高中數學選修導數的幾何意義人教

會計學1高中數學選修導數的幾何意義人教3.1導數的幾何意義

1.曲線的切線βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy

如圖,曲線C是函數y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點,Q(x0+Δx,y0+Δy)為P鄰近一點,PQ為C的割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的傾斜角.第1頁/共14頁PQoxyy=f(x)割線切線T請看當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時,割線PQ繞著點P逐漸轉動的情況.第2頁/共14頁

我們發(fā)現(xiàn),當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.

設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:

這個概念:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質——函數平均變化率的極限.第3頁/共14頁4.導數的幾何意義

函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率.

故曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程是:即:第4頁/共14頁例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:先利用切線斜率的定義求出切線的斜率,然后利用點斜式求切線方程.第5頁/共14頁例1:設f(x)為可導函數,且滿足條件,

求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率.故所求的斜率為-2.第6頁/共14頁例2:如圖,已知曲線,求:

(1)點P處的切線的斜率;(2)點P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點P處的切線的斜率等于4.

(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.第7頁/共14頁例2:設函數f(x)在點x0處可導,求下列各極限值:分析:利用函數f(x)在點x0處可導的條件,將題目中給定的極限恒等變形為導數定義的形式.注意在導數定義中,自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx

選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應的形式.第8頁/共14頁例3:證明:(1)可導的偶函數的導函數為奇函數;(2)可導的奇函數的導函數為偶函數.證:(1)設偶函數f(x),則有f(-x)=f(x).(2)仿(1)可證命題成立,在此略去,供同學們在課后練習用.第9頁/共14頁練習1:設函數f(x)在點x0處可導,求下列各極限值:練習2:設函數f(x)在點x=a處可導,試用a、f(a)和第10頁/共14頁6.小結a.導數是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數學表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物理意義了認識這一概念的實質，學會用事物在全過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。b.要切實掌握求導數的三個步驟：（1）求函數的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數。c.弄清“函數f(x)在點x0處的導數”、“導函數”、“導數”之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）函數在一點處的導數，就是在該點的函數的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數，不是變數。（2）函數的導數，是指某一區(qū)間內任意點x而言的,

就是函數f(x)的導函數。第11頁/共14頁（3）如果函數y＝f(x)在開區(qū)間(a,b)內每一點都可導,

就說函數y＝f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導，這時，對于開區(qū)間內每一個確定的值x0，都對應著一個確定的導數，這樣就在開區(qū)間(a,b)內可構成一個新的函數，稱作f(x)的導函數。（4）函數f(x)在點x0處的導數就是導函數在x=x0處的函數值，即。這也是求函數在點x0處的導數的方法之一。d.函數f(x)在點x0處有導數，則在該點處函數f(x)的曲線必有切線，且導數值是該切線的斜率；但函數f(x)

的曲線在點x0處有切線，而函數f(x)在該點處不一定可導。如函數在x=0處有切線，但不可導。e.求切線方程的步驟：第12頁/共14頁（1）求出函數在點x0處的變化率