高中必考函數(shù)大全

第第頁高中必考函數(shù)大全指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù)y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。注意：⒈指數(shù)函數(shù)對外形要求嚴(yán)格，前系數(shù)要為1，否則不能為指數(shù)函數(shù)。⒉指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：規(guī)律：1.當(dāng)兩個指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時，兩個函數(shù)關(guān)于y軸對稱，但這兩個函數(shù)都不具有奇偶性。2.當(dāng)a＞1時，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在y軸的右側(cè)，圖像越靠近y軸；當(dāng)0＜a＜1時，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側(cè)，圖像越靠近y軸。在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。3.四字口訣：“大增小減”。即：當(dāng)a＞1時，圖像在R上是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時，圖像在R上是減函數(shù)。4.指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。比較冪式大小的方法：當(dāng)?shù)讛?shù)相同時，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時要注意分類討論；當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時，則需要引入中間量進(jìn)行比較；對多個數(shù)進(jìn)行比較，可用0或1作為中間量進(jìn)行比較底數(shù)的平移：在指數(shù)上加上一個數(shù)，圖像會向左平移；減去一個數(shù)，圖像會向右平移。在f(X)后加上一個數(shù)，圖像會向上平移；減去一個數(shù)，圖像會向下平移。對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域(-∞，+∞)上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，a≠1)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，并記為y=logax(a＞0，a≠1).因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax的定義域?yàn)?-∞，+∞)，值域?yàn)?0，+∞)，所以對數(shù)函數(shù)y=logax的定義域?yàn)?0，+∞)，值域?yàn)?-∞，+∞).2.對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對稱于直線y=x.據(jù)此即可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).為了研究對數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1)的性質(zhì)，我們在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=logx,y=logx的草圖由草圖，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1)的圖像的特征和性質(zhì).見下表.圖象a＞1a＜1性質(zhì)(1)x＞0(2)當(dāng)x=1時，y=0(3)當(dāng)x＞1時，y＞00＜x＜1時，y＜0(3)當(dāng)x＞1時，y＜00＜x＜1時，y＞0(4)在(0，+∞)上是增函數(shù)(4)在(0，+∞)上是減函數(shù)補(bǔ)充性質(zhì)設(shè)y1=logaxy2=logbx其中a＞1，b＞1(或0＜a＜10＜b＜1)當(dāng)x＞1時“底大圖低”即若a＞b則y1＞y2當(dāng)0＜x＜1時“底大圖高”即若a＞b，則y1＞y2比較對數(shù)大小的常用方法有：(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷.(2)若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進(jìn)行分類討論.(3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比較.(4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1、0、-1等中間量進(jìn)行比較.3.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax(a＞0，a≠1)y=logax(a＞0，a≠1)定義域(-∞，+∞)(0，+∞)值域(0，+∞)(-∞，+∞)函數(shù)值變化情況當(dāng)a＞1時，當(dāng)0＜a＜1時，當(dāng)a＞1時當(dāng)0＜a＜1時，單調(diào)性當(dāng)a＞1時，ax是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時，ax是減函數(shù).當(dāng)a＞1時，logax是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時，logax是減函數(shù).圖像y=ax的圖像與y=logax的圖像關(guān)于直線y=x對稱.冪函數(shù)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)隨著的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分類記憶的方法．熟練掌握，當(dāng)?shù)膱D像和性質(zhì)，列表如下．從中可以歸納出以下結(jié)論：它們都過點(diǎn)，除原點(diǎn)外，任何冪函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何冪函數(shù)圖像都不過第四象限．時，冪函數(shù)圖像過原點(diǎn)且在上是增函數(shù)．時，冪函數(shù)圖像不過原點(diǎn)且在上是減函數(shù)．任何兩個冪函數(shù)最多有三個公共點(diǎn)．奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)OOxyOOxyOOxyOOxyOOxyOOxyOOxyOOxyOOxy定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增減性在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞減冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像在第一象限的分布規(guī)律是：①所有冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像都過點(diǎn)；②當(dāng)時函數(shù)的圖像都過原點(diǎn)；③當(dāng)時，的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如）；④當(dāng)時，的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如）⑤當(dāng)時，的的圖像在第一象限是“凸型”曲線（如）⑥當(dāng)時，的的圖像不過原點(diǎn)，且在第一象限是“下滑”曲線（如）當(dāng)時，冪函數(shù)有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點(diǎn)；（2）在第一象限內(nèi)都是增函數(shù)；（3）在第一象限內(nèi)，時，圖象是向下凸的；時，圖象是向上凸的；（4）在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)后，圖象向右上方無限伸展。當(dāng)時，冪函數(shù)有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點(diǎn)；（2）在第一象限內(nèi)都是減函數(shù)，圖象是向下凸的；（3）在第一象限內(nèi)，圖象向上與軸無限地接近；向右無限地與軸無限地接近；（4）在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)后，越大，圖象下落的速度越快。無論取任何實(shí)數(shù)，冪函數(shù)的圖象必然經(jīng)過第一象限，并且一定不經(jīng)過第四象限。對號函數(shù)函數(shù)（a>0,b>0）叫做對號函數(shù)，因其在（0，+∞）的圖象似符號“√”而得名，利用對號函數(shù)的圖象及均值不等式，當(dāng)x>0時，（當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號），由此可得函數(shù)（a>0,b>0,x∈R+）的性質(zhì):當(dāng)時，函數(shù)（a>0,b>0,x∈R+）有最小值，特別地，當(dāng)a=b=1時函數(shù)有最小值2。函數(shù)（a>0,b>0）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，在區(qū)間（，+∞）上是增函數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)（a>0,b>0）是奇函數(shù)，所以可得函數(shù)（a>0,b>0,x∈R-）的性質(zhì)：當(dāng)時，函數(shù)（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-，特別地，當(dāng)a=b=1時函數(shù)有最大值-2。函數(shù)（a>0,b>0）在區(qū)間（-∞，-）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-，0）上是減函奇函數(shù)和偶函數(shù)（1）如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x值，都有f(－x)=－(x)．那么就稱f(x)為奇函數(shù)．

