上海市松江九峰實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

上海市松江九峰實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，則直線AB的方程為（

）A． B． C． D．參考答案：A2.若實(shí)數(shù)滿足，則有

A．最大值

B．最小值C．最大值6

D．最小值6參考答案：B3.已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A、B、C，若

A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：C略4.已知函數(shù)在，點(diǎn)處取到極值，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，在曲線上，則曲線的切線的斜率的最大值的最大值是A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從﹣2連續(xù)變化到1時(shí)，則直線x+y=a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為（）A．1 B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】先由不等式組畫(huà)出其表示的平面區(qū)域，再確定動(dòng)直線x+y=a的變化范圍，最后由三角形面積公式解之即可．【解答】解：如圖，不等式組表示的平面區(qū)域是△AOB，動(dòng)直線x+y=a（即y=﹣x+a）在y軸上的截距從﹣2變化到1．知△ADC是斜邊為3的等腰直角三角形，△EOC是直角邊為1等腰直角三角形，所以區(qū)域的面積S陰影=S△ADC﹣S△EOC=×3×﹣×1×1=故答案為：D．6.復(fù)數(shù)＝()A．2＋i

B．2－i

C．1＋2i

D．1－2i參考答案：C略7.已知在函數(shù)（）的圖象上有一點(diǎn)，該函數(shù)的圖象與x軸、直線x＝－1及x＝t圍成圖形（如圖陰影部分）的面積為S，則S與t的函數(shù)關(guān)系圖可表示為（

）參考答案：B由題意知，當(dāng)時(shí)，面積原來(lái)越大，但增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢.當(dāng)時(shí)，S的增長(zhǎng)會(huì)越來(lái)越快，故函數(shù)S圖象在軸的右側(cè)的切線斜率會(huì)逐漸增大，選B．8.,設(shè)R，若為純虛數(shù)，則的值為A．-1

B．1

C．0

D．1參考答案：B略9.若兩個(gè)非零向量，滿足，則向量與的夾角為（）A．

B． C．

D．參考答案：B略10.已知實(shí)數(shù)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論中一定成立的

A．若，則

B．若，則

C．若，則 D．若，則參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列

D3C

解析：設(shè)，因?yàn)樗訟,B不成立，對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橥?hào)，所以，所以C正確，對(duì)于D,取-1，1，-1，1，不滿足條件，D錯(cuò)，故選C.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等比數(shù)列的定義可判定正確選項(xiàng).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為．參考答案：1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則求得z的值，再根據(jù)它是純虛數(shù)，求得實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：∵復(fù)數(shù)==為純虛數(shù)，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，已知線段F1F2被點(diǎn)（b,0）分成5：1兩段，則此雙曲線的離心率為

.參考答案：答案：

13.已知=（m，n﹣1），=（1，1）（m、n為正數(shù)），若⊥，則+的最小值是．參考答案：3+2【考點(diǎn)】7F：基本不等式；9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】利用向量垂直的充要條件列出方程得到m，n滿足的條件；將待求的式子+乘以m+n后展開(kāi)；利用基本不等式求出最值．【解答】解：∵=（m，n﹣1），=（1，1），⊥∴?=m+n﹣1=0∴m+n=1又∵m、n為正數(shù)∴+=（+）?（m+n）=3+（+）≥3+2當(dāng)且僅當(dāng)2m2=n2時(shí)取等號(hào)故答案為：3+214.已知一條拋物線的焦點(diǎn)是直線與x軸的交點(diǎn)，若拋物線與直線l交兩點(diǎn)A，B，且，則___________．參考答案：根據(jù)題意設(shè)拋物線方程為與直線方程聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)整理得，，進(jìn)一步整理，，另設(shè)，則有，則①，根據(jù)題意，直線l與x軸的焦點(diǎn)為，拋物線焦點(diǎn)為，即，，代入到①中，得，解得或（舍），即．15.設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在非零常數(shù)T，對(duì)于任意x∈D，都有f（x+T）=T?f（x），則稱函數(shù)y=f（x）是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)T為函數(shù)y=f（x）的“似周期”．現(xiàn)有下面四個(gè)關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題：①如果“似周期函數(shù)”y=f（x）的“似周期”為﹣1，那么它是周期為2的周期函數(shù)；②函數(shù)f（x）=x是“似周期函數(shù)”；③函數(shù)f（x）=2﹣x是“似周期函數(shù)”；④如果函數(shù)f（x）=cosωx是“似周期函數(shù)”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命題的序號(hào)是．（寫(xiě)出所有滿足條件的命題序號(hào)）參考答案：①③④考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用．

