控制系統(tǒng)的頻率法分析

5-1頻率特性5-2典型環(huán)節(jié)分解和頻率特性曲線繪制5-3頻率域穩(wěn)定判據(jù)5-4穩(wěn)定裕度5-5閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)本章主要內(nèi)容

第五章線性系統(tǒng)的頻率分析法1考察一個(gè)系統(tǒng)的好壞，通常通過階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能?？刂葡到y(tǒng)中的信號可表示為不同頻率正弦信號的合成。控制系統(tǒng)的頻率特性反映正弦信號作用下系統(tǒng)響應(yīng)的性能。通過分析不同頻率正弦波輸入時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)，來考察系統(tǒng)性能，這種方法稱為頻域分析法。

5-1頻率特性2（1）頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)的方法來確定，這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實(shí)際意義。（2）控制系統(tǒng)的頻域設(shè)計(jì)可以兼顧動態(tài)響應(yīng)和噪聲抑制兩方面的要求。（3）頻率響應(yīng)法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，還可推廣應(yīng)用于部分非線性系統(tǒng)的分析。（4）控制系統(tǒng)及其元部件的頻率特性可以運(yùn)用分析法和試驗(yàn)方法獲得，并可以用多種形式的曲線表示，因此系統(tǒng)分析和控制器設(shè)計(jì)可以用圖解法進(jìn)行。特點(diǎn)3一、頻率特性的基本概念RUIU0C例如：4可見輸出幅值是輸入的，輸出相位比輸入滯后。5對于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。式中，為極點(diǎn)。若：則：6拉氏反變換為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點(diǎn)都在s左半平面。當(dāng)，即穩(wěn)態(tài)時(shí)：式中，分別為：7令：8式中：Rm

、Cm分別為輸入輸出信號的幅值。上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個(gè)正弦信號，它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個(gè)與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移動了。

和都是頻率的函數(shù)。9相頻特性：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與正弦輸入信號的相位差為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對不同頻率輸入信號的相位移特性；幅頻特性：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值與輸入信號的幅值之比為系統(tǒng)的幅頻特性，它描述系統(tǒng)對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)時(shí)的放大特性；

定義：10幅頻特性和相頻特性可在復(fù)平面上構(gòu)成一個(gè)完整的向量 稱為頻率特性。注：當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用代替時(shí)，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。11到目前為止，我們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)和頻率特性。它們之間的關(guān)系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)系統(tǒng)12[例]：設(shè)傳遞函數(shù)為：解：頻率特性為13在控制工程中，頻率分析法常常是用圖解法進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)的，常用的頻率特性曲線有以下三種：幅相頻率特性曲線（又稱極坐標(biāo)圖、奈魁斯特曲線）對數(shù)頻率特性曲線（又稱波德圖）對數(shù)幅相特性曲線（又稱尼柯爾斯圖）5.1.2頻率特性的幾何表示法

頻率特性表達(dá)式：極坐標(biāo)形式幅頻特性，相頻特性復(fù)數(shù)形式實(shí)頻特性，虛頻特性141、幅相頻率特性曲線（極坐標(biāo)圖、奈魁斯特曲線）以橫軸為實(shí)軸、縱軸為虛軸構(gòu)成復(fù)平面，在復(fù)平面上用一條曲線表示由時(shí)的頻率特性。即用矢量的端點(diǎn)軌跡形成的圖形。是參變量。在曲線的上的任意一點(diǎn)可以確定實(shí)頻、虛頻、幅頻和相頻特性。152、對數(shù)頻率特性曲線（又稱波德圖）組成：對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。橫坐標(biāo)按分度，單位為弧度/秒（rad/s)對數(shù)幅頻曲線的縱坐標(biāo)按下式分度：單位為分貝(dB)對數(shù)相頻特性曲線的縱坐標(biāo)：按線性分度，單位為度（°）16n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)

