統(tǒng)計(jì)學(xué)之虛擬變量

本資料來(lái)源第七章含有定性信息的多元回歸模型---虛擬變量

一、虛擬變量的基本含義二、虛擬變量的引入三、虛擬變量的設(shè)置原則四、虛擬因變量的模型

---二值選擇的線性概率模型一、虛擬變量的基本含義許多經(jīng)濟(jì)變量是可以定量度量的，如：商品需求量、價(jià)格、收入、產(chǎn)量等。但也有一些影響經(jīng)濟(jì)變量的因素?zé)o法定量度量，如：職業(yè)、性別對(duì)收入的影響，戰(zhàn)爭(zhēng)、自然災(zāi)害對(duì)GDP的影響，季節(jié)對(duì)某些產(chǎn)品（如冷飲）銷售的影響等等。為了在模型中能夠反映這些因素的影響，并提高模型的精度，需要將它們“量化”。

這種“量化”通常是通過(guò)引入“虛擬變量”來(lái)完成的。根據(jù)這些因素的屬性類型，構(gòu)造只取“0”或“1”的人工變量，通常稱為虛擬變量（dummyvariables），記為D。例如，反映文化程度的虛擬變量可取為：

1，本科學(xué)歷

D=0，非本科學(xué)歷

一般地，在虛擬變量的設(shè)置中：基礎(chǔ)類型、肯定類型取值為1；比較類型，否定類型取值為0。概念：

同時(shí)含有一般解釋變量與虛擬變量的模型稱為虛擬變量模型或者方差分析（analysis-ofvariance:ANOVA）模型。一個(gè)以性別為虛擬變量考察企業(yè)職工薪金的模型：其中：Yi為企業(yè)職工的薪金，Xi為工齡，

Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。二、虛擬變量的引入

虛擬變量做為解釋變量引入模型有兩種基本方式：加法方式和乘法方式。

上述企業(yè)職工薪金模型中性別虛擬變量的引入采取了加法方式。在該模型中，如果仍假定E(i)=0，則

企業(yè)女職工的平均薪金為：1.加法方式

企業(yè)男職工的平均薪金為：幾何意義：

假定2>0，則兩個(gè)函數(shù)有相同的斜率，但有不同的截距。意即，男女職工平均薪金對(duì)工齡的變化率是一樣的，但兩者的平均薪金水平相差2?？梢酝ㄟ^(guò)傳統(tǒng)的回歸檢驗(yàn)，對(duì)2的統(tǒng)計(jì)顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，以判斷企業(yè)男女職工的平均薪金水平是否有顯著差異。02

又例：在橫截面數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，考慮個(gè)人保健支出對(duì)個(gè)人收入和教育水平的回歸。

