數(shù)據(jù)信號處理 離散傅里葉變換(DFT)

3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應(yīng)用舉例第3章離散傅里葉變換(DFT)2023/1/1623.1引言1.FT：非周期連續(xù)時間信號的傅立葉變換

2.周期連續(xù)時間信號的傅立葉變換3.DTFT：非周期序列的傅立葉變換4.DFS：周期序列的離散傅立葉級數(shù)5.ZT：非周期序列的Z變換2023/1/1633.3離散傅里葉變換（DFT）的定義3.3.1DFT的定義設(shè)x(n)是一個長度為M的有限長序列，則定義x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為X(k)的離散傅里葉逆變換為離散傅里葉變換對2023/1/164

式中，N稱為DFT變換區(qū)間長度N≥M。下面證明IDFT［X(k)］的唯一性。把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有2023/1/165

例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)DFT

。

解：（1）設(shè)變換區(qū)間N=4，則所以，在變換區(qū)間上滿足下式：

IDFT［X(k)］=x(n),0≤n≤N-1由此可見，(3.1.2)式定義的離散傅里葉變換是唯一的。

2023/1/166設(shè)變換區(qū)間N=8，則：2023/1/167圖3.1.1R4(n)的FT和DFT的幅度特性關(guān)系2023/1/1683.3.2DFT和FT、ZT的關(guān)系設(shè)序列x(n)的長度為N，其ZT、FT和DFT分別為：三式有什么關(guān)系？2023/1/169比較上面三式可得ZT和DFT的關(guān)系：圖3.1.1(a)X(k)與X(z)的關(guān)系2023/1/1610圖3.1.1(b)X(k)與X(ejω)的關(guān)系2023/1/16113.3.3DFT的隱含周期性DFT變換對公式中，x(n)與X(k)均為有限長序列，但由于WNkn的周期性，使DFT變換對公式中的X(k)隱含周期性，且周期均為N。對任意整數(shù)m，總有：所以(3.1.1)式中，X(k)滿足：同理可證明(3.1.2)式中：

2023/1/1612

實(shí)際上，任何周期為N的周期序列可以看作長度為N的有限長序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)則是的一個周期，即：

式中x((n))N表示x(n)以N為周期的周期延拓序列，((n))N表示n對N求余，即如果：

n=MN+n1，0≤n1≤N-1，M為整數(shù)，則：((n))N=n12023/1/1613圖3.1.2有限長序列及其周期延拓2023/1/1614

如果x(n)的長度為N，且，則可寫出的離散傅里葉級數(shù)為：(3.1.8)(3.1.9)式中

(3.1.10)X(k)反映了x((n))N的頻譜特性2023/1/1615DFT與DFS的關(guān)系圖示：DFT主值區(qū)域周期沿拓周期沿拓主值區(qū)域IDFTIDFSDFS2023/1/16163.3.4用MATLAB計算序列的DFT

MATLAB提供了用快速傅里葉變換算法FFT(算法見第4章介紹)計算DFT的函數(shù)fft，其調(diào)用格式如下:Xk=fft(xn,N)；xn為被變換的時域序列向量，N是DFT變換區(qū)間長度，一般地，N大于xn的長度。函數(shù)返回xn的N點(diǎn)DFT變換結(jié)果向量Xk。

Ifft函數(shù)計算IDFT，其調(diào)用格式與fft函數(shù)相同，可參考help文件。2023/1/1617

3.4離散傅里葉變換的基本性質(zhì)

3.4.1線性性質(zhì)如果x1(n)和x2(n)是兩個有限長序列，長度分別為N1和N2,且y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b為常數(shù)，即N=max［N1,N2］，則y(n)的N點(diǎn)DFT為：Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bX2(k),0≤k≤N-1(3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。2023/1/1618

3.4.2序列循環(huán)移位性質(zhì)1.序列的循環(huán)移位設(shè)x(n)為有限長序列，長度為N，則x(n)的循環(huán)移位定義為：

y(n)=x((n+m))NRN(n)(3.2.2)周期沿拓左移m點(diǎn)取主值循環(huán)移位的實(shí)質(zhì)是將x(n)左移m位，而移出主值區(qū)的序列值又依次從右側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。2023/1/1619圖3.2.1循環(huán)移位過程示意圖2023/1/1620

