《探究直線與平面垂直的判定方法》設(shè)計(jì)賴啟煥

《探究直線與平面垂直的判定方法》教學(xué)設(shè)計(jì)福州金山在中學(xué)數(shù)學(xué)組賴起煥教材簡析“直線與平面垂直的判定”是高中數(shù)學(xué)人教A版必修二第二章第三節(jié)的內(nèi)容，是直線和平面相交中的一種特殊情況；是實(shí)際生活中常見的一種位置關(guān)系；是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象并概括出來的數(shù)學(xué)概念.直線與平面垂直它既是線線垂直的拓展，也是面面垂直的基礎(chǔ)，同時(shí)它為研究線面角、二面角等內(nèi)容進(jìn)行了必要的知識準(zhǔn)備，在教材中起到了承上啟下的作用.學(xué)情分析學(xué)情上：學(xué)生在知識上，學(xué)習(xí)過空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、直線與平面平行的判定和平面與平面平行的判定；在方法上，研究過直線和平面、平面和平面平行的判定方法；在思維上，從經(jīng)驗(yàn)型抽象思維開始上升到理論型抽象思維；在能力上，基礎(chǔ)知識薄弱，知識遷移、主動(dòng)重組、整合的能力較弱.本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，在探索的過程讓學(xué)生從中體會將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，將無限轉(zhuǎn)化為有限，將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直的化歸思想.根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)過程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，借助實(shí)例、圖片的觀察，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持.教學(xué)目標(biāo)知識與技能：①理解直線與平面垂直的定義；②感知并歸納和確認(rèn)直線與平面垂直的判定定理；③并能用線面垂直的定義和判定定理進(jìn)行初步的應(yīng)用.過程與方法：①通過借助對實(shí)例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義；②通過直觀感知，合作探究，歸納直線與平面垂直的判定定理，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力、合理推斷能力和運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力；情感態(tài)度與價(jià)值觀：①在線面垂直定義和判定定理的探究過程中，體驗(yàn)探索的樂趣，增強(qiáng)合作學(xué)習(xí)的能力；②感受數(shù)學(xué)美，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)源于生活，從而使學(xué)生更加熱愛數(shù)學(xué)、熱愛生活.重點(diǎn)線面垂直的定義和線面垂直的判定定理的探究概括過程及理解.難點(diǎn)直線與平面垂直判定定理的探究及初步運(yùn)用.教學(xué)關(guān)鍵類比轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.教學(xué)方法本節(jié)課采用“直觀感知，探究學(xué)習(xí)，應(yīng)用鞏固，反思提高”的課堂教學(xué)模式，以學(xué)生為主體，問題為主線，并以學(xué)案引導(dǎo)和多媒體手段輔助教學(xué)，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生積極的思考，幫助學(xué)生優(yōu)化思維過程，切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.教學(xué)手段教具教學(xué)及交互式電子白板及hiteach互動(dòng)教學(xué)系統(tǒng)和ppt等現(xiàn)代教育技術(shù)輔助教學(xué)教具教學(xué)使數(shù)學(xué)圖形與幾何模型和生活實(shí)際結(jié)合起來.能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力；多媒體技術(shù)的應(yīng)用為師生提供更為豐富和直觀的教學(xué)材料.同時(shí)還可適當(dāng)分解空間想象的難度，提高課堂教學(xué)效率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.學(xué)法指導(dǎo)觀察、概括、總結(jié)、歸納、類比聯(lián)想是學(xué)法指導(dǎo)的重點(diǎn).