河北省唐山市龍江中學2021-2022學年高三數(shù)學理期末試題含解析

河北省唐山市龍江中學2021-2022學年高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設函數(shù)在(0，+)內有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)，取函數(shù)，恒有，則A．K的最大值為

B．K的最小值為

C．K的最大值為2

D．K的最小值為2參考答案：B略2.若直線與圓有公共點，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則a的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.若集合，則M∩P= （

） A． B． C． D．參考答案：C略5.若復數(shù)z=（x2+2x﹣3）+（x﹣1）i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為（）A．3B．1C．﹣3D．1或﹣3參考答案：考點：復數(shù)的基本概念；復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．專題：計算題．分析：利用純虛數(shù)滿足的條件：實部為0，虛部不為0，列出不等式組，求出x的值．解答：解：∵復數(shù)z=（x2+2x﹣3）+（x﹣1）i為純虛數(shù)∴解得x=﹣3故答案為C點評：本題考查純虛數(shù)的定義：a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)?a=0，b≠06.下列判斷錯誤的是

A.是的充分不必要條件

B.命題的否定是

C.命題“若，則tan=1”的逆否命題是“若則”

D.若為假命題，則均為假命題參考答案：【知識點】充要條件；命題的真假.A2【答案解析】D

解析：解：因為若成立，只需p與q中有一個假命題，即為假命題，所以D選項的判斷是錯誤的，其它選項都正確.【思路點撥】根據(jù)命題的邏輯關系直接求解判定即可.7.設P是△ABC所在平面內的一點，，則(

) A． B． C． D．參考答案：B考點：向量的加法及其幾何意義；向量的三角形法則．專題：平面向量及應用．分析：根據(jù)所給的關于向量的等式，把等式右邊二倍的向量拆開，一個移項一個和左邊移來的向量進行向量的加減運算，變形整理，得到與選項中一致的形式，得到結果．解答： 解：∵，∴，∴∴∴故選B．點評：本題考查了向量的加法運算和平行四邊形法則，可以借助圖形解答．向量是數(shù)形結合的典型例子，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎，要學好向量的加減運算．8.已知，，，（且），在同一坐標系中畫出其中兩個函數(shù)在第Ⅰ象限的圖象，正確的是（

）

A

B

C

D

參考答案：B略9.在△中，是邊中點，角的對邊分別是，若，則△的形狀為

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.等邊三角形

D.等腰三角形但不是等邊三角形.參考答案：C由題意知，∴，∴，又、不共線，∴，∴10.的值等于（

）A.1

B.-1

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數(shù),觀察:根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當且時，

參考答案：12.定義函數(shù)，其中{x}表示不小于x的最小整數(shù)，如，.當，時，函數(shù)f(x)的值域為，記集合中元素的個數(shù)為，則

．參考答案：易知：當時，因為，所以，所以，所以；當時，因為，所以，所以，所以；當時，因為，所以，所以，所以；當時，因為，所以，所以，所以；當時，因為，所以，所以，所以，由此類推：，所以，所以，所以。故答案為：

13.在的展開式中，若第項的系數(shù)為，則

.參考答案：3略14.某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)等于_____________參考答案：15.以橢圓的右焦點為圓心，且與雙曲線的兩條漸近線都相切的圓方程_________________。參考答案：16.數(shù)列{an}中，Sn是其前n項的和,若a1＝1，an+1＝Sn（n≥1），則an＝

參考答案：17.若四面體的三視圖如右圖所示，則該四面體的外接球表面積為_____．參考答案：112三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在銳角中，角的對邊分別為，且，（1）求角的大??；（2）若，的面積記為，當取最大值時，求的值．參考答案：(1);(2).（2）由（1）及余弦定理，可知．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分即，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分從而有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分因此．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分當且僅當時，取等號，此時取得最大值，即，因此．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考點：1.三角恒等變形；2.余弦定理；3.基本不等式.

【方法點睛】本題主要考察了解三角形以及三角函數(shù)的問題，屬于基礎題型，重點說第二問，根據(jù)條件知道一組角和邊，就是和，涉及三角形面積的問題時，一定選擇余弦定理，,再根據(jù)基本不等式，這樣就可以解出的最大值，以及最值取得的條件，問題就迎刃而解了.19.（12分）如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．（1）求證：PC⊥AC；（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；（3）求點B到平面MAC的距離．參考答案：方法1：（1）證明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）取BC的中點N，連MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延長線于H，連接MH．由三垂線定理得AC⊥MH，∴∠MHN為二面角M﹣AC﹣B的平面角．∵直線AM與直線PC所成的角為60°，∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．在△ACN中，．在Rt△AMN中，．在Rt△NCH中，．在Rt△MNH中，∵，∴．故二面角M﹣AC﹣B的余弦值為．（8分）（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，∴點N到平面MAC的距離為．∵點N是線段BC的中點，∴點B到平面MAC的距離是點N到平面MAC的距離的兩倍為．（12分）方法2：（1）證明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）在平面ABC內，過C作BC的垂線，并建立空間直角坐標系如圖所示．設P（0，0，z），則．．∵，且z＞0，∴，得z=1，∴．設平面MAC的一個法向量為=（x，y，1），則由得得∴．平面ABC的一個法向量為．．顯然，二面角M﹣AC﹣B為銳二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值為．（8分）（3）點B到平面MAC的距離．（12分）20.(14分)如圖,在直三棱柱中，

，點為的中點

(Ⅰ)求證;(Ⅱ)求證;(Ⅲ)求異面直線與所成角的余弦值參考答案：解析：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC內的射影為BC，∴AC⊥BC1；（II）設CB1與C1B的交點為E，連結DE，∵D是AB的中點，E是BC1的中點，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；（III）∵DE//AC1，∴∠CED為AC1與B1C所成的角，在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∴，∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.解法二：∵直三棱錐底面三邊長，兩兩垂直如圖建立坐標系，則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)

(Ⅰ),(Ⅱ)設與的交點為E，則E(0,2,2)

(Ⅲ)

∴異面直線與所成角的余弦值為21.已知橢圓的一個焦點與上、下頂點構成直角三角形，以橢圓C的長軸長為直徑的圓與直線相切.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設過橢圓右焦點且不平行于x軸的動直線與橢圓C相交于A，B兩點，探究在x軸上是否存在定點E，使得為定值？若存在，試求出定值和點E的坐標；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）由題意知，，解得，則橢圓的方程為.（2）當直線的斜率存在時，設直線,聯(lián)立，得，∴.假設軸上存在定點，使得為定值，∴.要使為定值，則的值與無關，∴，解得，此時為定值，定點為.當直線的斜率不存在時，也滿足條件.

22.（本小題滿分12分）假設某班級教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節(jié)課上課預備鈴聲響起時，每扇窗戶或被敞開或被關閉，且概率均為0.5，記此時教室里敞開的窗戶個數(shù)為．

(1)求的分布列,以及的數(shù)學期望；(2)若此時教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關閉，班長就會將關閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變．記每天上午第三節(jié)課上課時該教室里敞開的窗戶個數(shù)為，求的數(shù)學期望．參考答案：解：（Ⅰ）∵的所有可能取值為0，1，2，3，4，，

1分∴，，，，，

··········································································6分的分布列為

01234

···································7分（Ⅱ）的所有可能取值為3，4，則·································