2.時域循環(huán)移位定理設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，y(n)為x(n)的循環(huán)移位，即

y(n)=x((n+m))NRN(n)則

(3.2.3)其中X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1。2023/1/1621證明：

令n+m=n′，則有在一個周期內(nèi)求和2023/1/1622

由于上式中求和項(xiàng)以N為周期，所以對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)間，則得：

2023/1/16233.頻域循環(huán)移位定理如果：

則：證明：略。2023/1/16243.2.3循環(huán)卷積定理

時域循環(huán)卷積定理是DFT中最重要的定理，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。已知系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，計算系統(tǒng)的輸出，以及FIR濾波器用FFT實(shí)現(xiàn)等，都是基于該定理的。下面首先介紹循環(huán)卷積的概念和計算循環(huán)卷積的方法，然后介紹循環(huán)卷積定理。

1．兩個有限長序列的循環(huán)卷積設(shè)序列h(n)和x(n)的長度分別為N和M。h(n)與x(n)的L點(diǎn)循環(huán)卷積定義為： 2023/1/1625式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度，L≥max［N，M］。上式顯然與第1章介紹的線性卷積不同，為了區(qū)別線性卷積，用表示線性卷積，用表示L點(diǎn)循環(huán)卷積，即yc(n)=h(n)

x(n)。觀察（3.2.5）式，x((n－m))L是以L為周期的周期信號，n和m的變化區(qū)間均是［0,L－1］，因此直接計算該式比較麻煩。計算機(jī)中采用矩陣相乘或快速傅里葉變換（FFT）的方法計算循環(huán)卷積。不進(jìn)位乘法2023/1/1626

定義中，x(n)、h(n)、yc(n)長度均認(rèn)為是L，不夠長的補(bǔ)零。1o

n=0,m=0,1,…,L－1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成x(n)的循環(huán)倒相序列為序列x(n)進(jìn)行對比，相當(dāng)于將第一個序列值x(0)不動，將后面的序列反轉(zhuǎn)180°再放在x(0)的后面。循環(huán)卷積的矩陣實(shí)現(xiàn)：2023/1/16272o令n=1,m=0,1,…,L-1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成的序列為3o再令n=2,m=0,1,…,L－1，此時得到的序列又是上面的序列向右循環(huán)移1位。。。。依次類推，當(dāng)n和m均從0變化到L-1時，得到一個關(guān)于x((n－m)L的矩陣如下：2023/1/1628

（3.2.6）上面矩陣稱為x(n)的L點(diǎn)“循環(huán)卷積矩陣”，其特點(diǎn)是:（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循環(huán)倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。（3）矩陣的各主對角線上的序列值均相等。則：2023/1/1629（3.2.7）按照上式，可以在計算機(jī)上用矩陣相乘的方法計算兩個序列的循環(huán)卷積，這里關(guān)鍵是先形成循環(huán)卷積矩陣。上式中如果h(n)的長度N<L，則需要在h(n)末尾補(bǔ)L－N個零。2023/1/1630

【例3.2.1】計算下面給出的兩個長度為4的序列h(n)與x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積。

解按照式（3.2.21）寫出h(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為2023/1/1631h(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為2023/1/1632h(n)和x(n)及其4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果分別如圖3.2.2(a)、(b)、(c)和(d)所示。經(jīng)驗(yàn)證本例的8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果等于h(n)與x(n)的線性卷積結(jié)果。后面將證明，當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長度L大于等于y(n)=h(n)*x(n)的長度時，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。2023/1/1633

圖3.2.2序列及其循環(huán)卷積波形2023/1/1634

2.循環(huán)卷積定理

有限長序列x1(n)和x2(n)的長度分別為N1和N2，N=max［N1,N2］，x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)循環(huán)卷積為:

（3.2.8）則x(n)的N點(diǎn)DFT為

其中（3.2.5）N

時域卷積，頻域相乘時域循環(huán)卷積定理

2.循環(huán)卷積定理

有限長序列x1(n)和x2(n)的長度分別為N1和N2，N=max［N1,N2］，x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)循環(huán)卷積為:

