（2）對稱軸是x=——，頂點坐標是（—一，2a2a4ac-b2）（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；b一b（2）對稱軸是x=——-，頂點坐標是（—^—，2a2a4ac-b2）4a'b（3）在對稱軸的左側，即當xv-時，y隨x2a的增大而減??；在對稱軸的右側，即當4a'b（3）在對稱軸的左側，即當xv-時，y隨2ax的增大而增大；在對稱軸的右側，即當

bx>時，y隨x的增大而增大，簡記左減2a右增；b（4）拋物線有取低點，當x=時，y有取小2a4ac-b2值，y=最小值4ab、x>時，y隨x的增大而減小，簡記左2a增右減；b（4）拋物線有最咼點，當x=時，y有最2a4ac-b2大值，y=/最大值4a2、二次函數y=ax2+bx+c（a,b,c是常數'a豐0）中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上a<0時，拋物線開口向下bb與對稱軸有關：對稱軸為x=--2aC表示拋物線與y軸的交點坐標：（0,C）3、二次函數與一元二次方程的關系一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標。因此一元二次方程中的A=b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點。當A>0時，圖像與x軸有兩個交點；當A=0時，圖像與x軸有一個交點；當A<0時，圖像與x軸沒有交點。知識點五中考二次函數壓軸題?？脊剑ū赜洷貢?，理解記憶）y<A1y<A如圖：點A坐標為（X],y1）點B坐標為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長度為忑HP22，二次函數圖象的平移

①將拋物線解析式轉化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k，確定其頂點坐標(h,k)；保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到(h,k)處，具體平移方法如下:向右(h>0)【或左(h<0)】平移向右(h>0)【或左(h<0)】平移Ikl個單位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移Ikl個單位計y=ax2+ky=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移Ikl個單位向右(h>0)【或左(h<0)】平移Ikl個單位向上(k>0)【或下(k<0)】平移Ikl個單位向右(h>0)【或左(h<0)】平移Ikl個單位y=a(x-h)2+k平移規(guī)律在原有函數的基礎上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”.函數平移圖像大致位置規(guī)律(中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大-大很大幫助，可以大-大-節(jié)同省做左題的上時間加)特別記憶異右下減(必須理解記憶)說明①函數中ab值同號，圖像頂點在y軸左側同左，ab值異號，圖像頂點必在Y軸右側異右②向左向上移動為加左上加，向右向下移動為減右下減3、直線斜率：y-yb為直線在y軸上的截距4、直線方程:k二tana二1x-x214、①兩點由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩式：y—y—kx+b—(tana)x+b——21x(x—x)此公式有多種變形牢記1x—x121點斜y—yx二kx(x—x,斜截直線的斜截式方程，簡稱斜截式：y=kx+b(kM0)截距由直線在x軸和y軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：于+T=1ab--兩點點斜斜截截距牢記口訣---兩點斜截距

--兩點點斜斜截截距1，則有l(wèi)//1ok=k212125、設兩條直線分別為，［：y二kix+bil2:y=1，則有l(wèi)//1ok=k21212若l丄lok-k=-1=肛=肛o-yo+bvk2+16、點Pk-y（x0,y0）到直線y=kx+b（即：kx-y+b=O）的距離：d6、點Pk2+（-1）27、拋物線y二ax2+bx+c中，abc,的作用1)a決定開口方向及開口大小，這與y二ax2中的a完全一樣.1)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線bbx=—，故：①b=0時，對稱軸為y軸；②一>0(即a、b同號)時，對稱軸在y軸左側;2aa③-<0(即a、b異號)時，對稱軸在y軸右側.口訣同左異右ac的大小決定拋物線y=ax2+bx+c與y軸交點的位置.當x=0時，y=c,??.拋物線y=ax2+bx+c與y軸有且只有一個交點(0,c)：c=0，拋物線經過原點；c>0，與y軸交于正半軸;③c<0，與y軸交于負半軸.b以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則一<0.a二次函數圖像與性質口訣：二次函數拋物線，圖象對稱是關鍵；開口、頂點和交點，它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關聯(lián)；頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標最重要，一般式配方它就現(xiàn)，橫標即為對稱軸，縱標函數最值見。若求對稱軸位置,符號反,一般、頂點、交點式，不同表達能互換。二次函數拋物線，選定需要三個點，a的正負開口判，c的大小y軸看，△的符號最簡便，x軸上數交點，a、b同號軸左邊拋物線平移a不變，頂點牽著圖象轉，三種形式可變換，配方法作用最關鍵。關于x軸對稱y=ax2+bx+c關于x軸對稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c；y=a(x-h)2+k關于x軸對稱后，得到的解析式是y=-a(x-h匕-k；關于y軸對稱y=ax2+bx+c關于y軸對稱后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；y=a(x-h)2+k關于y軸對稱后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k;關于原點對稱y=ax2+bx+c關于原點對稱后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c；y=a(x-h)2+k關于原點對稱后，得到的解析式是y=-a(x+h)2-k關于頂點對稱b2y=ax2+bx+c關于頂點對稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx+c;2ay=a(x-h)2+k關于頂點對稱后，得到的解析式是y=-a(x—h)2+k.關于點(m,n)對稱y=a(x—h)2+k關于點(m,n)對稱后，得到的解析式是y=—a(x+h—2m)2+2n—k根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此|a|永遠不變.求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線(或表達式已知的拋物線)的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向然后再寫出其對稱拋物線的表達式．二次函數圖像與性質口訣:二次函數拋物線，圖象對稱是關鍵；開口、頂點和交點,它們確定圖象限；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關聯(lián)；頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標即為對稱軸,縱標函數最值見。若求對稱軸位置,符號反,一般、頂點、交點式，不同表達能互換。解一元二次不等式:首先化成一般式，構造函數第二站。判別式值若非負，曲線橫軸有交點。a正開口它向上，大于零則取兩邊。代數式若小于零，解集交點數之間。方程若無實數根，口上大零解為全。小于零將沒有解，開口向下正相反。13.1用公式法解一元二次方程要用公式解方程，首先化成一般式。調整系數隨其后，使其成為最簡比。確定參數abc，計算方程判別式。判別式值與零比，有無實根便得知。有實根可套公式，沒有實根要告之。用常規(guī)配方法解一元二次方程：左未右已先分離，二系化“1”是其次。一系折半再平方，兩邊同加沒問題。左邊分解右合并，直接開方去解題。該種解法叫配方，解方程時多練習。用間接配方法解一元二次方程：已知未知先分離，因式分解是其次。調整系數等互反，和差積套恒等式。完全平方等常數，間接配方顯優(yōu)勢【注】恒等式解一元二次方程:方程沒有一次項，直接開方最理想。如果缺少常數項，因式分解沒商量。b、c相等都為零，等根是零不要忘。b、c同時不為零，因式分解或配方，也可直接套公式，因題而異擇良方。二次函數:二次方程零換y,二次函數便出現(xiàn)。全體實數定義域，圖像叫做拋物線。拋物線有對稱軸，兩邊單調正相反。A定開口及大小，線軸交點叫頂點。頂點非高即最低。上低下高很顯眼。如果要畫拋物線，平移也可去描