（5-13）而對數(shù)幅頻特性L(ω)為17

（5-14）對數(shù)相頻特性為

（5-15）18使用對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)：可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性?？梢詫⒊朔ㄟ\(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算。所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線（漸進(jìn)線）近似表示。對實(shí)驗(yàn)所得的頻率特性用對數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達(dá)式。193、對數(shù)幅相特性曲線（又稱尼柯爾斯圖）

尼柯爾斯圖是將對數(shù)幅頻特性和相頻特性兩條曲線合并成一條曲線。橫坐標(biāo)為相角特性，單位度或弧度。縱坐標(biāo)為對數(shù)幅頻特性，單位為分貝。橫、縱坐標(biāo)都是線性分度。205.2.1典型環(huán)節(jié)5-2典型環(huán)節(jié)分解和頻率特性曲線繪制對任一傳遞函數(shù)，可分解為以下形式：最小相位環(huán)節(jié)非最小相位環(huán)節(jié)21開環(huán)系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)分解最小相位系統(tǒng)比例環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)

一階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)1/s；微分環(huán)節(jié)s；慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)

(二階微分環(huán)節(jié)非最小相位系統(tǒng)比例環(huán)節(jié)22幅頻特性：；相頻特性：⒈比例環(huán)節(jié)：;對數(shù)幅頻特性：相頻特性：比例環(huán)節(jié)的bode圖5.2.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線23⒉積分環(huán)節(jié)的頻率特性：頻率特性：積分環(huán)節(jié)的Bode圖可見斜率為－20dB/dec當(dāng)有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)可見斜率為－40dB/dec24慣性環(huán)節(jié)的Bode圖⒊慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：①對數(shù)幅頻特性：，為了圖示簡單，采用分段直線近似表示。方法如下：低頻段：當(dāng)時(shí)，，稱為低頻漸近線。高頻段：當(dāng)時(shí)，，稱為高頻漸近線。這是一條斜率為-20dB/Dec的直線（表示每增加10倍頻程下降20分貝）。當(dāng)時(shí)，對數(shù)幅頻曲線趨近于低頻漸近線，當(dāng)時(shí)，趨近于高頻漸近線。25低頻高頻漸近線的交點(diǎn)為：，得： ，稱為轉(zhuǎn)折頻率或交換頻率?？梢杂眠@兩個(gè)漸近線近似的表示慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性。26慣性環(huán)節(jié)的Bode圖圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍(lán)線是實(shí)際曲線。27慣性環(huán)節(jié)的Bode圖波德圖誤差分析（實(shí)際頻率特性和漸近線之間的誤差）：當(dāng)時(shí)，誤差為：當(dāng)時(shí)，誤差為：最大誤差發(fā)生在處，為wT0.10.20.512510L(w),dB

-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04漸近線,dB0000-6-14-20誤差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.0428

