工程電磁場導論第一章2

4.靜電場中的導體和電介質(zhì)

靜電場中導體的性質(zhì)導體內(nèi)電場強度E為零，靜電平衡；導體是等位體，導體表面為等位面；下頁上頁根據(jù)物質(zhì)在靜電場中的表現(xiàn)可以把它們分成導體和電介質(zhì)兩大類，導體和電介質(zhì)的存在將影響電場的分布，因此有必要討論它們在電場中的性質(zhì)。導體導體內(nèi)含有大量的自由電子，如果對它們施加電場將引起其中自由電荷的運動。導體性質(zhì)：導體內(nèi)無電荷=0，帶電導體的電荷一定分布在導體表面形成面電荷；電場強度垂直于導體表面；下頁上頁導體引入電場將發(fā)生靜電感應現(xiàn)象。外電場E+-感應電荷產(chǎn)生的電場導體球在均勻電場中下頁上頁靜電屏蔽

q在金屬球殼內(nèi)接地導體都不帶電。（）一導體的電位為零，則該導體不帶電。（）任何導體，只要它們帶電量不變，則其電位是不

變的。（）下頁上頁思考電位與參考點的選取有關無極性分子有極性分子電介質(zhì)的極化靜電場中的電介質(zhì)下頁上頁E電介質(zhì)電介質(zhì)內(nèi)的電子被原子或分子內(nèi)在力，或分子間的力束縛而不能自由運動，如果對它們施加電場將引電介質(zhì)的極化。電介質(zhì)在外電場作用下發(fā)生極化，形成有向排列；電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷(polarizedcharge)；極化電荷與自由電荷一樣是產(chǎn)生電場的源，從而引起原電場的變化。下頁上頁電介質(zhì)性質(zhì)：

極化強度P(polarizationintensity

)表示電介質(zhì)極化程度的量，定義：電偶極矩體密度實驗結果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中

—電介質(zhì)的極化率,無量綱量。各向同性媒質(zhì)線性媒質(zhì)媒質(zhì)特性不隨空間坐標而變化；下頁上頁關于媒質(zhì)的術語：媒質(zhì)特性不隨電場方向而改變；均勻媒質(zhì)媒質(zhì)參數(shù)不隨電場的值而變化；

極化強度與極化電荷的關系下頁上頁大電偶極子VS+Q-Qa均勻極化根據(jù)電荷守恒原理，極化電荷的總和為零極化強度P

是電偶極矩體密度，單個電偶極子產(chǎn)生的電位體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位下頁上頁矢量恒等式：下頁上頁體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位令極化電荷體密度極化電荷面密度下頁上頁根據(jù)電荷守恒原理，極化電荷的總和為零下頁上頁比較導體和介質(zhì)的性質(zhì)可以得出：電場對導體的影響是引起靜電場感應產(chǎn)生感應電荷；電場對介質(zhì)的影響是引起介質(zhì)極化，產(chǎn)生極化電荷；感應電荷在導體內(nèi)產(chǎn)生的電場抵消外電場，使導體內(nèi)電場為零；極化電荷在介質(zhì)內(nèi)產(chǎn)生的電場只是削弱外電場；導體是等位體；介質(zhì)中各點電位不同；介質(zhì)所能經(jīng)受的電場強度有一定的限度，這個電場強度的極限稱為電介質(zhì)強度；注意電介質(zhì)中的高斯定律定義

—電位移矢量（displacementvector）高斯定理的微分形式取體積分高斯定理的積分形式下頁上頁普遍形式的高斯定律高斯定理的積分形式—介電常數(shù)F/m其中—相對介電常數(shù)，無量綱量。構成方程下頁上頁穿出任意閉合面的電位移矢量的通量等于閉合面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和，而與閉合面的形狀、大小、電荷的分布及介質(zhì)的分布無關；在各向同性介質(zhì)中注意D、E與P

三者之間的關系D線E線P線D

線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負的自由電荷；E

線由正電荷發(fā)出，終止于負電荷；P

線由負的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。下頁上頁D、E

與P

三者之間的關系圖示無限長同軸電纜，內(nèi)導體加電壓U，外導體接地，求內(nèi)外導體間的電場分布。下頁上頁例R1R2U解一應用高斯定律任一點的電位電力電纜上頁上頁電纜多層絕緣的工程意義。下頁上頁例arEr1arEr1r2r31.3基本方程·分界面上的銜接條件1.靜電場基本方程(BasicEquation)靜電場是有源無旋場，電荷是靜電場的源。BasicEquationandBoundaryCondition微分形式積分形式構成方程下頁上頁分析靜電場的依據(jù)泊松方程拉普拉斯算子拉普拉斯方程當r=0時下頁上頁2.泊松方程與拉普拉斯方程

(Poisson’sEquationandLaplace’sEquation)下頁上頁泊松方程和拉普拉斯方程結合了靜電場基本方程；泊松方程和拉普拉斯方程只適用于均勻、線性和各向同性的媒質(zhì)；213312同一媒質(zhì)中的有源區(qū)和無源區(qū)要分別列出泊松方程和拉普拉斯方程；=0注意

E

的銜接條件圍繞點P作一矩形回路

根據(jù)下頁上頁介質(zhì)分界面3.分界面上的銜接條件（BoundaryCondition)當電場中存在不同媒質(zhì)時，在不同媒質(zhì)分界面處，場量的大小和方向會發(fā)生變化，有必要了解分界面上場量所應滿足的條件，這些條件稱為不同媒質(zhì)分界面上的銜接條件。包圍點P作高斯面

