高等數(shù)學(xué)-第六章2011級

轉(zhuǎn)化一階微分方程第二節(jié)解分離變量方程一、可分離變量方程分離變量方程的解法:設(shè)y＝(x)

是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0時(shí),說明由②確定的隱函數(shù)y＝(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F’(x)=f(x)≠0時(shí),上述過程可逆,由②確定的隱函數(shù)x＝(y)也是①的解.例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0)例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù)

)所求通解:練習(xí):解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C

為任意常數(shù))所求通解:思考與練習(xí)

求下列方程的通解:提示:(1)

分離變量(2)

方程變形為二、齊次方程形如的方程叫做齊次方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:例1.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(

當(dāng)C=0

時(shí),

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))例2.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

為任意常數(shù))求解過程中丟失了.(h,k

為待可化為齊次方程的方程作變換原方程化為令,解出h,k

(齊次方程)定常數(shù)),求出其解后,即得原方程的解.原方程可化為令(可分離變量方程)注:

上述方法可適用于下述更一般的方程例4.

求解解:令得再令Y＝X

u,得令積分得代回原變量,得原方程的通解:得C=1,故所求特解為思考:

若方程改為如何求解?提示:三、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次方程

.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程

;對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得例1.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為例2.

求方程的通解.解:注意x,y

同號,由一階線性方程通解公式

,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,

y為

自變量的一階線性方程四、伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)例4.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;初始條件;2.可分離變量方程的求解方法:說明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個(gè)解.例如,方程分離變量后積分;根據(jù)初始條件定常數(shù).解;階;通解;特解y=–x

及

y=C

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.4.伯努利方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法:1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程2)根據(jù)物理規(guī)律列方程3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(2)利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3)求通解,并根據(jù)定解條件確定特解.5.解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:

可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題1.

求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出機(jī)動目錄上頁下頁