②相頻特性：

作圖時(shí)先用計(jì)算器計(jì)算幾個(gè)特殊點(diǎn)：由圖不難看出相頻特性曲線在半對數(shù)坐標(biāo)系中對于(w0,-45°)點(diǎn)是斜對稱的，這是對數(shù)相頻特性的一個(gè)特點(diǎn)。當(dāng)時(shí)間常數(shù)T變化時(shí)，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當(dāng)增益改變時(shí)，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。慣性環(huán)節(jié)的波德圖wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.429⒋振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：討論時(shí)的情況。當(dāng)K=1時(shí)，頻率特性為：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性幅頻特性為：相頻特性為：對數(shù)幅頻特性為：低頻段漸近線：高頻段漸近線：兩漸近線的交點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)折頻率。斜率為-40dB/Dec。30相頻特性：幾個(gè)特征點(diǎn)：由圖可見：對數(shù)相頻特性曲線在半對數(shù)坐標(biāo)系中對于(w0,-90°)點(diǎn)是斜對稱的。對數(shù)幅頻特性曲線有峰值。振蕩環(huán)節(jié)的波德圖31對求導(dǎo)并令等于零，可解得的極值對應(yīng)的頻率：該頻率稱為諧振峰值頻率?？梢?，當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，無諧振峰值。當(dāng)時(shí)，有諧振峰值:諧振頻率，諧振峰值當(dāng)，，因此在轉(zhuǎn)折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數(shù)與實(shí)際曲線可能有很大的誤差。32振蕩環(huán)節(jié)的波德圖左圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性圖。上圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性實(shí)際曲線與漸近線之間的誤差曲線。33⒌微分環(huán)節(jié)的頻率特性：微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性34純微分環(huán)節(jié)的波德圖①純微分：35②一階微分：這是斜率為+20dB/Dec的直線。低、高頻漸進(jìn)線的交點(diǎn)為相頻特性：幾個(gè)特殊點(diǎn)如下相角的變化范圍從0到。低頻段漸進(jìn)線：高頻段漸進(jìn)線：對數(shù)幅頻特性（用漸近線近似）：一階微分環(huán)節(jié)的波德圖36一階微分環(huán)節(jié)的波德圖一階微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)37幅頻和相頻特性為：③二階微分環(huán)節(jié)：低頻漸進(jìn)線：高頻漸進(jìn)線：轉(zhuǎn)折頻率為：，高頻段的斜率+40dB/Dec。相角：可見，相角的變化范圍從0~180度。二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性38二階微分環(huán)節(jié)的波德圖二階微分振蕩環(huán)節(jié)39⒍延遲環(huán)節(jié)的頻率特性：傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖40最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例：有五個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下。系統(tǒng)的幅頻特性相同。41由圖可知最小相位系統(tǒng)是指在具有相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當(dāng)w從0變化至∞時(shí)，系統(tǒng)的相角變化范圍最小，且變化的規(guī)律與幅頻特性的斜率有關(guān)系(如j1(w)

)。而非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；或者相角變化范圍雖不大，但相角的變化趨勢與幅頻特性的變化趨勢不一致(如j4(w))。最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)42最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)—系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)、零點(diǎn)都位于左半Ｓ平面．非最小相位系統(tǒng)—在右半Ｓ平面存在極點(diǎn)、零點(diǎn)．最小相位系統(tǒng)的特點(diǎn)：１．不含有滯后環(huán)節(jié)，或不穩(wěn)定的環(huán)節(jié)２．對于具有相同幅頻特性的系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相角最?。常l特性和相頻特性之間存在著唯一的對應(yīng)關(guān)系，因此只要知道其對數(shù)幅頻特性，就可以畫出其相頻特性，也可以寫出其傳遞函數(shù)。而非最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性之間不存在這種唯一對應(yīng)關(guān)系．43實(shí)頻特性：；虛頻特性：；ReImK⒈比例環(huán)節(jié)：;幅頻特性：；相頻特性：比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為實(shí)軸上的K點(diǎn)。二、典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線44積分環(huán)節(jié)的奈氏圖頻率特性：ReIm⒉積分環(huán)節(jié)的頻率特性：積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為負(fù)虛軸。頻率w從0→∞特性曲線由虛軸的－∞趨向原點(diǎn)。45慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖⒊慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：46慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓，對稱于實(shí)軸。證明如下：整理得：下半個(gè)圓對應(yīng)于正頻率部分，而上半個(gè)圓對應(yīng)于負(fù)頻率部分。47實(shí)頻、虛頻、幅頻和相頻特性分別為：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性⒋振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：討論時(shí)的情況。當(dāng)K=1時(shí)，頻率特性為：48當(dāng)時(shí)，，曲線在3，4象限；當(dāng) 時(shí)，與之對稱于實(shí)軸。振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖實(shí)際曲線還與阻尼系數(shù)有關(guān)49振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的基本形狀是相同的。當(dāng)過阻尼時(shí)，阻尼系數(shù)越大其圖形越接近圓。50⒌微分環(huán)節(jié)的頻率特性：微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性51①純微分環(huán)節(jié)：純微分環(huán)節(jié)的奈氏圖ReIm微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為正虛軸。頻率w從0→∞特性曲線由原點(diǎn)趨向虛軸的+∞。52一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖②一階微分：ReIm一階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為平行于虛軸直線。頻率w從0→∞特性曲線相當(dāng)于純微分環(huán)節(jié)的特性曲線向右平移一個(gè)單位。53二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性③二階微分環(huán)節(jié)：幅頻和相頻特性為：541極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓。延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖⒍延遲環(huán)節(jié)的頻率特性：傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：55一、開環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)頻率特性的繪制（繪制奈氏圖）開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性或由典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合而成，或是一個(gè)有理分式，不論那種形式，都可由下面的方法繪制。使用MATLAB工具繪制。將開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性寫成或 的形式，根據(jù)不同的算出或可在復(fù)平面上得到不同的點(diǎn)并連之為曲線。（手工畫法）。[繪制方法]：5.2.3開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的繪制56[例5-1]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：試列出實(shí)頻和虛頻特性的表達(dá)式。當(dāng)繪制奈氏圖。解：當(dāng)時(shí)，找出幾個(gè)特殊點(diǎn)（比如，與實(shí)、虛軸的交點(diǎn)等），可大致勾勒出奈氏圖。為了相對準(zhǔn)確，可以再算幾個(gè)點(diǎn)。57

