參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)

參數(shù)估計(jì)總體樣本算術(shù)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)量用來推斷總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量稱為估計(jì)量（estimator),其取值稱為估計(jì)值（estimate)。同一個(gè)參數(shù)可以有多個(gè)不同的估計(jì)量。參數(shù)是唯一的，但估計(jì)量（統(tǒng)計(jì)量）是隨機(jī)變量，取值是不確定的。

參數(shù)參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)基本概念和重要的基本方法,是指用樣本對(duì)總體分布中的未知參數(shù)做出的估計(jì),這種估計(jì)我們常見的有點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種.所謂點(diǎn)估計(jì),就是用樣本統(tǒng)計(jì)量確定總體參數(shù)的一個(gè)取值.評(píng)價(jià)估計(jì)優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)有無偏性、最小方差性、有效性等.點(diǎn)估計(jì)的方法有矩法、極大似然法.區(qū)間估計(jì)有置信度、可靠度和精確度的問題.對(duì)于一個(gè)總體,可以用一些參數(shù)來描述其表征,如數(shù)學(xué)期望、方差等.如果總體的某個(gè)參數(shù)未知,統(tǒng)計(jì)學(xué)提供了一些方法,它們可以用來估計(jì)未知參數(shù)介于哪個(gè)區(qū)間內(nèi).參數(shù)估計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中重要的內(nèi)容,也是計(jì)算量很大的問題.參數(shù)估計(jì)正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)的Matlab實(shí)現(xiàn)Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中，有專門計(jì)算總體均值、標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的函數(shù)。對(duì)于正態(tài)總體，命令是[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha)其中x為樣本（數(shù)組或矩陣），alpha為顯著性水平α（alpha缺省時(shí)設(shè)定為0.05），返回總體均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的點(diǎn)估計(jì)mu和sigma，及總體均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的區(qū)間估計(jì)muci和sigmaci。當(dāng)x為矩陣時(shí)，x的每一列作為一個(gè)樣本Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中還提供了一些具有特定分布總體的區(qū)間估計(jì)的命令，如expfit，poissfit，gamfit，你可以從這些字頭猜出它們用于哪個(gè)分布，具體用法參見幫助系統(tǒng)。例：從某廠生產(chǎn)的滾珠中隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得滾珠的直徑(單位：mm)如下15.1414.8115.1115.2615.0815.1715.1214.9515.0514.87若滾珠直徑滿服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ,σ未知。試求之并計(jì)算置信水平為90%的置信區(qū)間x=[15.1414.8115.1115.2615.0815.1715.1214.9515.0514.87];%定義樣本觀測(cè)值向量%調(diào)用normfit函數(shù)求正態(tài)總體參數(shù)的最大似然估計(jì)和置信區(qū)間%返回總體均值的最大似然估計(jì)muhat和90%置信區(qū)間muci，%還返回總體標(biāo)準(zhǔn)差的最大似然估計(jì)sigmahat和90%置信區(qū)間sigmaci[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,0.1)假設(shè)檢驗(yàn)實(shí)際中的假設(shè)檢驗(yàn)問題假設(shè)檢驗(yàn):事先作出關(guān)于總體參數(shù)、分布形式、相互關(guān)系等的命題（假設(shè)），然后通過樣本信息來判斷該命題是否成立（檢驗(yàn)）。產(chǎn)品自動(dòng)生產(chǎn)線工作是否正常？某種新生產(chǎn)方法是否會(huì)降低產(chǎn)品成本？治療某疾病的新藥是否比舊藥療效更高？廠商聲稱產(chǎn)品質(zhì)量符合標(biāo)準(zhǔn)，是否可信？……

案例美國勞工局公布的數(shù)字表明，1998年11月美國的平均失業(yè)時(shí)間為14.6周。在費(fèi)城市市長(zhǎng)的要求下進(jìn)行的一項(xiàng)研究調(diào)查了50名失業(yè)者，平均失業(yè)時(shí)間為15.54周。根據(jù)調(diào)查結(jié)果能否認(rèn)為費(fèi)城的平均失業(yè)時(shí)間高于全國平均水平？澳大利亞統(tǒng)計(jì)局公布的2003年第一季度失業(yè)率為6.1%。而RoyMorgan公司在調(diào)查了14656名14歲以上的居民以后得到的失業(yè)率為7.8%。你認(rèn)為RoyMorgan的結(jié)果顯著高于統(tǒng)計(jì)局的數(shù)字嗎？

假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理利用假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)行推斷的基本原理是：小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生。如果對(duì)總體的某種假設(shè)是真實(shí)的（例如學(xué)生上課平均出勤率≥95%），那么不利于或不能支持這一假設(shè)的事件A（小概率事件，例如樣本出勤率=55%）在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生的；要是在一次試驗(yàn)中A竟然發(fā)生了（樣本出勤率=55%），就有理由懷疑該假設(shè)的真實(shí)性，拒絕提出的假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)的步驟根據(jù)實(shí)際問題提出一對(duì)假設(shè)（零假設(shè)和備擇假設(shè)）；構(gòu)造某個(gè)適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并確定其在零假設(shè)成立時(shí)的分布；根據(jù)觀測(cè)的樣本計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；根據(jù)犯第一類錯(cuò)誤的損失規(guī)定顯著性水平；確定決策規(guī)則：根據(jù)確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值并進(jìn)而給出拒絕域，或者計(jì)算p值等；下結(jié)論：根據(jù)決策規(guī)則得出拒絕或不能拒絕零假設(shè)的結(jié)論。注意“不能拒絕零假設(shè)”不同于“接受零假設(shè)”。1、零假設(shè)和備擇假設(shè)的選擇零假設(shè)和備擇假設(shè)是互斥的，它們中僅有一個(gè)正確；等號(hào)必須出現(xiàn)在零假設(shè)中；最常用的有三種情況：雙側(cè)檢驗(yàn)、左側(cè)檢驗(yàn)和右側(cè)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)以“假定零假設(shè)為真”開始，如果得到矛盾說明備擇假設(shè)正確。雙側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)H0m=m0m