（3.2.8）則x(n)的N點(diǎn)DFT為

其中2023/1/1635

證明：

直接對(3.2.5)式兩邊進(jìn)行DFT，則有2023/1/1636令n－m=n′，則有因?yàn)樯鲜街?/p>

是以N為周期的，所以對其在任一個周期上求和的結(jié)果不變。因此2023/1/1637由于，因此即循環(huán)卷積亦滿足交換律。

N

N

2023/1/1638

作為習(xí)題請證明以下頻域循環(huán)卷積定理:如果x(n)=x1(n)x2(n)，則(3.2.6)N

時域相乘，頻域卷積2023/1/1639或

式中N

頻域循環(huán)卷積定理2023/1/16403.2.4復(fù)共軛序列的DFT

設(shè)x*(n)是x(n)的復(fù)共軛序列，長度為N，

X(k)=DFT［x(n)］則

DFT［x*(n)］=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.7)

且

X(N)=X(0)2023/1/1641證明：根據(jù)DFT的唯一性，只要證明(3.2.7)式右邊等于左邊即可。

又由X(k)的隱含周期性有X(N)=X(0)

用同樣的方法可以證明

DFT［x*(N-n)］=X*(k)(3.2.8)2023/1/1642

3.2.5DFT的共軛對稱性

1.有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列用xep(n)和xop(n)分別表示有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列，則二者滿足如下定義式：

xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1(3.2.9)xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1(3.2.10)

當(dāng)N為偶數(shù)時，將上式中的n換成N/2-n可得到:2023/1/1643圖3.2.3共軛對稱與共軛反對稱序列示意圖（N為偶數(shù)）2023/1/1644(3.2.14)

(3.2.16a)

(3.2.16b)任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和，即:其中，2023/1/1645

2．DFT的共軛對稱性

(1)如果將x(n)表示為x(n)=xr(n)+jxi(n)(3.2.17)其中那么，由(3.2.11)式和(3.2.16a)式可得2023/1/16462023/1/1647

(2)如果將x(n)表示為

綜上，可總結(jié)出DFT的共軛對稱性質(zhì)：如果序列x(n)的DFT為X(k)，則x(n)的實(shí)部和虛部（包括j）的DFT分別為X(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的DFT分別為X(k)的實(shí)部和虛部乘以j。則：2023/1/1648有限長實(shí)序列的共軛對稱性：設(shè)x(n)是長度為N的實(shí)序列，且X(k)=DFT［x(n)］，則：

(1)X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.19)(2)如果x(n)=x(N-m)則X(k)實(shí)偶對稱，即：X(k)=X(N-k)(3.2.20)(3)如果x(n)=-x(N-n)，則X(k)純虛奇對稱，即：X(k)=-X(N-k)

(3.2.21)

復(fù)序列純虛序列？2023/1/1649

實(shí)際中經(jīng)常需要對實(shí)序列進(jìn)行DFT，利用上述對稱性質(zhì)，可減少DFT的運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率。例如，計算實(shí)序列的N點(diǎn)DFT時，當(dāng)N=偶數(shù)時，只需計算X(k)的前面N/2+1點(diǎn)，而N=奇數(shù)時，只需計算X(k)的前面(N+1)/2點(diǎn)，其他點(diǎn)按照(3.2.19)式即可求得。例如，X(N－1)=X*(1),X(N－2)=X*(2),…這樣可以減少近一半運(yùn)算量。

【例3.2.2】

利用DFT的共軛對稱性，設(shè)計一種高效算法，通過計算一個N點(diǎn)DFT，就可以計算出兩個實(shí)序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。解構(gòu)造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，對x(n)進(jìn)行DFT，得到：2023/1/1650由(3.2.17)、(3.2.18)和(3.2.19)式得到：所以，由X(k)可以求得兩個實(shí)序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT：2023/1/16511.線性性？2.循環(huán)移位性？5.DFT的共軛對稱性？3.2回顧與總結(jié)：3.循環(huán)卷積定理？4.復(fù)共軛序列的DFT？2023/1/1652

周期序列的離散Fourier級數(shù)的系數(shù)的主值和的一個周期的z變換在單位圓上N個等分點(diǎn)上的抽樣值相等。那么，反過來，對于任意的序列，能否用頻域的抽樣值去逼近？需要有什么限制條件？3.3頻率域采樣2023/1/1653一、任意序列x(n)的頻域值：二、在單位圓上對X(z)等間隔采樣N點(diǎn)，在對等間隔采樣N點(diǎn)，得到：2023/1/16542023/1/1655記：xN(n)=IDFT［X(k)］，0≤n≤N-1，由DFT與DFS的關(guān)系可知，X(k)是xN(n)以N為周期的周期延拓序列的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)的主值序列，即：1.與有什么關(guān)系？