0-1.72-5.770

0-0.79

03.8510.80.20相角：

-180-114.62

-90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏圖。58下圖是用Matlab工具繪制的奈氏圖。59[例5-2]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：試?yán)L制極坐標(biāo)特性曲線。[解]：[分析]1、當(dāng)時(shí)，顯然，當(dāng)時(shí)，的漸近線是一條通過實(shí)軸點(diǎn)，且平行于虛軸的直線。2、與實(shí)軸的交點(diǎn)。令：，解得：，這時(shí)：3、當(dāng)時(shí)，，漸近線方向向下。6061[具有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的頻率特性的特點(diǎn)]：頻率特性可表示為：其相角為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

顯然，低頻段的頻率特性與系統(tǒng)型數(shù)有關(guān)，高頻段的頻率特性與n-m有關(guān)。62下圖為0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)在低頻和高頻段頻率特性示意圖：（0型）（Ⅰ型）（Ⅱ型）低頻段頻率特性n-m=3n-m=1n-m=2高頻段頻率特性至于中頻部分，可計(jì)算一些特殊點(diǎn)的來確定。如與坐標(biāo)的交點(diǎn)等。63（二）、開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)坐標(biāo)頻率特性的繪制（繪制波德圖）開環(huán)系統(tǒng)頻率特性為：64幅頻特性：相頻特性：且有：

由以上的分析可得到開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性曲線的繪制方法：先畫出每一個(gè)典型環(huán)節(jié)的波德圖，然后相加。65[例]：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試畫出該系統(tǒng)的波德圖。[解]：該系統(tǒng)由四個(gè)典型環(huán)節(jié)組成。一個(gè)比例環(huán)節(jié)，一個(gè)積分環(huán)節(jié)兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)。手工將它們分別畫在一張圖上。然后，在圖上相加。66實(shí)際上，畫圖不用如此麻煩。我們注意到：幅頻曲線由折線（漸進(jìn)線）組成，在轉(zhuǎn)折頻率處改變斜率。

