河北省唐山市龍江中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析_第1頁
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文檔簡介

河北省唐山市龍江中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有是一個符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)在(0,+)內(nèi)有定義,對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù),取函數(shù),恒有,則A.K的最大值為

B.K的最小值為

C.K的最大值為2

D.K的最小值為2參考答案:B略2.若直線與圓有公共點(diǎn),則(

)A.

B.

C.

D.參考答案:D3.已知函數(shù),若存在唯一的零點(diǎn),且,則a的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案:B略4.若集合,則M∩P= (

) A. B. C. D.參考答案:C略5.若復(fù)數(shù)z=(x2+2x﹣3)+(x﹣1)i為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x的值為()A.3B.1C.﹣3D.1或﹣3參考答案:考點(diǎn):復(fù)數(shù)的基本概念;復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.專題:計(jì)算題.分析:利用純虛數(shù)滿足的條件:實(shí)部為0,虛部不為0,列出不等式組,求出x的值.解答:解:∵復(fù)數(shù)z=(x2+2x﹣3)+(x﹣1)i為純虛數(shù)∴解得x=﹣3故答案為C點(diǎn)評:本題考查純虛數(shù)的定義:a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)?a=0,b≠06.下列判斷錯誤的是

A.是的充分不必要條件

B.命題的否定是

C.命題“若,則tan=1”的逆否命題是“若則”

D.若為假命題,則均為假命題參考答案:【知識點(diǎn)】充要條件;命題的真假.A2【答案解析】D

解析:解:因?yàn)槿舫闪?,只需p與q中有一個假命題,即為假命題,所以D選項(xiàng)的判斷是錯誤的,其它選項(xiàng)都正確.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)命題的邏輯關(guān)系直接求解判定即可.7.設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),,則(

) A. B. C. D.參考答案:B考點(diǎn):向量的加法及其幾何意義;向量的三角形法則.專題:平面向量及應(yīng)用.分析:根據(jù)所給的關(guān)于向量的等式,把等式右邊二倍的向量拆開,一個移項(xiàng)一個和左邊移來的向量進(jìn)行向量的加減運(yùn)算,變形整理,得到與選項(xiàng)中一致的形式,得到結(jié)果.解答: 解:∵,∴,∴∴∴故選B.點(diǎn)評:本題考查了向量的加法運(yùn)算和平行四邊形法則,可以借助圖形解答.向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子,向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ),要學(xué)好向量的加減運(yùn)算.8.已知,,,(且),在同一坐標(biāo)系中畫出其中兩個函數(shù)在第Ⅰ象限的圖象,正確的是(

A

B

C

D

參考答案:B略9.在△中,是邊中點(diǎn),角的對邊分別是,若,則△的形狀為

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.等邊三角形

D.等腰三角形但不是等邊三角形.參考答案:C由題意知,∴,∴,又、不共線,∴,∴10.的值等于(

)A.1

B.-1

C.

D.參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù),觀察:根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得:當(dāng)且時(shí),

參考答案:12.定義函數(shù),其中{x}表示不小于x的最小整數(shù),如,.當(dāng),時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,記集合中元素的個數(shù)為,則

.參考答案:易知:當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,所以,所以;?dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,所以,所以;?dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,所以,所以;?dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,所以,所以;?dāng)時(shí),因?yàn)椋?,所以,所以,由此類推:,所以,所以,所以。故答案為?/p>

13.在的展開式中,若第項(xiàng)的系數(shù)為,則

.參考答案:3略14.某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)等于_____________參考答案:15.以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心,且與雙曲線的兩條漸近線都相切的圓方程_________________。參考答案:16.數(shù)列{an}中,Sn是其前n項(xiàng)的和,若a1=1,an+1=Sn(n≥1),則an=