2.采樣值X(k)與N有關(guān)，即N決定了能不能從X(k)恢復(fù)原信號x(n)；

3.什么條件下可以由X(k)恢復(fù)x(n)？思考？2023/1/1656將式(3.3.1)代入上式，得：三、證明：2023/1/1657所以，(3.3.3)式中(3.3.2)所以，什么意思？頻域離散化，時域周期化2023/1/1658四、結(jié)論：頻域采樣定理如果序列x(n)的長度為M，則N≥M時：

xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n)

即，可由頻域采樣X(k)恢復(fù)原序列x(n)。如果序列x(n)的長度為M，則N<M時：

產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。如果序列x(n)不是有限長序列，則時域混疊。頻域抽樣越密（即N越大），誤差越小。

2023/1/1659

五、用頻域采樣X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)。設(shè)序列x(n)長度為M，在頻域0~2π之間等間隔采樣N點(diǎn)，N≥M，則有2023/1/1660等比數(shù)列求和交換求和順序(3.3.4)權(quán)插值函數(shù)插值公式2023/1/1661(3.3.5)(3.3.6)式(3.3.6)稱為用X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式，φk(z)稱為內(nèi)插函數(shù)。2023/1/1662當(dāng)z=ejω時，(3.3.5)式和(3.3.6)式就成為x(n)的傅里葉變換X(ejω)的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式，即：進(jìn)一步化簡可得：(3.3.7)(3.3.8)2023/1/16631.頻域采樣值X(k)的IDFT與原始序列的關(guān)系？2.頻域采樣定理？3.頻域插值？3.3回顧與總結(jié)：2023/1/16643.4DFT的應(yīng)用舉例

3.4.1用DFT計算線性卷積1.

循環(huán)卷積的計算方法一（在時域計算）：如果：則由時域循環(huán)卷積定理有

Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),0≤k≤L-10≤k≤L-12023/1/1665

循環(huán)卷積的計算方法二（在頻域計算）：由于DFT有快速算法FFT，當(dāng)N很大時，在頻域計算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)計算循環(huán)卷積。

圖3.4.1用DFT計算循環(huán)卷積2023/1/1666

2.線性卷積的計算：希望用DFT(FFT)計算線性卷積。而DFT只能直接用來計算循環(huán)卷積，為此導(dǎo)出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件。假設(shè)h(n)和x(n)都是有限長序列，長度分別是N和M。它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下：

(3.4.1)(3.4.2)其中，L≥max［N,M］，2023/1/1667對照式(3.4.1)可以看出，上式中

(3.4.3)2023/1/1668圖3.4.2線性卷積與循環(huán)卷積2023/1/1669圖3.4.3用DFT計算線性卷積框圖2023/1/1670重疊相加法：設(shè)序列h(n)長度為N，x(n)為無限長序列。將x(n)均勻分段，每段長度取M，則于是，h(n)與x(n)的線性卷積可表示為(3.4.4)2023/1/1671圖3.4.4重疊相加法卷積示意圖2023/1/16723.4.2用DFT對信號進(jìn)行譜分析

1．用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析目的：時域頻域都離散化，便于計算機(jī)處理。連續(xù)信號xa(t)連續(xù)函數(shù)Xa(jΩ)

