固體物理CH晶體的對(duì)稱性

一.晶系：按晶胞基矢a,b,c的大小與夾角不同僅有七種晶系立方：a＝b＝cα＝β＝γ＝90°四角：a＝b≠cα＝β＝γ＝90°正交：a≠b≠cα＝β＝γ＝90°三角：a＝b＝cα＝β＝γ≠90°六角：a＝b≠cα＝β＝90°，γ＝120°單斜：a≠b≠cα＝γ＝90°，β≠90°三斜：a≠b≠cα≠β≠γ≠90°§1.5晶體的對(duì)稱性Why?Only90°and120°?平移對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的自恰!三斜:≠≠=?§1.5晶體的對(duì)稱性#引入:晶體結(jié)構(gòu)的兩個(gè)特征:

平移不變(周期性)→幾何:點(diǎn)陣（原胞、晶胞）等對(duì)稱性 解析幾何：坐標(biāo)系（基矢、格矢）等

旋轉(zhuǎn)不變 → ?#內(nèi)容：三個(gè)層次

一般對(duì)稱性的慨念 晶體的對(duì)稱性

晶體的對(duì)稱性的組合原則─對(duì)晶體分類一、一般對(duì)稱性1.慨念:

物理系統(tǒng)在某些滿足一定規(guī)則變換下具有的不變性2.物理學(xué)中的對(duì)稱性

◆時(shí)-空對(duì)稱性(包括標(biāo)度不變性)

◆內(nèi)稟對(duì)稱性

(電荷共軛對(duì)稱,重子,輕子,自旋,同位旋,全同粒子等)謝賓斯基墊片謝賓斯基地毯與海綿3.對(duì)稱性與物理學(xué)1).結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí):

元素周期表,基本粒子標(biāo)準(zhǔn)模型(八重態(tài),十重態(tài))2).物理規(guī)律:

空間反演不變─宇稱守恒

空間平移不變─動(dòng)量守恒

空間旋轉(zhuǎn)不變─角動(dòng)量守恒

空間標(biāo)度不變─臨界現(xiàn)象規(guī)律

時(shí)間平移不變─能量守恒3).對(duì)稱破缺:相變問(wèn)題ParamagnetismFerromagnetism

SymmetryBroken

二.晶體中的對(duì)稱性與對(duì)稱操作

晶體結(jié)構(gòu)→空間對(duì)稱操作:

平移旋轉(zhuǎn)反演(反映)1.一般空間對(duì)稱操作

●平移(translation)

●

旋轉(zhuǎn)(rotation)

●

中心反演(inversion)

●

鏡象反演(mirror)0r`=x`i+y`j+z`kr=xi+yj+zk2.線性變換概念：晶體中任何兩點(diǎn)間的距離，在操作前后應(yīng)保持不變，這些操作就是線性變化。設(shè)經(jīng)過(guò)線性操作，把晶格中任一點(diǎn)x變?yōu)閤’，則有：數(shù)學(xué)上，x和x’等也可認(rèn)為是空間中同一點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即：如果用矩陣表示，即：操作前后，兩點(diǎn)距離保持不變，要求因此，要求是單位矩陣即A為正交矩陣A為正交矩陣，因此如令代表A的行列式，得3.幾種簡(jiǎn)單操作的變換關(guān)系

轉(zhuǎn)動(dòng)、中心反映和鏡像將某圖形繞x1軸轉(zhuǎn)過(guò)角，該圖形中的任一點(diǎn)（x1，x2，x3

），變?yōu)榱硪稽c(diǎn)（（x’1，x’2，x’3

），則變換關(guān)系是：(1)轉(zhuǎn)動(dòng)取中心為原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)中心反應(yīng)后，圖形中任一點(diǎn)（x1，x2，x3

），變?yōu)榱硪稽c(diǎn)（（-x1，-x2，-x3

），則：(2)中心反映(3)鏡像如以x3=0面作為鏡面，鏡像對(duì)稱操作是將圖形中的任何一點(diǎn)（x1，x2，x3

），變?yōu)榱硪稽c(diǎn)（（x1，x2，-x3），則：晶體微結(jié)構(gòu)的基本特征是:

同時(shí)具有平移對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、鏡面對(duì)稱和中心反演對(duì)稱即:要求平移、旋轉(zhuǎn)、鏡面和中心反演對(duì)稱互相制約，協(xié)同共存4.晶體可能的對(duì)稱操作七種晶系十四種布喇非格子旋轉(zhuǎn)鏡面中心平移限制

討論:

與平移不變相互自恰原則下 存在那些旋轉(zhuǎn)和反演(反映)對(duì)稱操縱

●

對(duì)旋轉(zhuǎn)操縱的限制●

對(duì)中心反演操縱的限制●

對(duì)鏡象反演操縱的限制●

對(duì)三者組合的限制平移點(diǎn)不動(dòng)的對(duì)稱操縱:c1,c2,c3,c4,c6,i,m,點(diǎn)動(dòng)的對(duì)稱操縱:n度螺旋軸,滑移反映面(Page14)結(jié)論:C1BCB1C`B`-

設(shè)C1BCB1為任一晶列且:C1B=BC=CB1過(guò)B點(diǎn)轉(zhuǎn), C1 C'過(guò)C點(diǎn)轉(zhuǎn)-

, B1 B'綜上所述，旋轉(zhuǎn)角可寫成2/n，n=1,2,3,4,6因此，晶體中只可具有1,2,3,4,6度轉(zhuǎn)軸平移對(duì)稱對(duì)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的限制B'C'=BC(1+2cos)，因此，

cos=0,1/2,1;∵B',C'