參考答案:17.若四面體的三視圖如右圖所示,則該四面體的外接球表面積為_____.參考答案:112三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.在銳角中,角的對邊分別為,且,(1)求角的大?。唬?)若,的面積記為,當(dāng)取最大值時(shí),求的值.參考答案:(1);(2).(2)由(1)及余弦定理,可知.........................7分即,所以...............................8分從而有........................................9分因此..................................10分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號,此時(shí)取得最大值,即,因此.......................................12分考點(diǎn):1.三角恒等變形;2.余弦定理;3.基本不等式.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考察了解三角形以及三角函數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題型,重點(diǎn)說第二問,根據(jù)條件知道一組角和邊,就是和,涉及三角形面積的問題時(shí),一定選擇余弦定理,,再根據(jù)基本不等式,這樣就可以解出的最大值,以及最值取得的條件,問題就迎刃而解了.19.(12分)如圖,四邊形PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2.又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直線AM與直線PC所成的角為60°.(1)求證:PC⊥AC;(2)求二面角M﹣AC﹣B的余弦值;(3)求點(diǎn)B到平面MAC的距離.參考答案:方法1:(1)證明:∵PC⊥BC,PC⊥AB,∴PC⊥平面ABC,∴PC⊥AC.(2分)(2)取BC的中點(diǎn)N,連MN.∵PM=∥CN,∴MN=∥PC,∴MN⊥平面ABC.作NH⊥AC,交AC的延長線于H,連接MH.由三垂線定理得AC⊥MH,∴∠MHN為二面角M﹣AC﹣B的平面角.∵直線AM與直線PC所成的角為60°,∴在Rt△AMN中,∠AMN=60°.在△ACN中,.在Rt△AMN中,.在Rt△NCH中,.在Rt△MNH中,∵,∴.故二面角M﹣AC﹣B的余弦值為.(8分)(3)作NE⊥MH于E.∵AC⊥平面MNH,∴AC⊥NE,∴NE⊥平面MAC,∴點(diǎn)N到平面MAC的距離為.∵點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn),∴點(diǎn)B到平面MAC的距離是點(diǎn)N到平面MAC的距離的兩倍為.(12分)方法2:(1)證明:∵PC⊥BC,PC⊥AB,∴PC⊥平面ABC,∴PC⊥AC.(2分)(2)在平面ABC內(nèi),過C作BC的垂線,并建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)P(0,0,z),則..∵,且z>0,∴,得z=1,∴.設(shè)平面MAC的一個法向量為=(x,y,1),則由得得∴.平面ABC的一個法向量為..顯然,二面角M﹣AC﹣B為銳二面角,∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值為.(8分)(3)點(diǎn)B到平面MAC的距離.(12分)20.(14分)如圖,在直三棱柱中,

,點(diǎn)為的中點(diǎn)

(Ⅰ)求證;(Ⅱ)求證;(Ⅲ)求異面直線與所成角的余弦值參考答案:解析:(I)直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三邊長AC=3,BC=4AB=5,∴AC⊥BC,且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC,∴AC⊥BC1;(II)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,連結(jié)DE,∵D是AB的中點(diǎn),E是BC1的中點(diǎn),∴DE//AC1,∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴AC1//平面CDB1;(III)∵DE//AC1,∴∠CED為AC1與B1C所成的角,在△CED中,ED=AC1=,CD=AB=,CE=CB1=2,∴,∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.解法二:∵直三棱錐底面三邊長,兩兩垂直如圖建立坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)

(Ⅰ),(Ⅱ)設(shè)與的交點(diǎn)為E,則E(0,2,2)

(Ⅲ)

∴異面直線與所成角的余弦值為21.已知橢圓的一個焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,以橢圓C的長軸長為直徑的圓與直線相切.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)且不平行于x軸的動直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),探究在x軸上是否存在定點(diǎn)E,使得為定值?若存在,試求出定值和點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.參考答案:(1)由題意知,,解得,則橢圓的方程為.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線,聯(lián)立,得,∴.假設(shè)軸上存在定點(diǎn),使得為定值,∴.要使為定值,則的值與無關(guān),∴,解得,此時(shí)為定值,定點(diǎn)為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),也滿足條件.

22.(本小題滿分12分)假設(shè)某班級教室共有4扇窗戶,在每天上午第三節(jié)課上課預(yù)備鈴聲響起時(shí),每扇窗戶或被敞開或被關(guān)閉,且概率均為0.5,記此時(shí)教室里敞開的窗戶個數(shù)為.

(1)求的分布列,以及的數(shù)學(xué)期望;(2)若此時(shí)教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關(guān)閉,班長就會將關(guān)閉的窗戶全部敞開,否則維持原狀不變.記每天上午第三節(jié)課上課時(shí)該教室里敞開的窗戶個數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.參考答案:解:(Ⅰ)∵的所有可能取值為0,1,2,3,4,,

1分∴,,,,,

··········································································6分的分布列為

01234

···································7分(Ⅱ)的所有可能取值為3,4,則·································

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