二階常微分方程

二階常微分方程第一頁，共三十三頁，2022年，8月28日二階常微分方程常用齊次定解問題數(shù)學(xué)物理中的對(duì)稱性特殊函數(shù)常微分方程常微分方程的級(jí)數(shù)解法斯圖姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題本章小結(jié)第二頁，共三十三頁，2022年，8月28日常用齊次定解問題常用齊次定解問題的要素常用齊次定解問題的分類拉普拉斯算符的形式拉普拉斯算符形式的推導(dǎo)第三頁，共三十三頁，2022年，8月28日常用齊次定解問題要素第四頁，共三十三頁，2022年，8月28日常用齊次定解問題的分類直角坐標(biāo)極坐標(biāo)球坐標(biāo)穩(wěn)定方程演化方程√√√??！

×第五頁，共三十三頁，2022年，8月28日拉普拉斯算符的形式二維三維直角坐標(biāo)極柱坐標(biāo)球坐標(biāo)第六頁，共三十三頁，2022年，8月28日極坐標(biāo)下拉普拉斯算符形式的推導(dǎo)極坐標(biāo)下的形式直角坐標(biāo)下的形式坐標(biāo)變換關(guān)系微分變換關(guān)系第七頁，共三十三頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)物理中的對(duì)稱性對(duì)稱性的概念定義：對(duì)稱性就是在某種變換下的不變性分類對(duì)稱性的描述對(duì)稱性原理當(dāng)定解問題的泛定方程和定解條件都具有某種對(duì)稱性時(shí)，它的解也具有同樣的對(duì)稱性。對(duì)稱性的應(yīng)用第八頁，共三十三頁，2022年，8月28日對(duì)稱性的分類第九頁，共三十三頁，2022年，8月28日對(duì)稱性的描述對(duì)稱性名稱對(duì)稱條件對(duì)稱函數(shù)沿z軸反演對(duì)稱沿z軸平移對(duì)稱繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱第十頁，共三十三頁，2022年，8月28日對(duì)稱性的應(yīng)用—柱坐標(biāo)輸運(yùn)方程對(duì)稱性未知函數(shù)泛定方程無任何對(duì)稱性沿z軸平移對(duì)稱繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱雙重對(duì)稱第十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日特殊函數(shù)常微分方程球坐標(biāo)下拉普拉斯方程的分離變量一般情況歐拉方程，球函數(shù)方程，連帶勒讓德方程軸對(duì)稱情況勒讓德方程極坐標(biāo)下熱傳導(dǎo)方程的分離變量一般情況亥姆霍茲方程，貝塞爾方程軸對(duì)稱情況第十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日球坐標(biāo)下拉普拉斯方程第十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日球坐標(biāo)下拉普拉斯方程第十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日極坐標(biāo)下熱傳導(dǎo)方程第十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日常微分方程的級(jí)數(shù)解法常微分方程中點(diǎn)的分類各點(diǎn)鄰域級(jí)數(shù)解的形式勒讓德方程的級(jí)數(shù)解貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解第十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日常微分方程中點(diǎn)的分類二階變系數(shù)常微分方程的一般形式w”+p(z)w’+q(z)w=0方程中點(diǎn)的分類常點(diǎn)：z0

是p(z)和q(z)的解析點(diǎn)正則奇點(diǎn)：z0

是(z-z0)p和(z-z0)2q的解析點(diǎn)非正則奇點(diǎn)：其它情況第十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日各點(diǎn)鄰域級(jí)數(shù)解的形式非正則奇點(diǎn)z0鄰域有一解為常點(diǎn)z0鄰域兩解均為正則奇點(diǎn)z0鄰域有一解為其中s由判定方程確定a0≠0第十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日勒讓德方程的級(jí)數(shù)解第十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日勒讓德方程的級(jí)數(shù)解第二十頁，共三十三頁，2022年，8月28日勒讓德方程的級(jí)數(shù)解第二十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日勒讓德方程的級(jí)數(shù)解性質(zhì)：奇偶性：y0為偶函數(shù)，y1為奇函數(shù)；退化性：l

為非負(fù)整數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)解退化為多項(xiàng)式；收斂性：特解的收斂半徑為1；有界性：在x=±1時(shí)，非退化級(jí)數(shù)解發(fā)散。第二十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解ak<0=0第二十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解第二十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解性質(zhì)：奇偶性：m為奇偶整數(shù)時(shí)，Jm和Nm為奇偶函數(shù)；收斂性：特解的收斂半徑為∞；有界性：在x→0，m≥0時(shí),Jm有界，Nm發(fā)散。第二十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日斯圖姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題本征值問題本征值：使帶邊界條件的常微分方程有非零解的參數(shù)值本征函數(shù)：相應(yīng)的非零解本征值問題：求本征值和本征函數(shù)的問題斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型方程斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型邊界條件斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題的性質(zhì)可數(shù)性：存在可數(shù)無限多個(gè)本征值；非負(fù)性：所有本征值均為非負(fù)數(shù)；正交性：對(duì)應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)帶權(quán)正交；完備性：滿足邊界條件的光滑函數(shù)可以按本征函數(shù)展開。第二十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型方程其中k(x)、q(x)和ρ(x)都非負(fù)；k(x)、k’(x)和q(x)連續(xù)或以端點(diǎn)為一階極點(diǎn)。斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型邊界條件三類齊次邊界條件周期性邊界條件有界性邊界條件第二十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題abkqρ

本征值問題0L1010L101-111-x2010bxm2/xx第二十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日本征函數(shù)集合的正交性和完備性正交性完備性展開系數(shù)第二十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日本征函數(shù)集合的正交性和完備性例題1問題本征函數(shù)正交性完備性第三十頁，共三十三頁，2022年，8月28日本征函數(shù)集合的正交性和完備性例題2問題