均為格點(diǎn),B'C'與BC平行,且同屬一個(gè)晶列族∴B'C'=mBCa)旋轉(zhuǎn)角B'C'=BC(1+2cos)b)旋轉(zhuǎn)角-

Ncosθθ2/n符號(hào)-2-11802c2-1-1/21203c300904c411/2606c6213601c1

B'C'=mBC=(N+1)BCB'C'=BC(1+2cos)

(a)n度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸晶體繞某一固定軸u旋轉(zhuǎn)角度2/n以后能自身重合，則稱u為n度或n次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，n只能取1，2，3，4，6，不能有5度或6度以上對(duì)稱軸。(b)n度旋轉(zhuǎn)-反演軸若繞某一固定軸u旋轉(zhuǎn)角度2/n以后，再經(jīng)過(guò)中心反演(x-x，y-y，z-z)，晶體能自身重合，則稱u為n度旋轉(zhuǎn)-反演旋轉(zhuǎn)軸，這樣的對(duì)應(yīng)軸只有1，2，3，4，6，不能有5度或6度以上對(duì)稱軸。為區(qū)別于轉(zhuǎn)軸，表示為就是中心反演，稱為對(duì)稱心，用i表示，即就是垂直于該軸的對(duì)稱面（鏡像），用m表示，即轉(zhuǎn)動(dòng)120后，11’中心反演后得2又轉(zhuǎn)動(dòng)120后，22’中心反演后得3又轉(zhuǎn)動(dòng)120后，33’(1),中心反演后得4

44’(2)，中心反演后得5(1’)所以，由1出發(fā)，得出2，6，4

和5，3，1諸點(diǎn)由圖可以看出，這些點(diǎn)既具有3度轉(zhuǎn)軸又具有對(duì)稱心的對(duì)稱性312546度對(duì)稱和3度軸加上垂直于該軸的對(duì)稱面的總效果一樣這些點(diǎn)既具有3度轉(zhuǎn)軸又具有對(duì)稱面的對(duì)稱性13和24中點(diǎn)的連線旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)+鏡面反演Nonewindependentsymmetryoperator

鏡面＋中心點(diǎn)動(dòng)的操作?點(diǎn)隨軸動(dòng)點(diǎn)隨面動(dòng)繞軸旋轉(zhuǎn)2/n與沿軸方向平移t=j(T/n)的復(fù)合操作對(duì)平面鏡像反演再沿平行與鏡面的一個(gè)方向平移該方向周期的一半點(diǎn)不動(dòng)的對(duì)稱操縱:

c1,c2,c3,c4,c6,i,m,點(diǎn)動(dòng)的對(duì)稱操縱:

n度螺旋軸,滑移反映面(Page14)結(jié)論:NoC5,C8,C12,…C20…正五邊形旋轉(zhuǎn)72°恢復(fù)原狀，但不能重復(fù)排列充滿一個(gè)平面而不出現(xiàn)空隙。1974年P(guān)enrose發(fā)現(xiàn)，用兩種四邊形拼接可以布滿整個(gè)平面。這種拼接可以存在五次對(duì)稱，兩個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)有兩種取值，其邊長(zhǎng)比為黃金分割1.618。這種圖形有長(zhǎng)程取向序，但沒(méi)有平移對(duì)稱序，具有借于晶體和非晶體之間的準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)。

FivefoldrotationsandquasicrystalsNolongdistancetranslatesymmetry!Nofillwholespacewithoutempty!理解：！晶體準(zhǔn)晶體非晶體三.對(duì)稱操作的組合─晶體分類立方體:轉(zhuǎn)動(dòng):6個(gè)c2,4個(gè)c3,3個(gè)c4,9個(gè)m,1個(gè)i (page12)一個(gè)晶體有多少個(gè)對(duì)稱操作?

單斜:?三斜:?

晶系：立方；布喇菲格子：sc,bcc,fcc；

金剛石結(jié)構(gòu)?立方體:轉(zhuǎn)動(dòng):6個(gè)c2,4個(gè)c3,3個(gè)c4,9個(gè)m,1個(gè)i6個(gè)c24個(gè)c33個(gè)c4群論:一般操作組合規(guī)則概念:

有限或無(wú)限個(gè)元素x1,x2,x3,…的集合{xi},在其間規(guī)定結(jié)合規(guī)則(群乘法),若滿足以下4個(gè)條件,則這個(gè)集合稱為群G={xi}封閉性: χi∈G,χj∈G,χioχj∈G結(jié)合性:χ1o(χ2oχ3)=(χ1oχ2)oχ3單位元E:對(duì)任一χi.有χioE=χi=Eoχi,G中有且僅有一個(gè)E逆元χi-1:對(duì)應(yīng)每一個(gè)χi有一個(gè)χi-1∈G,且χioχi-1=χi-1oχi=E單斜?三斜:?例1:一切正負(fù)整數(shù)的的集合{G=0,±1,±2,…},

按普通加法是否構(gòu)成群?例2:上面的集合按普通乘法,是否構(gòu)成群?

例3:一切實(shí)數(shù)的集合,按普通乘法,是否構(gòu)成群?例4:證明正三角形,繞過(guò)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)操作: c1=E,c2,c3

構(gòu)成群,群乘為連續(xù)操作.2.點(diǎn)群

晶體中滿足群條件并與平移不變周期性自恰的點(diǎn)對(duì)稱操作的集合

32個(gè)3.平移群

晶格周期平移不變對(duì)稱操作的集合,以矢量加法為群乘4.空間群:

由晶體所有對(duì)稱操作的集合