確定和各轉(zhuǎn)折頻率，并將這些頻率按小大順序依次標(biāo)注在頻率軸上；

確定低頻漸進(jìn)線：，就是第一條折線，其斜率為，過點(diǎn)（1，20logk）。實(shí)際上是k和積分的曲線。具體步驟如下：67

高頻漸進(jìn)線的斜率為：-20(n-m)dB/dec。相頻特性還是需要點(diǎn)點(diǎn)相加，才可畫出。遇到（一階慣性）時(shí)，斜率下降-20dB/Dec;遇到（二階慣性）時(shí)，斜率下降-40dB/Dec;畫好低頻漸進(jìn)線后，從低頻開始沿頻率增大的方向，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率改變一次分段直線的斜率：遇到（一階微分）時(shí)，斜率增加+20dB/Dec;遇到（二階微分）時(shí)，斜率增加+40dB/Dec;68[例5-3]系統(tǒng)開環(huán)特性為：試畫出波德圖。[解]：1、該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，所以則，2、低頻漸進(jìn)線：斜率為，過點(diǎn)（1，20）3、波德圖如下：69紅線為漸進(jìn)線，蘭線為實(shí)際曲線。70[例5-4]已知，試畫波德圖。[解]：1、2、低頻漸進(jìn)線斜率為，過（1，-60）點(diǎn)。4、畫出波德圖如下頁：3、高頻漸進(jìn)線斜率為：71紅線為漸進(jìn)線，蘭線為實(shí)際曲線。72[例5-5]具有延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)頻率特性為：，試畫出波德圖。[解]：

可見，加入了延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)其幅頻特性不變，相位特性滯后了。73[例]有兩個(gè)系統(tǒng)，頻率特性分別為：轉(zhuǎn)折頻率都是：幅頻特性相同，均為：相頻特性不同，分別為：三、非最小相位系統(tǒng)的頻率特性74最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)該兩個(gè)系統(tǒng)的波德圖如下所示：75奈氏圖為：最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)76奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。5-3奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)77奈魁斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)，是由H.Nyquist于1932年提出的。是利用奈氏圖，來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的理論基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)理論中的幅角定理，也稱映射定理。

78一、幅角定理：設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，其中： 為前向通道傳遞函數(shù)，為反饋通道傳遞函數(shù)。閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，如下圖所示：構(gòu)造輔助方程：F(s)的極點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；F(s)的零點(diǎn)為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；(5-23)79

式（5-23）中，s為復(fù)變量，以s復(fù)平面上的s=δ+jω來表示。F(s)為復(fù)變函數(shù)，以F(s)復(fù)平面上的F(s)=u+jv表示。點(diǎn)映射關(guān)系，如圖5-26所示。s平面與F(s)平面的曲線映射關(guān)系，如圖5-27所示。

圖5-26點(diǎn)映射關(guān)系圖5-27

s平面與F(s)平面的映射關(guān)系80

1)假設(shè)在s平面上任選一點(diǎn)A,使點(diǎn)S從A點(diǎn)開始沿封閉曲線順時(shí)針方向移動且回到A點(diǎn).3)所選擇的只包圍的某一個(gè)零點(diǎn)如,且在的路徑上不通過任何一個(gè)零極點(diǎn).則從B點(diǎn)出發(fā)且回到B點(diǎn),矢量的端點(diǎn)繞復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)移動形成封閉曲線.的復(fù)平面上可以確定相對應(yīng)的像,如下圖中的B點(diǎn).81[柯西幅角定理]：s平面上不通過F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線包圍s平面上F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s以順時(shí)針方向沿封閉曲線移動一周時(shí)，在F(s)平面上相對應(yīng)于封閉曲線將繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，Z，P的關(guān)系為：N=P-Z。（注：F(s)任何奇異點(diǎn)即F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)）若N為負(fù)，表示順時(shí)針運(yùn)動，包圍原點(diǎn)；若N為0，表示順時(shí)針運(yùn)動，不包圍原點(diǎn)；若N為正，表示逆時(shí)針運(yùn)動，包圍原點(diǎn)。82二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：對于一個(gè)控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于上面討論的輔助方程，其零點(diǎn)恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，只要搞清F(s)的零點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