專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由題意，首先理解似周期函數(shù)的定義，從而解得．解答：解：①如果“似周期函數(shù)”y=f（x）的“似周期”為﹣1，則f（x﹣1）=﹣f（x），即f（x﹣1）=﹣f（x）=﹣（﹣f（x+1））=f（x+1）；故它是周期為2的周期函數(shù)；故正確；②若函數(shù)f（x）=x是“似周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=T?f（x），即x+T=Tx；故（1﹣T）x+T=0恒成立；故不存在T．故假設(shè)不成立，故不正確；③若函數(shù)f（x）=2﹣x是“似周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=T?f（x），即2﹣x﹣T=T?2﹣x，即（T﹣2﹣T）?2﹣x=0；而令y=x﹣2﹣x，作圖象如下，故存在T＞0，使T﹣2﹣T=0；故正確；④若函數(shù)f（x）=cosωx是“似周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=T?f（x），即cos（ωx+ωT）=Tcosωx；故T=1或T=﹣1；故“ω=kπ，k∈Z”．故正確；故答案為：①③④．點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)新定義的接受與應(yīng)用能力，屬于中檔題．16.已知正數(shù)滿足，則的最大值為

，當(dāng)且僅當(dāng)

.參考答案：

試題分析:由題設(shè)可得,故,解之得,此時(shí),故應(yīng)填.考點(diǎn)：二次不等式和二次方程的解法及運(yùn)用．17.觀察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為_(kāi)_____________________________.參考答案：13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.由13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152，則第五個(gè)式子為:13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題12分）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱底面ABCD.且，E是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)。（1）求三棱錐C-PBD的體積；（2）如果E是PA的中點(diǎn)，求證PC//平面BDE；（3）是否不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，都有？證明你的結(jié)論..參考答案：19.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為π．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式．（Ⅱ）若sinα+f（α）=，求的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【專題】綜合題．【分析】（I）函數(shù)是偶函數(shù)，求出?，利用圖象上相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為π，求出ω，即可求得函數(shù)f（x）的表達(dá)式．（II）利用兩角和的正弦以及弦切互化，化簡(jiǎn)為sinαcosα，應(yīng)用，求出所求結(jié)果即可．【解答】解：（I）∵f（x）為偶函數(shù)∴sin（﹣ωx+?）=sin（ωx+?）即2sinωxcos?=0恒成立∴cos?=0，又∵0≤?≤π，∴又其圖象上相鄰對(duì)稱軸之間的距離為π∴T=2π∴ω=1∴f（x）=cosx（II）∵原式=又∵，∴即，故原式=【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．20.（本小題滿分13分）設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上一點(diǎn)，，原點(diǎn)到直線的距離是．（1）求橢圓的離心率；（2）若的面積是，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)使為鈍角？如果存在，求出的范圍；如果不存在，說(shuō)明理由．參考答案：解：（1）設(shè)，，∵,不妨設(shè)，又∵點(diǎn)在橢圓上，∴，從而得，直線的方程為，整理可得，由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為,即，將代入上式化簡(jiǎn)得，∴，，．

…………5分（2）由題設(shè)，∴，所求橢圓方程為

…………8分（3）設(shè)，，將直線代入并化簡(jiǎn)得，由韋達(dá)定理知，，且，∴，由題設(shè)是鈍角，即．∴，∴，∴，∴，解得，上式滿足，

故存在滿足條件．…………13分

略21.(本小題滿分12分)設(shè)橢圓()的離心率為，圓與x軸正半軸交于點(diǎn)A，圓O在點(diǎn)A處的切線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)設(shè)圓O上任意一點(diǎn)P處的切線交橢圓C于點(diǎn)M，N，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案：(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得，∴點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，∴橢圓的方程為.

…………5分(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)切線方程為，由(Ⅰ)知，，，∴.當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí)，可設(shè)切線的方程為，，∴，即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得，∴，得.∵，∴，，∴.綜上所述，圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，都有.在中，由與相似得，為定值.

…………12分

22.設(shè)橢圓C：=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l與C相交于P、Q兩點(diǎn)，若△PQF1的周長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍．（Ⅰ）求C的離心率；（Ⅱ）設(shè)l的斜率為1，在C上是否存在一點(diǎn)M，使得？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l與C相交于P、Q兩點(diǎn)，△PQF1的周長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍，得到，由此能求出橢圓C的離心率．（Ⅱ）設(shè)橢圓方程為，直線的方程為y=x﹣c，代入橢