離散信號xa(nT)離散信號X(k)X(k)則是x(n)的傅里葉變換X(ejω)在頻率區(qū)間［0，2π］上的N點(diǎn)等間隔采樣。這里x(n)和X(k)均為有限長序列。FTDFT2023/1/1673用DFT對信號進(jìn)行譜分析是一個近似的過程：FT要求：“時域有限，頻域無限”；“頻域有限，時域無限”；DFT要求：時域頻域均有限。工程上經(jīng)過預(yù)處理：頻譜很寬的信號，預(yù)濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使連續(xù)信號的帶寬小于折疊頻率。對于持續(xù)時間很長的信號，截取有限點(diǎn)進(jìn)行DFT。用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行頻譜分析必然是近似的，其近似程度與信號帶寬、采樣頻率和截取長度有關(guān)。矛盾2023/1/1674用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析的過程：x(n)d(n)信號的頻譜分析：計算信號的傅立葉變換xa(t)Xa(jΩ)x(n)xN((n))NxN(n)Xa(ejw)XN((k))NXN(k)抽樣t=nTs截短周期延拓周期延拓取一個周期周期延拓Ωs=2π/TsXa(ejw)*D(ejw)卷積抽樣Ω0=Ω/N周期延拓取一個周期FTDTFTDTFTDFSDFT如何利用XN(k)近似Xa(jΩ)?2023/1/1675一、假設(shè)xa(t)是經(jīng)過預(yù)濾波和截取處理的有限長帶限信號。已知連續(xù)信號xa(t)持續(xù)時間為Tp，最高頻率為fc，如圖3.4.6(a)所示。xa(t)的傅里葉變換記為Xa(jΩ)。二、對xa(t)進(jìn)行時域采樣得到x(n)=xa(nT)，x(n)的傅里葉變換為X(ejω)。由假設(shè)條件可知x(n)的長度為

(3.4.5)式中，T為采樣間隔，F(xiàn)s=1/T為采樣頻率。三、計算X(k)=DFT[x(n)]N2023/1/1676

下面推導(dǎo)出X(k)與Xa(jΩ)的關(guān)系：1）x(n)的傅里葉變換X(ejω)與xa(t)的傅里葉變換Xa(jΩ)的關(guān)系：將ω=ΩT代入上式，得到:

(3.4.6)式中def2023/1/16772）X(k)與X(ejω)的關(guān)系：由x(n)的N點(diǎn)DFT的定義有3）X(k)與Xa(jΩ)的關(guān)系：將(3.4.7)式代入(3.4.6)式,得到：

(3.4.8)(3.4.7)2023/1/1678def則（3.4.8）式變?yōu)椋河纱丝傻茫海?.4.10）(3.4.9)為了符合一般的頻譜描述習(xí)慣，以頻率f為自變量，令：2023/1/1679圖3.4.6用DFT分析連續(xù)信號譜的原理示意圖

2023/1/1680

因此，可以通過對連續(xù)信號采樣并進(jìn)行DFT再乘以T，近似得到模擬信號頻譜的周期延拓函數(shù)在第一個周期［0,fs］上的N點(diǎn)等間隔采樣。對滿足假設(shè)的持續(xù)時間有限的帶限信號，在滿足時域采樣定理時，包含了模擬信號頻譜的全部信息（k=0,1,2,…,N/2,表示正頻率頻譜采樣;k=N/2+1，N/2+2，…，N－1,表示負(fù)頻率頻譜采樣）。對實(shí)信號，其頻譜函數(shù)具有共軛對稱性，所以分析正頻率頻譜就足夠了。不存在頻譜混疊失真時，正頻率［0,Fs/2］頻譜采樣為2023/1/1681譜分析過程中的參數(shù)選擇：TP：xa(t)的持續(xù)時間；fc：xa(t)的最高頻率T或TS：采樣間隔；N：采樣點(diǎn)數(shù)Fs：采樣頻率F：頻率分辨率1.各參數(shù)之間的關(guān)系：2023/1/16822.譜分析范圍和頻率分辨率：譜分辨率F=Fs/N，如果保持采樣點(diǎn)數(shù)N不變，要提高頻譜分辨率(減小F)，就必須降低采樣頻率，采樣頻率的降低會引起譜分析范圍變窄和頻譜混疊失真。如維持Fs不變，為提高頻率分辨率可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N，因?yàn)?/p>

只有增加對信號的觀察時間Tp，才能增加N。Tp和N可以按照下面兩式進(jìn)行選擇：2023/1/1683

【例3.4.2】對實(shí)信號進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率F≤10Hz，信號最高頻率fc=2.5kHz，試確定最小記錄時間Tpmin，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。如果fc不變，要求譜分辨率提高1倍，最少的采樣點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時間是多少？解因此Tpmin=0.1s。因?yàn)橐驠s≥2fc，所以2023/1/1684

為使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整數(shù)冪，為此選用N=512點(diǎn)。為使頻率分辨率提高1倍，即F=5Hz，要求：用快速算法FFT計算時，選用N=1024點(diǎn)。上面分析了為提高譜分辨率，又保持譜分析范圍不變，必須增長記錄時間Tp，增加采樣點(diǎn)數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，這種提高譜分辨率的條件是必須滿足時域采樣定理，甚至采樣速率Fs取得更高。2023/1/1685