讓學(xué)生觀察、思考后，總結(jié)、概括、歸納的知識更有利于學(xué)生掌握；為了加深知識理解、掌握和更靈活地運(yùn)用，運(yùn)用類比聯(lián)想去主動(dòng)的發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而更系統(tǒng)地掌握所學(xué)知識，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生真正地體會到在問題解決中學(xué)習(xí)，在交流中學(xué)習(xí).這樣，可以增進(jìn)熱愛數(shù)學(xué)的情感，應(yīng)用數(shù)學(xué)的自信心和形成新的學(xué)習(xí)動(dòng)力.新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，要求教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進(jìn)者，使教學(xué)過程成為師生交流、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過程．交互式多媒體教學(xué)環(huán)境交互式電子白板及hiteach互動(dòng)教學(xué)系統(tǒng)和ppt等現(xiàn)代教育技術(shù)，主要利用搶答器隨機(jī)選擇學(xué)生回答問題，并利用IRS反饋器（選擇）-----數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，并針對學(xué)生錯(cuò)誤率較高的題目和選項(xiàng)予以講評和提問，從而發(fā)現(xiàn)錯(cuò)因，及時(shí)糾正；手機(jī)端拍照上傳----即問即答，及時(shí)反饋學(xué)生完成情況；白板批注功能------分析并及時(shí)解決學(xué)生存在問題.教學(xué)過程環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)回顧、直觀感知1.從實(shí)際背景中感知直線與平面垂直的形象.問題：空間中直線和平面有哪幾種位置關(guān)系？在日常生活中，你見得最多的直線與平面相交的情形是什么？直線在平面內(nèi)；直線與平面平行；直線與平面相交；垂直是其中非常重要且生活中常見的一種特殊關(guān)系.并由引出課題內(nèi)容.（PPT展示以下圖片）日常生活中，我們經(jīng)常看到一些直線與平面垂直的現(xiàn)象，例如：“旗桿與地面，大橋的橋柱和水面、書脊與桌面等的位置關(guān)系”，你能舉出一些身邊類似的例子嗎？然后讓學(xué)生回憶、思考、討論、教師對學(xué)生的活動(dòng)給予評價(jià).并說明：上述旗桿與地面、大橋的橋柱和水面、書脊與桌面等的位置關(guān)系，稱為直線與平面垂直.如何給“直線和平面垂直”下定義？復(fù)習(xí)直線與平面的位置關(guān)系，并通過學(xué)生熟悉的圖片、生活中看到的實(shí)例，引導(dǎo)觀察它們間的位置關(guān)系，讓學(xué)生直觀感知直線與平面相交中一種特例：直線與平面垂直的初步形象，激起進(jìn)一步探究直線與平面垂直的意義，幫助學(xué)生構(gòu)建清晰的知識脈絡(luò)，從實(shí)際生活提出問題體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.聯(lián)想類比、建構(gòu)概念2.觀察思考：如圖（PPT演示），在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子，隨著時(shí)間的變化，影子BC的位置在移動(dòng)，在各時(shí)刻旗桿AB所在直線與影子BC所在直線的位置關(guān)系如何？旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線a的位置關(guān)系又是什么？3.探究：怎樣給“直線與平面垂直”下定義？教師提示：回憶一下直線與直線垂直是如何定義的？兩直線垂直有相交垂直和異面垂直，而異面直線垂直是轉(zhuǎn)化為兩直線相交垂直，實(shí)質(zhì)上是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題：即能否用一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的直線，來定義這條直線與這個(gè)平面垂直？組織學(xué)生交流討論，概括其定義.為使學(xué)生學(xué)會從“感性認(rèn)識”到“理性認(rèn)識”過程中獲取新知，可再借助長方體模型讓學(xué)生感知直線與平面的垂直關(guān)系.直線和平面垂直概念：(PPT演示)如果一條直線l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱直線l垂直于平面α，記作:l⊥α；直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足.（學(xué)生敘寫定義，并建立文字、圖形、符號這三種語言的相互轉(zhuǎn)化，介紹相關(guān)概念：垂面、垂線、垂足.）