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x值，都有f(－x)=f(x)，那么就稱f(x)為偶函數(shù)．

說明：(1)由奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義可知，只有當(dāng)f(x)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)成對稱的若干區(qū)間時，才有可能是奇

(2)判斷是不是奇函數(shù)或偶函數(shù)，不能輕率從事，例如判斷f(x)是不易的．為了便于判斷有時可采取如下辦法：計(jì)算f(x)+f(－x)，視其結(jié)果而說明是否是奇函數(shù)．用這個方法判斷此函數(shù)較為方便：f(x)

(3)判斷函數(shù)的奇偶性時，還應(yīng)注意是否對定義域內(nèi)的任何x值，

當(dāng)x≠0時，顯然有f(－x)=－f(x)，但當(dāng)x=0時，f(－x)=f(x)=1，∴f(x)為非奇非偶函數(shù)．

(4)奇函數(shù)的圖象特征是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱的中心對稱圖形；偶函數(shù)的圖象特征是關(guān)于y軸為對稱軸的對稱圖形．

(5)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用時，尤其要注意由它們的定義出發(fā)來進(jìn)行論證．

例如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，并且在(0，+∞)上是增函數(shù)，試判斷在(－∞，0)上的增減性．

解設(shè)x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2＜0

則有－x1＞－x2＞0，

∵f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，

∴f(－x1)＞f(－x2)

又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)=－f(x)對任意x成立，

∴=－f(x1)＞－f(x2)

∴f(x1)＜f(x2)．

∴f(x)在(－∞，0)上也為增函數(shù)．

由此可得出結(jié)論：一個奇函數(shù)若在(0，+∞)上是增函數(shù)，則在(－∞，0)上也必是增函數(shù)，即奇函數(shù)在(0，+∞)上與(－∞，0)上的奇偶性相同．

類似地可以證明，偶函數(shù)在(0，+∞)和(－∞，0)上的奇偶性恰好相反．

時，f(x)的解析式

解∵x＜0，∴－x＞0．

又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)=－f(x)．偶函數(shù)圖象對稱性的拓廣與應(yīng)用我們知道，如果對于函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－