我們這里是應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的。設(shè)想：如果有一個(gè)s平面的封閉曲線能包圍整個(gè)s右半平面，則根據(jù)柯西幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為：當(dāng)已知開環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時(shí)，便可由R判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。83這里需要解決兩個(gè)問題：1、如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)R，并將它和開環(huán)頻率特性相聯(lián)系？它可分為三部分：Ⅰ部分是正虛軸，Ⅱ部分是右半平面上半徑為無窮大的半圓；；Ⅲ部分是負(fù)虛軸，。第1個(gè)問題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒有零、極點(diǎn)。按順時(shí)針方向做一條曲線包圍整個(gè)s右半平面，這條封閉曲線稱為奈魁斯特路徑。如下圖：ⅠⅡⅢ84F(s)平面上的映射是這樣得到的：以代入F(s)并令從 變化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由 ，得第二部分的映射；令從，得第三部分的映射。稍后將介紹具體求法。得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計(jì)算，式中： 是F(s)在s右半平面的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)。確定了R，可求出 。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。第2個(gè)問題：輔助方程與開環(huán)頻率特性的關(guān)系。我們所構(gòu)造的輔助方程為，為開環(huán)頻率特性。因此，有以下三點(diǎn)是明顯的：85②F(s)對原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于對(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)R與對(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。①

F(s)曲線是Gk(s)向右移1；③F(s)的極點(diǎn)就是的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。86F(s)與的關(guān)系圖。ⅠⅡⅢ87[奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)]：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有個(gè)極點(diǎn)，且開環(huán)頻率特性曲線對(-1,j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為R，（R<0順時(shí)針，R>0逆時(shí)針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：。（2）若，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。由于曲線當(dāng)與關(guān)于實(shí)軸成鏡像對稱,所以一般只畫的曲線,則(2)式可修正為:2N=Pk-Zk,N>0逆時(shí)針環(huán)繞臨界點(diǎn)(-1,j0);N<0,順時(shí)針環(huán)繞臨界點(diǎn)(-1,j0).N為當(dāng)時(shí)的曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù).曲線的走向是從到88[例5-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為0，繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)R=0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個(gè)數(shù)： 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。89[例5-7]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開環(huán)極點(diǎn)為-1，-1j2，都在s左半平面，所以。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時(shí)針圍繞(-1,j0)點(diǎn)2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為： ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。90[例5-8]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和k的關(guān)系。-[解]：開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個(gè)半徑為，圓心在的圓。顯然，k>=1時(shí)，包圍(-1,j0)點(diǎn)，k<1時(shí)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。由圖中看出：當(dāng)k>1時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈，R=1，而，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。91當(dāng)k=1時(shí)，奈氏曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)k<1時(shí)，奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，R=0，，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