D的銜接條件根據(jù)介質(zhì)分界面當下頁上頁靜電場的折射定理當交界面上時，折射定律下頁上頁介質(zhì)分界面在不同媒質(zhì)分界面處，場量的方向會發(fā)生變化。的銜接條件設P1與P2位于分界面兩側(cè)，

因此電位連續(xù)電位的銜接條件下頁上頁若則得由，其中下頁上頁21a1b2a2b1等價

D

的銜接條件D

的法向分量不連續(xù)下頁上頁

E的切向分量連續(xù)。E

的銜接條件

的銜接條件電位的法向?qū)?shù)不連續(xù)電位連續(xù)折射定律結論導體表面是等位面，E

線與導體表面垂直；導體與電介質(zhì)分界面例解導體中

E1＝0，D1=0導體表面上任一點的D

等于該點的。下頁上頁試寫出導體與電介質(zhì)分界面上的銜接條件。

分界面銜接條件分界面介質(zhì)側(cè)表明忽略邊緣效應圖(a)圖(b)

試求兩個平板電容器的電場強度。平行板電容器例解下頁上頁1.4靜電場邊值問題·唯一性定理靜電場的求解可分為兩類：BoundaryValueProblemandUniquenessTheorem下頁上頁第一類問題：場源問題已知空間電荷分布，求電場分布第二類問題：邊值問題已知空間介質(zhì)分布，電極形狀、位置和電位，場域邊界上的電位或場強，這類問題歸結為求解給定邊界條件的電位微分方程的解。直接求積分方程直接求微分方程1.靜電場的邊值問題（BoundaryProblem)邊值問題場域邊界條件(待講）分界面銜接條件

強制邊界條件有限值自然邊界條件有限值微分方程邊界條件初始條件泊松方程拉普拉斯方程下頁上頁場域邊界條件1）第一類邊界條件（狄里赫利條件，Dirichlet)2）第二類邊界條件（聶以曼條件Neumann)3）第三類邊界條件已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線性組合已知邊界上的電位已知邊界上電位的法向?qū)?shù)(即電荷面密度或電力線)下頁上頁有限差分法有限元法邊界元法矩量法積分方程法積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法計算法實驗法解析法數(shù)值法實測法模擬法邊值問題下頁上頁試寫出圖示靜電場的邊值問題。下頁上頁例解S1100VS250V大地以上空間：試寫出圖示平板電容器電場的邊值問題。下頁上頁例解+q12-q0dxd/2同一個條件參考點試寫出長直同軸電纜（外圓內(nèi)方）中靜電場的邊值問題。

根據(jù)場分布的對稱性確定計算場域，邊值問題（陰影區(qū)域）下頁上頁纜心為正方形的例解2.靜電場的唯一性定理（UniquenessTheorem)研究給定怎樣的條件靜電場解是唯一的。下頁上頁唯一性定理：

在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程的解是唯一的?；颍悍匠桃欢?，邊界條件一定，解就是一定的。唯一性定理的證明

：證明（反證法）下頁為簡便起見，設場中只有一種均勻媒質(zhì)，場域邊界為導體邊界和無窮遠處的邊界面。ro設場有兩個解：都滿足方程和邊界條件：S1S2SnSoQ1Q2Qn上頁下頁場域內(nèi)無極值拉普拉斯方程零邊界上頁對等式兩端求體積分即下頁應用矢量恒等式0考慮參考點電位上頁3.唯一性定理的意義圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？給出了唯一確定靜電場問題的解所需滿足的條件。下頁上頁平板電容器外加電源U0例可用以判斷靜電場問題解的正確性。圖示無限長同軸電纜，內(nèi)導體加電壓U，外導體接地，求內(nèi)外導體間的電場分布。下頁上頁例R1R2U解一應用高斯定律任一點的電位下頁上頁R1R2U解二解邊值問題，場為軸對稱，取圓柱坐標通解邊界條件圖示長度為l的同軸電纜（l>>R），內(nèi)外導體帶電荷Q，求內(nèi)外導體間的電場分布。下頁上頁例解一應用高斯定律，以外導體為電位參考R1R2Q-Q解二解邊值問題，通解邊界條件圖示充以兩種介質(zhì)的無限長同軸電纜，內(nèi)導體加電壓U，外導體接地，求內(nèi)外導體間的電場分布。下頁上頁例12R1R2R3解根據(jù)對稱性，選擇柱坐標，解邊值問題，通解邊界條件通解試求體電荷分布的球體產(chǎn)生的電位及電場。采用球坐標系,分區(qū)域建立方程邊界條件參考電位下頁上頁體電荷分布的球體例解電場強度（球坐標梯度公式）：得到

隨r變化曲線下頁上頁下頁上頁為一些間接計算方法提供理論依據(jù)。電力電容下頁上頁測量局部放電下頁上頁放電銅球下頁上頁小結一、概念電場強度E，電位移矢量D，極化強度P，電勢（位）ψ，電力線，等位面（線），偶極子，電介質(zhì)關系：E=-▽ψ，D=ε0E+P=εE二、靜電場中的基本方程靜電場是有源無旋場，電荷是靜電場的源。微分形式積分形式構成方程小結

D

的銜接條件D

的法向分量不連續(xù)

E的切向分量連續(xù)。E

的銜接條件