m0m

m0H1m≠m0m<m0m>m0單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)零假設(shè)和備擇假設(shè)的選擇通常把研究者要證明的假設(shè)作為備擇假設(shè)；將所作出的聲明作為原假設(shè)；把現(xiàn)狀（StatusQuo）作為原假設(shè)；把不能輕易否定的假設(shè)作為原假設(shè)；——不輕易否定現(xiàn)狀！零假設(shè)和備擇假設(shè)：

把研究者要證明的假設(shè)作為備擇假設(shè)某種汽車原來平均每加侖汽油可以行駛24英里。研究小組提出了一種新工藝來提高每加侖汽油的行駛里程。為了檢驗(yàn)新的工藝是否有效需要生產(chǎn)了一些產(chǎn)品進(jìn)行測(cè)試。該測(cè)試中的零假設(shè)和備擇假設(shè)該如何選??？要證明的結(jié)論是>24，因此零假設(shè)和備擇假設(shè)的選擇為：

24>24零假設(shè)和備擇假設(shè)：檢驗(yàn)一種聲明是否正確某種減肥產(chǎn)品的廣告中聲稱使用其產(chǎn)品平均每周可減輕體重8公斤以上。要檢驗(yàn)這種聲明是否正確你會(huì)如何設(shè)定零假設(shè)和備擇假設(shè)？沒有充分的證據(jù)不能輕易否定廠家的聲明，因此一般將所作出的聲明作為原假設(shè)。零假設(shè)和備擇假設(shè)的一般選擇為：

≥8<82檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和拒絕域檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：我們用來決策（拒絕或不能拒絕零假設(shè)）時(shí)依據(jù)的樣本統(tǒng)計(jì)量。不同的總體參數(shù)適用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不同。

拒絕域：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取值的集合，當(dāng)根據(jù)樣本得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值屬于該集合時(shí)，拒絕零假設(shè)。不能拒絕：零假設(shè)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取值的集合稱為“接受域”；劃分拒絕域和“接受域”的數(shù)值稱為臨界值。決策實(shí)際情況H0為真H0為假不拒絕H0正確第二類錯(cuò)誤(b)取偽拒絕H0第一類錯(cuò)誤(a)棄真正確3、假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤與顯著性水平兩類錯(cuò)誤的概率兩類錯(cuò)誤不可避免；要減小其中的一種錯(cuò)誤，通常只能通過增加另一種錯(cuò)誤的方法做到。假設(shè)檢驗(yàn)中通常首先控制控制第一類錯(cuò)誤的概率不超過某個(gè)小概率水平，在滿足該條件的要求下使犯第二類錯(cuò)誤的概率盡量小。允許犯第一類錯(cuò)誤的概率稱為顯著性水平。通常取為0.01,0.05,0.1。根據(jù)可以確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的樣本觀測(cè)值和臨界值得出檢驗(yàn)結(jié)論。顯著性水平與拒絕域4、假設(shè)檢驗(yàn)的MATLAB實(shí)現(xiàn)

例

某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖，包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從正態(tài)分布。當(dāng)機(jī)器正常時(shí)，其均值為0.5公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為0.015。某日開工后檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常，隨機(jī)地抽取所包裝的糖9袋，稱得凈重為（公斤）0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512問機(jī)器是否正常？

兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）兩個(gè)正態(tài)總體方差未知但等方差時(shí)，比較兩正態(tài)總體樣本均值的假設(shè)檢驗(yàn)函數(shù)ttest2格式[h,sig,ci]=ttest2(X,Y)%X，Y為兩個(gè)正態(tài)總體的樣本，顯著性水平為0.05[h,sig,ci]=ttest2(X,Y,alpha)%alpha為顯著性水平[h,sig,ci]=ttest2(X,Y,alpha,tail)%sig為當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)得到觀察值的概率，當(dāng)sig為小概率時(shí)則對(duì)原假設(shè)提出質(zhì)疑，ci為真正均值μ的1-alpha置信區(qū)間。

兩個(gè)總體一致性的檢驗(yàn)——秩和檢驗(yàn)函數(shù)ranksum格式p=ranksum(x,y,alpha)%x、y為兩個(gè)總體的樣本，可以不等長(zhǎng)，alpha為顯著性水平[p,h]=ranksum(x,y,alpha)%h為檢驗(yàn)結(jié)果，h=0表示X與Y的總體差別不顯著h=1表示X與Y的總體差別顯著[p,h,stats]=ranksum(x,y,alpha)%stats中包括：ranksum為秩和統(tǒng)計(jì)量的值以及zval為過去計(jì)算p的正態(tài)統(tǒng)計(jì)量的值說明P為兩個(gè)總體樣本X和Y為一致的顯著性概率，若P接近于0，則不一致較明顯。例

某商店為了確定向公司A或公司B購買某種商品，將A和