2．用DFT對序列進(jìn)行譜分析（了解）我們知道單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換，即X(ejω)是ω的連續(xù)周期函數(shù)。如果對序列x(n)進(jìn)行N點(diǎn)DFT得到X(k)，則X(k)是在區(qū)間［0，2π］上對X(ejω)的N點(diǎn)等間隔采樣，頻譜分辨率就是采樣間隔2π/N。因此序列的傅里葉變換可利用DFT(即FFT)來計算。2023/1/1686對周期為N的周期序列，由(2.3.10)式知道，其頻譜函數(shù)為其中2023/1/1687由于以N為周期，因而X(ejω)也是以2π為周期的離散譜，每個周期有N條譜線，第k條譜線位于ω=(2π/N)k處，代表的k次諧波分量。而且，譜線的相對大小與成正比。由此可見，周期序列的頻譜結(jié)構(gòu)可用其離散傅里葉級數(shù)系數(shù)表示。由DFT的隱含周期性知道，截取的主值序列，并進(jìn)行N點(diǎn)DFT，得到：（3.4.16）所以可用X(k)表示的頻譜結(jié)構(gòu)。2023/1/1688如果截取長度M等于的整數(shù)個周期，即M=mN，m為正整數(shù)，即（3.4.17）令n=n′＋iN;i=0,1,…,m－1;n′=0,1,…,N－1，則2023/1/1689因?yàn)?023/1/1690所以（3.4.18）由此可見，XM(k)也能表示的頻譜結(jié)構(gòu)，只是在k=im時，

，表示的i次諧波譜線，其幅度擴(kuò)大m倍。而其他k值時，XM(k)=0，當(dāng)然，X(i)與XM(im)對應(yīng)點(diǎn)頻率是相等的。所以，只要截取的整數(shù)個周期進(jìn)行DFT，就可得到它的頻譜結(jié)構(gòu)，達(dá)到譜分析的目的。2023/1/1691如果的周期預(yù)先不知道，可先截取M點(diǎn)進(jìn)行DFT，即再將截取長度擴(kuò)大1倍，截取比較XM(k)和X2M(k)，如果二者的主譜差別滿足分析誤差要求，則以XM(k)或X2M(k)近似表示的頻譜，否則，繼續(xù)將截取長度加倍，直至前后兩次分析所得主譜頻率差別滿足誤差要求。設(shè)最后截取長度為iM，則XiM(k0)表示ω=［2π/(iM)］k0點(diǎn)的譜線強(qiáng)度。2023/1/1692在很多實(shí)際應(yīng)用中，并非整個單位圓上的頻譜都很有意義。例如，對于窄帶信號，往往只希望對信號所在的一段頻帶進(jìn)行譜分析，這時便希望采樣能密集地在這段頻帶內(nèi)進(jìn)行，而帶外部分可完全不予考慮。另外，有時希望采樣點(diǎn)不局限于單位圓上。例如，語音信號處理中，常常需要知道系統(tǒng)極點(diǎn)所對應(yīng)的頻率，如果極點(diǎn)位置離單位圓較遠(yuǎn)，則其單位圓上的頻譜就很平滑，如圖3.4.8(a)所示，這時很難從中識別出極點(diǎn)對應(yīng)的頻率。2023/1/1693如果使采樣點(diǎn)軌跡沿一條接近這些極點(diǎn)的弧線或圓周進(jìn)行，則采樣結(jié)果將會在極點(diǎn)對應(yīng)的頻率上出現(xiàn)明顯的尖峰，如圖3.4.8(b)所示。這樣就能準(zhǔn)確地測定出極點(diǎn)頻率。對均勻分布在以原點(diǎn)為圓心的任何圓上的N點(diǎn)頻率采樣，可用DFT(FFT)計算，而沿螺旋弧線采樣，則要用線性調(diào)頻Z變換(Chirp－Z變換，簡稱CZT)計算。)110e(π2j-==NkrzkNk，，，，L2023/1/1694