教育水平考慮三個(gè)層次：高中以下，高中，大學(xué)及其以上。

這時(shí)需要引入兩個(gè)虛擬變量：模型可可設(shè)定定如下下：在E(i)=0的初始始假定定下，，高中中以下下、高高中、、大學(xué)學(xué)及其其以上上教育育水平平下個(gè)個(gè)人保保健支支出的的函數(shù)數(shù)：高中以以下：：高中：：大學(xué)及及其以以上：：假定定3>2，其其幾幾何何意意義義：：還可可將將多多個(gè)個(gè)虛虛擬擬變變量量引引入入模模型型中中以以考考察察多多種種““定定性性””因因素素的的影影響響。。如在上上述述職職工工薪薪金金的的例例中中，，再再引引入入代代表表學(xué)學(xué)歷歷的的虛虛擬擬變變量量D2：本科科及及以以上上學(xué)學(xué)歷歷本科科以以下下學(xué)學(xué)歷歷職工工薪薪金金的的回回歸歸模模型型可可設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)為為：：女職職工工本本科科以以下下學(xué)學(xué)歷歷的的平平均均薪薪金金：：女職職工工本本科科以以上上學(xué)學(xué)歷歷的的平平均均薪薪金金：：于是是，，不不同同性性別別、、不不同同學(xué)學(xué)歷歷職職工工的的平平均均薪薪金金分分別別為為：：男職職工工本本科科以以下下學(xué)學(xué)歷歷的的平平均均薪薪金金：：男職職工工本本科科以以上上學(xué)學(xué)歷歷的的平平均均薪薪金金：：2.乘法法方方式式加法法方方式式引引入入虛虛擬擬變變量量，，考考察察：：截距距的的不不同同。。許多多情情況況下下：：往往往往是是斜斜率率就就有有變變化化，，或斜斜率率、、截截距距同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生變變化化。斜率率的的變變化化可可通通過(guò)過(guò)以以乘乘法法的的方方式式引引入入虛虛擬擬變變量量來(lái)來(lái)測(cè)測(cè)度度。例：根據(jù)據(jù)消消費(fèi)費(fèi)理理論論，，消消費(fèi)費(fèi)水水平平C主要要取取決決于于收收入入水水平平Y(jié)，但但在在一一個(gè)個(gè)較較長(zhǎng)長(zhǎng)的的時(shí)時(shí)期期，，人人們們的的消消費(fèi)費(fèi)傾傾向向會(huì)會(huì)發(fā)發(fā)生生變變化化，，尤尤其其是是在在自自然然災(zāi)災(zāi)害害、、戰(zhàn)戰(zhàn)爭(zhēng)爭(zhēng)等等反反常常年年份份，，消消費(fèi)費(fèi)傾傾向向往往往往出出現(xiàn)現(xiàn)變變化化。。這這種種消消費(fèi)費(fèi)傾傾向向的的變變化化可可通通過(guò)過(guò)在在收收入入的的系系數(shù)數(shù)中中引引入入虛虛擬擬變變量量來(lái)來(lái)考考察察。。如，設(shè)消費(fèi)模型型可建立立如下：：這里，虛虛擬變量量D以與X相乘的方方式引入入了模型型中，從從而可用用來(lái)考察察消費(fèi)傾傾向的變變化。假定E(i)=0，上述模型型所表示示的函數(shù)數(shù)可化為為：正常年份份：反常年份份：當(dāng)截距與與斜率發(fā)發(fā)生變化化時(shí)，則則需要同同時(shí)引入入加法與與乘法形形式的虛虛擬變量量。例，考察1990年前后的的中國(guó)居居民的總總儲(chǔ)蓄-收入關(guān)系系是否已已發(fā)生變變化。表中給出出了中國(guó)國(guó)1979~2001年以城鄉(xiāng)鄉(xiāng)儲(chǔ)蓄存存款余額額代表的的居民儲(chǔ)儲(chǔ)蓄以及及以GNP代表的居居民收入入的數(shù)據(jù)據(jù)。以Y為儲(chǔ)蓄，，X為收入，，可令：：1990年前：Yi=1+2Xi+1ii=1,2…,n11990年后：Yi=1+2Xi+2ii=1,2…,n2則有可能能出現(xiàn)下下述四種種情況中中的一種種：(1)1=1，且2=2，即兩兩個(gè)回回歸相相同，，稱為為重合回回歸（CoincidentRegressions）；(2)11,但2=2，即兩兩個(gè)回回歸的的差異異僅在在其截截距，，稱為為平行回回歸（ParallelRegressions）;(3)1=1，但22，即兩兩個(gè)回回歸的的差異異僅在在其斜斜率，，稱為為匯合回回歸(ConcurrentRegressions)；(4)11，且22，即兩兩個(gè)回回歸完完全不不同，，稱為為相異回回歸（DissimilarRegressions）。