上面討論的奈魁斯特判據(jù)和例子，都是假設(shè)虛軸上沒有開環(huán)極點(diǎn)，即開環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足柯西幅角定理的條件。但是對于Ⅰ、Ⅱ型的開環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點(diǎn)）有極點(diǎn)，因此不能使用柯西幅角定理來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問題，需要重構(gòu)奈魁斯特路徑。92三、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用：具有開環(huán)0極點(diǎn)系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：可見，在原點(diǎn)有重0極點(diǎn)。也就是在s=0點(diǎn)，不解析，若取奈氏路徑同上時(shí)（通過虛軸的整個(gè)s右半平面），不滿足柯西幅角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過原點(diǎn)而仍然能包圍整個(gè)s右半平面，重構(gòu)奈氏路徑如下：以原點(diǎn)為圓心，半徑為無窮小做右半圓。這時(shí)的奈氏路徑由以下四部分組成：93Ⅰ部分：正虛軸，，Ⅱ部分為半徑為無窮大的右半圓；Ⅲ部分負(fù)虛軸，，Ⅳ部分為半徑為無窮小的右半圓，下面討論對于這種奈魁斯特路徑的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常規(guī)的奈氏圖，關(guān)于實(shí)軸對稱；2、第Ⅱ部分：，。假設(shè)的分母階數(shù)比分子階數(shù)高；3、第Ⅳ部分：(a)對于Ⅰ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：ⅠⅡⅢⅣ94(b)對于Ⅱ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的整個(gè)圓（順時(shí)針）。所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的右半圓。95[結(jié)論]用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應(yīng)用于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)。[例5-9]設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：顯然這是1型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線。從圖上看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，逆時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。96[例5-10]某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：從圖上可以看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈。因，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。97[特殊情況]：1、若開環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點(diǎn)，這時(shí)應(yīng)將奈氏路徑做相應(yīng)的改變。如下圖：以極點(diǎn)為圓心，做半徑為無窮小的右半圓，使奈氏路徑不通過虛軸上極點(diǎn)（確保滿足柯西幅角定理?xiàng)l件），但仍能包圍整個(gè)s右半平面。映射情況，由于較復(fù)雜，略。2、如果開環(huán)頻率特性曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，說明閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點(diǎn)。98通常，只畫出的開環(huán)奈氏圖，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)為：。式中，為變化時(shí)，開環(huán)奈氏圖逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。不包圍(-1,j0)點(diǎn)，0型系統(tǒng)包圍(-1,j0)點(diǎn)，Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)對應(yīng)的奈魁斯特路徑分別為：99這時(shí)奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)可以描述為：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半平面的極點(diǎn)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)從 時(shí)，頻率特性曲線在實(shí)軸段的正負(fù)穿越次數(shù)差為。頻率特性曲線對(-1,j0)點(diǎn)的包圍情況可用頻率特性的正負(fù)穿越情況來表示。當(dāng)增加時(shí)，頻率特性從上半s平面穿過負(fù)實(shí)軸的段到下半s平面，稱為頻率特性對負(fù)實(shí)軸的段的正穿越（這時(shí)隨著的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)。反之稱為負(fù)穿越。正穿越負(fù)穿越100四、在對數(shù)坐標(biāo)圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（奈氏圖）和對數(shù)坐標(biāo)圖（波德圖）有如下的對應(yīng)關(guān)系：1、奈氏圖上單位圓對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線； 。2、奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的-180度相位線。奈氏圖頻率特性曲線在上的正負(fù)穿越在對數(shù)坐標(biāo)圖上的對應(yīng)關(guān)系：在對數(shù)坐標(biāo)圖上的范圍內(nèi)，當(dāng)增加時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿過-180度相位線稱為正穿越。因?yàn)橄嘟侵翟黾恿?。反之稱為負(fù)穿越。101對照圖如下：正穿越負(fù)穿越正穿越負(fù)穿越相角方向?yàn)檎黾訒r(shí)，相角增大對數(shù)坐標(biāo)圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下：設(shè)開環(huán)頻率特性在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：對數(shù)坐標(biāo)圖上幅頻特性的所有頻段內(nèi)，當(dāng)頻率增加時(shí)，對數(shù)相頻特性對-180度線的正負(fù)穿越次數(shù)差為P/2。閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點(diǎn)數(shù)為：，式中為正負(fù)穿越次數(shù)差。若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z>0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。102小結(jié)

柯西幅角定理。滿足該定理的條件。

輔助方程。其極點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)，其零點(diǎn)為閉環(huán)極點(diǎn)。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。幾種描述形式；Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)的奈氏路徑極其映射；最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)；對數(shù)坐標(biāo)圖上奈氏判據(jù)的描述。對數(shù)頻率特性圖和奈奎斯特頻率特性圖的關(guān)系。103練習(xí)5-14(1),(4),(7)5-16104第六節(jié)穩(wěn)定裕度105穩(wěn)定裕度的概念使用穩(wěn)定裕度概念綜合系統(tǒng)本節(jié)主要內(nèi)容：106控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半平面的極點(diǎn)且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高。開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點(diǎn)越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低，這就是通常所說的相對穩(wěn)定性。通過奈氏曲線對點(diǎn)(-1,j0)的靠近程度來度量，其定量表示為相角裕量和幅值裕度。