圖3.4.8單位圓與非單位圓譜分析示意圖2023/1/1695例如，要求計算序列在半徑為r的圓上的頻譜，那么N個等間隔采樣點(diǎn)為，的頻譜分量為令，則2023/1/1696(3.4.19)上式說明，要計算x(n)在半徑為r的圓上的N點(diǎn)等間隔頻譜分量，可以先對x(n)乘以r－n，再計算N點(diǎn)DFT(FFT)即可得到。若要求x(n)分布在該圓的有限角度內(nèi)的N點(diǎn)等間隔頻譜采樣，可以在尾部補(bǔ)M－N個零，仍按(3.4.10)式用DFT分析整個圓上的M點(diǎn)等間隔頻譜，最后只取所需角度內(nèi)的N點(diǎn)等間待間隔采樣即可。顯然，這種方法的計算量大，效率低。下面要介紹的Chirp－Z變換可使這種譜分析的運(yùn)算量大大減少。2023/1/1697

3．Chirp－Z變換設(shè)序列x(n)長度為N，要求分析z平面上M點(diǎn)頻譜采樣值，設(shè)分析點(diǎn)zk為（3.4.20）式中A和W為復(fù)數(shù)，用極坐標(biāo)形式表示為(3.4.21)2023/1/1698式中，A0和W0為實(shí)數(shù)。當(dāng)k=0時，有

(3.4.22)由此可見，(3.4.20)式中，A決定譜分析起始點(diǎn)z0的位置，W0的值決定分析路徑的盤旋趨勢，φ0則表示兩個相鄰分析點(diǎn)之間的夾角。如果W0<1，則隨著k增大，分析點(diǎn)zk以φ0為步長向外盤旋；而W0>1時，向內(nèi)盤旋,如圖3.4.9所示。2023/1/1699圖3.4.9Chirp－Z變換分析頻點(diǎn)分布2023/1/16100將zk代入Z變換公式得到:利用下面的關(guān)系式：得到：2023/1/16101令

(3.4.23)(3.4.24)則

(3.4.25)2023/1/16102(3.4.25)式說明，長度為N的序列x(n)的M點(diǎn)Chirp-Z變換可通過預(yù)乘得到y(tǒng)(n)，再計算y(n)與h(n)的卷積v(k)，最后乘以

這三個步驟得到。計算方框圖如圖3.4.10所示。圖中，h(n)=

,看成一個數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)，輸出v(n)=y(n)*h(n)|n=k=V(k)。當(dāng)W0=1時，，是一個頻率隨時間線性增長的復(fù)指數(shù)序列。在雷達(dá)系統(tǒng)中，這樣的信號稱作線性調(diào)頻信號，并用專用詞匯Chirp表示，因此對上述變換起名為線性調(diào)頻Z變換，簡稱Chirp-Z變換(CZT)。2023/1/16103

圖3.4.10Chirp－Z變換的計算框圖2023/1/16104下面介紹用DFT(FFT)計算Chirp－Z變換的原理和實(shí)現(xiàn)步驟。首先要確定線性卷積的區(qū)間。由于序列x(n)的長度為N(即0≤n≤N－1)，因此y(n)的長度也是N，如圖3.4.11(a)所示。然而是無限長序列，v(n)=y(n)*h(n)必然是無限長序列。而譜分析點(diǎn)數(shù)為M，即我們只對0≤k≤M－1區(qū)間上的卷積結(jié)果感興趣，因此只要計算出V(k)=v(n)在區(qū)間［0~M－1］上的M個值就可以了。根據(jù)上述要求，只要截取區(qū)間［－(N－1)~M－1］上的h(n)就可以了。如圖3.4.11(b)所示，這時經(jīng)線性卷積所得v(n)長度為2N＋M－2。由(3.4.3)式知，y(n)Lh(n)是v(n)的周期延拓序列的主值序列，延拓周期為L，即2023/1/16105