平行回回歸匯合回回歸相異回回歸可以運(yùn)運(yùn)用鄒氏結(jié)結(jié)構(gòu)變變化的的檢驗(yàn)驗(yàn)。這一一問(wèn)題題也可可通過(guò)過(guò)引入入乘法法形式式的虛虛擬變變量來(lái)來(lái)解決決。將n1與n2次觀察察值合合并，，并用用以估估計(jì)以以下回回歸：：Di為引入入的虛虛擬變變量：：于是有有：可分別別表示示1990年后期與前期的儲(chǔ)蓄蓄函數(shù)數(shù)。在統(tǒng)計(jì)計(jì)檢驗(yàn)驗(yàn)中，，如果果3=0的假設(shè)設(shè)被拒拒絕，，則說(shuō)說(shuō)明兩兩個(gè)時(shí)時(shí)期中中儲(chǔ)蓄蓄函數(shù)數(shù)的截截距不不同，，如果4=0的假設(shè)設(shè)被拒拒絕，，則說(shuō)說(shuō)明兩兩個(gè)時(shí)時(shí)期中中儲(chǔ)蓄蓄函數(shù)數(shù)的斜斜率不不同。。具體的的回歸歸結(jié)果果為：：(-6.11)(22.89)(4.33)(-2.55)由3與4的t檢驗(yàn)可可知：：參數(shù)數(shù)顯著著地不不等于于0，強(qiáng)烈烈示出出兩個(gè)個(gè)時(shí)期期的回回歸是是相異異的，，儲(chǔ)蓄函函數(shù)分分別為為：1990年前：：1990年后：=0.9836鄒氏結(jié)構(gòu)變變化的檢驗(yàn)驗(yàn)和虛擬變變量法的比比較鄒檢驗(yàn)只是是告訴我們們結(jié)構(gòu)是否否已經(jīng)變化化，而不能能告訴我們們當(dāng)有變化化時(shí)候是因因?yàn)橹皇切毙甭氏喈惢蚧蛑皇墙鼐嗑嘞喈悾蚧騼烧呔嘞喈?。但是是虛擬變量量法不僅告告訴我們兩兩個(gè)回歸是是否有差異異，而且落落實(shí)到差異異的起因——由于截距或或由于斜率率或由于兩兩者。我們只要做做一個(gè)回歸歸，因?yàn)槠淦渌幕貧w歸可以方便便地由它導(dǎo)導(dǎo)出。這個(gè)單一的的回歸可以以用來(lái)做各各種假設(shè)檢檢驗(yàn)。由于合并而而增加了自自由度，參參數(shù)估計(jì)的的相對(duì)精度度也有所改改進(jìn)。3.臨界指標(biāo)的的虛擬變量量的引入（（分段回歸歸）在經(jīng)濟(jì)發(fā)生生轉(zhuǎn)折時(shí)期期，可通過(guò)過(guò)建立臨界界指標(biāo)的虛虛擬變量模模型來(lái)反映映。例如，進(jìn)口消費(fèi)品品數(shù)量Y主要取決于于國(guó)民收入入X的多少，中中國(guó)在改革革開放前后后，Y對(duì)X的回歸關(guān)系系明顯不同同。則進(jìn)口消費(fèi)費(fèi)品的回歸歸模型可建建立如下：：這時(shí)，可以以t*=1979年為轉(zhuǎn)折期期，以1979年的國(guó)民收收入Xt*為臨界值，，設(shè)如下虛虛擬變量：：OLS法得到該模模型的回歸歸方程為：：則兩時(shí)期進(jìn)進(jìn)口消費(fèi)品品函數(shù)分別別為：當(dāng)t<t*=1979年，當(dāng)tt*=1979年，三、虛擬變變量的設(shè)置置原則虛擬擬變變量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)須須按按以以下下原原則則確確定定：：每一一定定性性變變量量所所需需的的虛虛擬擬變變量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)要要比比該該定定性性變變量量的的類類別別數(shù)數(shù)少少1，即即如如果果有有m個(gè)定定性性變變量量，，只只在在模模型型中中引引入入m-1個(gè)虛虛擬擬變變量量。。例已知冷飲的銷銷售量Y除受k種定量變量Xk的影響外，還還受春、夏、、秋、冬四季季變化的影響響，要考察該該四季的影響響，只需引入入三個(gè)虛擬變變量即可：則冷飲銷售