D17連續(xù)性間斷點(diǎn)

會計(jì)學(xué)1D17連續(xù)性間斷點(diǎn)若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要都有第1頁/共22頁對自變量的增量有函數(shù)的增量左連續(xù)右連續(xù)當(dāng)時,有函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價命題:第2頁/共22頁例1.

證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).第3頁/共22頁在在二、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點(diǎn)之一函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點(diǎn)

.在無定義

;第4頁/共22頁間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點(diǎn)

.為跳躍間斷點(diǎn)

.為無窮間斷點(diǎn)

.為振蕩間斷點(diǎn)

.第5頁/共22頁為其無窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:第6頁/共22頁顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).第7頁/共22頁9定理2.

連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理1.

在某點(diǎn)連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限的四則運(yùn)算法則證明)商(分母不為0)

運(yùn)算,結(jié)果仍是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).(證明略)在[－1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)第8頁/共22頁10定理3.

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.證:

設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)又如,

且即第9頁/共22頁11例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,第10頁/共22頁12例2.設(shè)均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則,可知也在上連續(xù).第11頁/共22頁13四、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域?yàn)橐虼怂鼰o連續(xù)點(diǎn)而第12頁/共22頁14例3.

求解:原式例4.

求解:

令則原式說明:

當(dāng)時,有第13頁/共22頁15例5.求解:原式說明:

若則有第14頁/共22頁16例6.

設(shè)解:討論復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.故此時連續(xù);而故x=1為第一類間斷點(diǎn).在點(diǎn)x=1

不連續(xù),第15頁/共22頁內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個不存在在點(diǎn)間斷的類型在點(diǎn)連續(xù)的等價形式第16頁/共22頁18基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明:

分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性.第17頁/共22頁思考與練習(xí)1.討論函數(shù)x=2是第二類無窮間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)的類型.2.設(shè)時提示:為連續(xù)函數(shù).答案:x=1是第一類可去間斷點(diǎn),第18頁/共22頁第19頁/共22頁21續(xù)?反例

x

為有理數(shù)

x

為無理數(shù)處處間斷,處處連續(xù).反之是否成立