圖3.4.11Chirp-Z變換中hL(n)的形成2023/1/16106而v(n)的非零區(qū)間為［－(N-1)，N＋M－2］。為了用循環(huán)卷積代替線性卷積計算出v(n)在［0~M－1］區(qū)間上的M個序列值，以L為周期進(jìn)行周期延拓時，［0，M－1］區(qū)間上不能有混疊，所以循環(huán)卷積區(qū)間長度L應(yīng)大于或等于N＋M－1。一般用快速卷積法(FFT算法)計算，故應(yīng)選擇L≥(N＋M－1)，同時又滿足L=2m(m為自然數(shù))的最小值。若選擇L=N＋M－1，那么y(n)尾部應(yīng)補(bǔ)M－1個零，并將h(n)從－(N－1)到M－1所截取的一段序列以L為周期進(jìn)行周期延拓，取主值序列形成hL(n)，如圖3.4.11(c)所示。L2023/1/16107這時可以用快速卷積法計算如上構(gòu)造的兩個序列y(n)和hL(n)的循環(huán)卷積。應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)選擇L=2m>N＋M－1時，y(n)應(yīng)補(bǔ)L－N個零點(diǎn)，而h(n)應(yīng)從M－L到M－1區(qū)間上截取［或按上述區(qū)間－N+1~M－1截取后在－N＋1點(diǎn)前面補(bǔ)L－(N＋M－1)個零點(diǎn)］后，以L為周期進(jìn)行周期延拓。2023/1/16108綜上所述，可歸納出具體計算步驟如下：

(1)形成hL(n)序列：

(2)

(3)

2023/1/16109

(4)Y(k)=DFT［y(n)］0≤k≤L－1

(5)計算Y(k)Y(k)；

(6)V(k)=IDFT［Y(m)H(m)］0≤k≤L－1

(7)與標(biāo)準(zhǔn)DFT(FFT)算法相比較，Chirp－Z變換有以下特點(diǎn)：

(1)輸入序列長度N和輸出序列長度不需要相等，且二者均可為素數(shù)。2023/1/16110

(2)分析頻率點(diǎn)zk的起始點(diǎn)z0及相鄰兩點(diǎn)的夾角φ０是任意的(即頻率分辨率是任意的)，因此可從任意頻率上開始，對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行窄帶高分辨率的譜分析。

(3)譜分析路徑可以是螺旋形的。

(4)當(dāng)

時，zk均勻分布在單位圓上，此時Chirp[CD*2]Z變換就是序列的DFT。因此可以說，DFT是Chirp－Z變換的特例。總之，Chirp－Z變換用作譜分析時，具有靈活、適應(yīng)性強(qiáng)和運(yùn)算效率高等優(yōu)點(diǎn)。2023/1/16111

4．用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問題

DFT(實(shí)際中用FFT計算)可用來對連續(xù)信號和數(shù)字信號進(jìn)行譜分析。在實(shí)際分析過程中，要對連續(xù)信號采樣和截斷，有些非時限數(shù)據(jù)序列也要截斷，由此可能引起分析誤差。下面分別對可能產(chǎn)生誤差的三種現(xiàn)象進(jìn)行討論。2023/1/16112

(1)混疊現(xiàn)象。

對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析時，首先要對其采樣，變成時域離散信號后才能用DFT(FFT)進(jìn)行譜分析。采樣速率Fs必須滿足采樣定理，否則會在ω=π(對應(yīng)模擬頻率f=Fs/2)附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。這時用DFT分析的結(jié)果必然在f=Fs/2附近產(chǎn)生較大誤差。因此，理論上必須滿足Fs≥2fc(fc為連續(xù)信號的最高頻率)。對Fs確定的情況，一般在采樣前進(jìn)行預(yù)濾波，濾除高于折疊頻率Fs/2的頻率成分，以免發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象。2023/1/16113

(2)柵欄效應(yīng)。

N點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間［0，2π］上對時域離散信號的頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，而采樣點(diǎn)之間的頻譜函數(shù)是看不到的。這就好像從N個柵欄縫隙中觀看信號的頻譜情況，僅得到N個縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。因此稱這種現(xiàn)象為柵欄效應(yīng)。由于柵欄效應(yīng)，有可能漏掉(擋住)大的頻譜分量。2023/1/16114

為了把原來被“柵欄”擋住的頻譜分量檢測出來，對有限長序列，可以在原序列尾部補(bǔ)零；對無限長序列，可以增大截取長度及DFT變換區(qū)間長度，從而使頻域采樣間隔變小，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)和采樣點(diǎn)位置，使原來漏掉的某些頻譜分量被檢測出來。對連續(xù)信號的譜分析，只要采樣速率Fs足夠高，且采樣點(diǎn)數(shù)滿足頻率分辨率要求(見(3.4.14)式)，就可以認(rèn)為DFT后所得離散譜的包絡(luò)近似代表原信號的頻譜。2023/1/16115(3)截斷效應(yīng)。實(shí)際中遇到的序列x(n)或者是連續(xù)信號可能是無限長