107當(dāng)頻率特性曲線穿過(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這時(shí)： 。對于最小相位系統(tǒng)，可以用 和來表示頻率特性曲線接近(-1,j0)點(diǎn)的程度，或稱為穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度越大，穩(wěn)定性越好。[定義]：和為幅值穩(wěn)定裕度和相位穩(wěn)定裕度。在對數(shù)坐標(biāo)圖上，用表示的分貝值。即截止頻率穿越頻率108顯然，當(dāng)時(shí)，即和時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。對于最小相位系統(tǒng)，和是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生的，所以經(jīng)常只用一種穩(wěn)定裕度來表示系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。常用相角裕度。[幅值穩(wěn)定裕度物理意義]：穩(wěn)定系統(tǒng)在相角穿越頻率處將幅值增加倍（奈氏圖）或增加分貝（波德圖），則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。若增加的倍數(shù)大于倍（或分貝），則系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。比如，若增加開環(huán)放大系數(shù)K，則對數(shù)幅頻特性曲線將上升，而相角特性曲線不變?？梢?，開環(huán)放大系數(shù)太大，容易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。[相位穩(wěn)定裕度的物理意義]：穩(wěn)定系統(tǒng)在幅值穿越頻率處將相角減小度，則系統(tǒng)變?yōu)榕R界穩(wěn)定；再減小，就會變?yōu)椴环€(wěn)定。109[例]設(shè)控制系統(tǒng)如下圖所示k=10和k=100時(shí)，試求系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度。-[解]：相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度可以很容易地從波德圖中求得。當(dāng)k=10時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)波德圖如右所示。這時(shí)系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度大約是8dB和21度。因此系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益可以增加8dB.110相位裕度和幅值裕度的計(jì)算：

相位裕度：先求穿越頻率在穿越頻率處，，所以，解此方程較困難，可采用近似解法。由于較小（小于2），所以：穿越頻率處的相角為：相角裕度為：111

幅值裕度：先求相角穿越頻率相角穿越頻率處的相角為：由三角函數(shù)關(guān)系得：所以，幅值裕度為：112當(dāng)增益從k=10增大到k=100時(shí)，幅值特性曲線上移20dB，相位特性曲線不變。這時(shí)系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度分別是-12dB和-30度。因此系統(tǒng)在k=10時(shí)是穩(wěn)定的，在k=100時(shí)是不穩(wěn)定的。113[例5-11]某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示。試確定當(dāng)k=10時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其使相位穩(wěn)定裕度為30度時(shí)的開環(huán)放大系數(shù)k。-[解]：當(dāng)k=10時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：手工繪制波德圖步驟：1、確定轉(zhuǎn)折頻率：10、40，在(1,20log200)點(diǎn)畫斜率為-20的斜線至；2、在之間畫斜率為-40的斜線；3、后畫斜率為-60的斜線。114上圖藍(lán)線為原始波德圖。，顯然閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。為了使相位穩(wěn)定裕度達(dá)到30度，可將幅頻曲線向下平移。即將開環(huán)放大系數(shù)減小，這時(shí)相頻特性不變。截止頻率左移至，移到哪里？115 ，從圖中看出：。所以原始幅頻曲線向下移動的分貝數(shù)為:所以當(dāng)開環(huán)放大系數(shù)下降到15時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度是30度，這時(shí)的幅頻穩(wěn)定裕度為：由圖中看出，所以設(shè)新的開環(huán)放大系數(shù)為，原始的開環(huán)放大系數(shù)為k=200，則有 （討論時(shí)較明顯）。解得：116[穩(wěn)定裕度概念使用時(shí)的局限性]：1、在高階系統(tǒng)中，奈氏圖中幅值為1的點(diǎn)或相角為-180度的點(diǎn)可能不止一個(gè)，這時(shí)使用幅值和相位穩(wěn)定裕度可