二次函數(shù)一般式的圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)一般式的圖像和性質(zhì)第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日1．的頂點(diǎn)坐標(biāo)是________，對稱軸是__________

2．怎樣把的圖象移動(dòng)，便可得到的圖象？（h，k）

復(fù)習(xí)提問直線x＝h

第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日3．的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

，對稱軸是

．(－2，－5)

直線x＝－2

4．在上述移動(dòng)中圖象的開口方向、形狀、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，哪些有變化？哪些沒有變化？有變化的：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，沒有變化的：拋物線的開口方向、形狀

第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日我們復(fù)習(xí)了將拋物線向左平移2個(gè)單位再向下平移5個(gè)單位就得到的圖象，將化為一般式為，那么如何將拋物線的圖像移動(dòng)，得到的圖像呢？新課

的圖象怎樣平移就得到那么一般地，函數(shù)的圖象呢？

第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日1．用配方法把化為的形式。

的形式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸。例1用配方法把化為解：

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，－2），對稱軸為x＝－3第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日答案：，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，5)，對稱軸是直線x＝1．

的形式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸。練習(xí)1

用配方法把化為第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日

的方法和我們前面學(xué)過的用配方法解二次方程

“”類似．具體演算如下：化為的形式。2．用公式法把拋物線把變形為第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對稱軸是直線。第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日

的形式，求出對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．例2

用公式法把化為解：在中，，∴頂點(diǎn)為（1，－2），對稱軸為直線x＝1。第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日

的形式，并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸。答案：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）對稱軸是直線x＝2練習(xí)2

用公式法把化成第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日3．圖象的畫法．步驟：1．利用配方法或公式法把化為的形式。2．確定拋物線的開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)。3．在對稱軸的兩側(cè)以頂點(diǎn)為中心左右對稱描點(diǎn)畫圖。第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日

的圖像，利用函數(shù)圖像回答：例3

畫出(1)x取什么值時(shí)，y＝0？(2)x取什么值時(shí)，y＞0？(3)x取什么值時(shí)，y＜0？(4)x取什么值時(shí)，y有最大值或最小值？第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日分析：我們可以用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圖象的頂點(diǎn)，過頂點(diǎn)作平行于y軸的直線就是圖象的對稱軸．在對稱軸的一側(cè)再找兩個(gè)點(diǎn)，則根據(jù)對稱性很容易找出另兩個(gè)點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)連同頂點(diǎn)共五個(gè)點(diǎn)，過這五個(gè)點(diǎn)畫出圖像．第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日(1)用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求出頂點(diǎn)為(2，2)，對稱軸是x＝2.(2)當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即圖象與x軸交于點(diǎn)(1，0)，根據(jù)軸對稱，很容易知道(1，0)的軸對稱點(diǎn)是點(diǎn)(3，0)．又當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－6，即圖象與y軸交于點(diǎn)(0，－6)，根據(jù)軸對稱，很容易知道(0，－6)的軸對稱點(diǎn)是點(diǎn)(4，－6)．用光滑曲線把五個(gè)點(diǎn)(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6)連結(jié)起來，就是的圖象。

第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日解：列表xy22100－6304－6…………第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日（2,2）·····x=2（0,－6）（1,0）（3,0）（4,－6）由圖像知：當(dāng)x＝1或x＝3時(shí)，

y＝0；(2)當(dāng)1＜x＜3時(shí)，

y＞0；(3)當(dāng)x＜1或x＞3時(shí)，

y＜0；(4)當(dāng)x＝2時(shí)，

y有最大值2。xy第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日練習(xí)3畫出的圖像。x…－10123…y…52125…第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日x=1y=x2－2x＋2第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日

（3）開口方向：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下。4．二次函數(shù)的性質(zhì)：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)（2）對稱軸是直線第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日如果a＞0，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，如果a＜0，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，（4）最值：第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日①若a＞0，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小。②若a＜0，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大。（5）增減性：第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日

與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）(6)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)①拋物線②拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其中為方程的兩實(shí)數(shù)根第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日

與x軸的交點(diǎn)情況可由對應(yīng)的一元二次方程(7)拋物線的根的判別式判定：①△＞0有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸相交；②△＝0有一個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸相切；③△＜0沒有交點(diǎn)拋物線與x軸相離。第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日例4已知拋物線①k取何值時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②k取何值時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在y軸上；③k取何值時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在x軸上；④k取何值時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日

，所以k＝－4，所以當(dāng)k＝－4時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在y軸上。

，所以k＝－7，所以當(dāng)k＝－7時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②拋物線頂點(diǎn)在y軸上，則頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，即解：①拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，則當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，所以第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日

，所以當(dāng)k＝2或k＝－6時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在x軸上。③拋物線頂點(diǎn)在x軸上，則頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，即③拋物線頂點(diǎn)在x軸上，則頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，即，整理得，解得：④由②、③知，當(dāng)k＝－4或k＝2或k＝－6時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日所以當(dāng)x＝2時(shí)，。解法一（配方法）：例5當(dāng)x取何值時(shí)，二次函數(shù)有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日因?yàn)樗援?dāng)x＝2時(shí)，。因?yàn)閍＝2＞0，拋物線有最低點(diǎn)，所以y有最小值，

總結(jié)：求二次函數(shù)最值，有兩個(gè)方法．(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日又例6已知函數(shù)，當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)值y隨自變量的值的增大而減小。解法一：，

∴拋物線開口向下，

∴

對稱軸是直線x＝－3，當(dāng)

x＞－3時(shí)，y隨x的增大而減小。

第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日解法二：，∴拋物線開口向下，∴對稱軸是直線x＝－3，當(dāng)x＞－3時(shí)，y隨x的增大而減小。第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日例7已知二次函數(shù)的最大值是0，求此函數(shù)的解析式．第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日解：此函數(shù)圖象開口應(yīng)向下，且頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為0．所以應(yīng)滿足以下的條件組．由②解方程得所求函數(shù)解析式為。第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日

相等，則形狀相同。(1)a決定拋物線形狀及開口方向，若①a＞0開口向上；5．拋物線y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。②a＜0開口向下。第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日5．拋物線y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(2)a和b共同決定拋物線對稱軸的位置，由于拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線③若a，b異號對稱軸在y軸右側(cè)。，故①若b＝0對稱軸為y軸，②若a，b同號對稱軸在y軸左側(cè)，第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日5．拋物線y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(3)c的大小決定拋物線y＝ax2＋bx＋c與y軸交點(diǎn)的位置。當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c，∴拋物線y＝ax2＋bx＋c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，c)，①c＝0拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②c＞0與y軸交于正半軸；③c＜0與y軸交于負(fù)半軸。第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日例8已知如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，判斷以下各式的值是正值還是負(fù)值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日分析：已知的是幾何關(guān)系(圖形的位置、形狀)，需要求出的是數(shù)量關(guān)系，所以應(yīng)發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用．第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日解：(1)因?yàn)閽佄锞€開口向下，所以a＜0；判斷a的符號第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日(2)因?yàn)閷ΨQ軸在y軸右側(cè)，所以，而a＜0，故b＞0；判斷b的符號第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日(3)因?yàn)閤＝0時(shí)，y＝c，即圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，c)，而圖中這一點(diǎn)在y軸正半軸，即c＞0；判斷