探究活動(dòng)通過與線線垂直概念的類比，旨在由此得到啟發(fā)：用“平面化”的思想來思考問題，教會學(xué)生學(xué)習(xí)方法，同時(shí)滲透類比轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納概括結(jié)論，體會定義的合理性.知識鞏固、概念的辨析4.判斷下列語句是否正確：（若不正確請舉反例）⑴.如果一條直線與平面內(nèi)一條直線垂直，那么它與平面垂直.（)⑵.如果一條直線與平面內(nèi)有限條直線都垂直，那么它與平面垂直.()⑶.如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，那么它與平面垂直.()⑷.如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么它與平面內(nèi)所有的直線都垂直.()對每小題均設(shè)置兩個(gè)選項(xiàng)，利用IRS反饋器（選擇）-----數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，并由錯(cuò)解學(xué)生回答，從而發(fā)現(xiàn)錯(cuò)因，及時(shí)糾正；（對問（1）（2）（3），在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上用直角三角板在黑板上直觀演示，并說明：如果一條直線l與平面α內(nèi)的一條直線或有限條直線或無數(shù)條直線都垂直，都不能判定這條直線與這個(gè)平面垂直；對問（4）可引導(dǎo)學(xué)生給出：一條直線垂直于一個(gè)平面，則該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，即線面垂直，線線垂直符號語言表述：若，則；并思考：如何說明一條直線與一個(gè)平面不垂直？（只需找到這條直線與這個(gè)平面內(nèi)一條直線不垂直即可，即“一票否決”.通過定義辨析，問題鏈的設(shè)置，可以更好的揭示定義的內(nèi)涵，加深對定義中“任意一條直線”的正確認(rèn)識和對定義的理解，同時(shí)為判定定理的引入作鋪墊.來通過對問題（3）的辨析討論旨在讓學(xué)生掌握線線垂直的一種判定方法．拾級而上、歸納定理拾級而上、歸納定理5.思考探究：對于一條直線和一個(gè)平面，如何判定它們垂直？如果根據(jù)定義來判斷它們是否垂直，需要解決什么問題？如何操作？通常定義可以作為判定依據(jù)，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察平面內(nèi)的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來困難，這種方法實(shí)際上難以實(shí)施，因?yàn)槲覀儫o法去一一檢驗(yàn)．我們就需要尋求一個(gè)比定義法簡單可行的辦法來判定直線與平面垂直．探究：除定義外，有沒有比較方便可行的方法來判斷一條直線與一個(gè)平面垂直呢？師生活動(dòng)（折紙?jiān)囼?yàn)）：請同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個(gè)試驗(yàn)：過三角形的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD（如圖1），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）（師生完成折紙實(shí)驗(yàn)后，教師把該實(shí)驗(yàn)用PPT進(jìn)行演示）問題2：（1）折痕AD與桌面一定垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？（組織學(xué)生動(dòng)手操作、探究、確認(rèn)）問題3：在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發(fā)生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？（可從線與線的關(guān)系考慮）如果我們把折痕抽象為直線，把BD、CD抽象為直線，把桌面抽象為平面(如圖3)，那么你認(rèn)為保證直線與平面垂直的條件是什么？對于兩條相交直線必須在平面內(nèi)這一點(diǎn)，教師可引導(dǎo)學(xué)生操作：將紙片繞直線AD（點(diǎn)D始終在桌面內(nèi)）轉(zhuǎn)動(dòng)，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內(nèi)．問：直線AD現(xiàn)在還垂直于桌面所在平面嗎？（此處引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到直線CD、BD都必須是平面內(nèi)的直線）利用選擇（搶答）器隨機(jī)選擇學(xué)生回答問題，師生共義給出點(diǎn)評.問題4：如果將圖3中的兩條相交直線m、n的位置改變一下，仍保證⊥m,⊥n，（如圖4）你認(rèn)為直線還垂直于平面嗎？利用選擇（搶答）器隨機(jī)選擇學(xué)生回答問題，師生共義給出定理.根據(jù)試驗(yàn)，請你給出直線與平面垂直的判定方法．歸納結(jié)論：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知及已有經(jīng)驗(yàn)（兩條相交直線確定一個(gè)平面），進(jìn)行合情推理，獲得判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.（學(xué)生敘寫判定定理，給出文字、圖形、符號這三種語言的相互轉(zhuǎn)化；教師用PPT展示判定定理）老師特別強(qiáng)調(diào)：（1）定理中“兩條相交直線”二字不可忽視，否則線面垂直的結(jié)論不成立；證明線面垂直歸結(jié)為證明線線垂直，證明無數(shù)多線線垂直減弱為只需證明兩個(gè)線線垂直即可，體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.簡述為：線線垂直線面垂直問題5：（1）與直線與平面垂直的定義相比,你覺得這個(gè)判定定理的優(yōu)越性體現(xiàn)在哪里?（2）你覺得定義與判定定理的共同點(diǎn)是什么？探究活動(dòng)以及問題1通過折紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，且B、D、C不在同一直線上的翻折之后豎起的折痕AD才不偏不倚地站立著，通過PPT演示如圖2，學(xué)生可以直觀地感受到AD與桌面垂直，（其它位置都不能使AD與桌面垂直）．問題3通過操作讓學(xué)生認(rèn)識到兩條相交直線必須在平面內(nèi)，從而更凸現(xiàn)出直線與平面垂直判定定理的核心詞：平面內(nèi)兩條相交直線.問題4引導(dǎo)學(xué)生明白要判定一條已知直線和一個(gè)平面是否垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，這是無關(guān)緊要的．問題5通過和直線與平面垂直定義的比較，讓學(xué)生體會“無限轉(zhuǎn)化為有限”的數(shù)學(xué)思想，通過尋找定義與判定定理的共同點(diǎn)，感悟和體會“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”的數(shù)學(xué)思想.技能演練、應(yīng)用鞏固技能演練、應(yīng)用鞏固（以下例題用PPT展示）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）請列舉與平面ABCD垂直的直線．（2）如正方體ABCD-A1B1C1D1改成長方體ABCD-A1B1C1D1垂線有變化嗎？（3）求證:AC⊥平面BB1D1D例2如圖，已知a∥b，a⊥，求證：b⊥.證明：在平面內(nèi)作兩條相交直線m、n.因?yàn)橹本€a⊥，根據(jù)直線與平面垂直的定義知a⊥m，a⊥n.又因?yàn)閎∥a，所以b⊥m，b⊥n.又因?yàn)?，m、n是兩條相交直線，所以b⊥.例3如圖７，在三棱錐V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中點(diǎn)．求證：AC⊥平面VKB手機(jī)端拍照上傳學(xué)生完成情況圖片，白板批注功能進(jìn)行分析比對.思考：(1)在三棱錐V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求證：VB⊥AC；(2)在⑴中，若E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系；(3)在⑵的條件下，有人說“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，對嗎？利用選擇（搶答）器隨機(jī)選擇學(xué)生回答問題，師生共義給出點(diǎn)評.例2這個(gè)例題給出了判斷直線和平面垂直的一個(gè)常用的命題，這個(gè)命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系.例3重在對直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用．變式（1）在例3的基礎(chǔ)上，應(yīng)用了直線與平面垂直的意義；變式（2）是對例1判定方法的應(yīng)用；變式（3）的判斷在于進(jìn)一步鞏固直線與平面垂直的判定定理．3個(gè)小題環(huán)環(huán)相扣，匯集了本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，突出了知識間內(nèi)在聯(lián)系和融會貫通.歸納小結(jié)（PPT展示以下小結(jié)）直線與平面垂直的定義：由此可得，直線與平面垂直的判定：a⊥m，a⊥n，m∩n=A,m∩n=A,mα,nαa⊥α.并有a∥b，a⊥α.b⊥α.數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想：空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題；無限轉(zhuǎn)化為有限；線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直